在數的世界裡，為什麼要從自然數擴大到實數，進而擴大到複數？

數的進化

回顧從自然數1，2，3，4，…開始，再加上分數、負數、無理數，直到成為實數的發展過程，可以說它很像是許多涓涓細流匯成一條大河。

[註：本文涉及的自然數不包括0。]

自然數添上分數，再添上負數就成為了有理數（當然還要添上0）；有理數再加進無理數就成為實數。可是光有實數還不夠，再加上新來的虛數，這就誕生了更廣泛的數——複數。

那麼，為什麼在數的世界裡，要從自然數擴大到實數呢？他細想一想，這裡有個一貫的原則。比如說，有一個人只知道10以內的數。

1，2，3，…，10

當然對這個人來說：加法也是不太行的。也就是說，即使取其中任意兩個數相加，也有可能答不上來。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的話，他就只好說「不知道」了。他即使知道10000以內的數也是一樣。因為6000+7000的答案不可能在10000以內的數里找出來。因此，為了無限制地進行＋運算，就必須有無限多的自然數。這樣就產生了所謂無限多的自然數的整體的想法，這就是

1，2，3，…

想像有這樣一個自然數的整體，就可以自由的進行＋運算了。這時，自然數的整體對於＋來說叫做閉合。由於乘法也是自然數的相乘，是加法的重複，因此也能自由地進行。也就說自然數的整體對於×是閉合的。所以在只考慮＋或×的時候。只要自然數就夠用，沒有必要再考慮新的數。

可是要考慮×的逆運算÷的時候，自然數就不再閉合。因為任意取兩個自然數作除法結果卻不一定是自然數。例如2÷3的結果就不是自然數。

自然數的範圍太狹窄了，要想自由地進行除法運算，就必須增加新的數，這就是分數。在自然數與分數合起來的更寬廣的數的範圍內，＋，×，÷就可以自由地進行。

然而，想到＋的逆運算－的時候，這個範圍又窄了。因為不能從小數減去大數，例如2－5，即使寫出這個式子，也得不出答案。為了讓這個式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個新數。也就是說要自由地做－運算，需要有一種新的數——負數。把數的範圍擴大到正的自然數、負的自然數及分數，即有理數時，＋，－，×，÷四則運算可以自由的無限制地進行。換句話說有理數對於四則運算是閉合的。

19世練的天才數學家伽羅瓦把對於四則運算閉合的數的集合叫做域。按照這個叫法，也可以說整個有理數的集合是域。當然，叫域的除了有理數之外還有許多，對於我們來說最熟悉的首先就是有理數。

當數的世界擴展到有理數時，＋，－，×，÷的計算雖然能自由地進行，但是還不具有連續性，所以仍然不能表示直線上所有的點。填滿這些空缺就需要無理數。有理數與無理數合起來就是實數。有了實數就可以表示直線上所有的點。

總而言之，實數的集合就是對於＋，－，×，÷閉合的一個域，同時還具有連續性。到此為止，似乎可以認為數的世界擴展可以暫時停止了。

可是，如果實數世界就是終點，數的交響樂不過是缺少最後樂章的未完成的交響樂而已。隨著實數而來的最後的樂章就是複數。

四則逆運算

以前擴大數的世界時，在很多情況下它的契機是逆運算。例如，由於×的逆運算÷而增加了新的分數；由＋的逆運算－而產生了新的負數。從實數產生複數的契機也仍然基於逆運算。假如我們對於x這樣一個實數任意進行＋，－，×，÷四則運算時，可得到以下的式子：

不管這些式子多麼複雜，也只是＋，－，×，÷的組合，所以只要x是實數，代入計算的值就也是實數。

比如設下面式子等於y：

假定這個式子是從x算出y的，這就是四則運算。

現在來考慮四則運算的逆運算，也就是從y求出x。例如當y=2時，x等於多少呢？這個計算就是

為此，只要解答下面的式子求出x，

去掉分母

移項得

解滿足這個方程的x，結果呢？所謂的逆運算不過是解代數方程，只此而已。

以前也有這樣的事，就是逆運算要比原來順運算難，如－比＋難，÷比×難。現在的情況也是如此，解代數方程的運算是比四則運算要難。

那麼在實數的範圍里，能不能自由地進行解這個代數方程的運算呢？答案是否定的。請看下面的實例。

在四則運算中，要是反過來從y求x的話，就不是任何時候都能行得通的。如果y是正數

可以求出實數x。如果y是負數，例如y=－1就不能在實數範圍內找出與之對應的x。因為（實數）2 決不會是負數。

因此我們知道，在實數的範圍內，對於四則運算的逆運算「解代數方程」來說，不是閉合的。要想自由地解代數方程，就必須打破實數的框框，導入新的數。這個新的數就是虛數。

* 本文節選自《數學與生活（修訂版）》，遠山啟[日]著，人民郵電出版社。

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