萬物行明軌，格知道隱形：電荷、自旋與軌道

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古代對「人」有講究，今人則拜「物」而專長。人有男女而陰陽，由性格而自我，也因人生軌跡不同而沉浮。我們可以由此說一個社會意義上的人生有三重屬性：性別、性格和軌跡。治心者研究和把玩這三重屬性是成功的必備：以性別為基礎而治最簡單、最容易、也最成功；以性格為目標而治就比較難，並無一定之規，雖然也有很多「正統」「邪說」；以設計軌跡而治，這是現代教育的魔道，所謂「不能輸在起跑線上」的哲學大行其道，蔚為壯觀。電子也有三重屬性：電荷、自旋和軌道。如果對照電子與人的三重屬性，您會發現其中的相似性很高，雖然也有差異。當然，凝聚態物理人擅長的不是治人治心，而是自以為是地去治理凝聚態中的電子。Ising做物理不行，但是在「揭示」這種相似性方面卻偶有獨到見解，以此為樂，樂不思楚。

眾所周知，在固體中，電子的三重屬性總是與晶格密切關聯。在此前提下，電子的電荷和自旋屬性被廣泛研究，並且已經獲得無法用尺度衡量的infinite應用。電荷與晶格耦合構建了固體物理能帶理論的基石。自旋與晶格耦合構建了包括磁學在內的大量 (不可數) 學問，也是量子力學的主角。圖1所示為固體中電子自由度各種表象的卡通，顯示了電子物理在固態、液態和氣態三種物態空間中的各態歷經，每一態都是量子凝聚態的前沿和熱點。如果一定要排序的話，人類對電荷的理解和運用最為廣泛和得心應手。對自旋 (包括磁性) 的理解和運用則次之，卻也是輕盈於股掌。其中一個緣由在於：我們已經擁有探測與表徵電荷和自旋的很多方法。如果需要，我們可以對電荷與自旋各自的細微變化洞若觀火。

圖1. (A)：固體中電子屬性及其在固體中的若干表現形態，這些形態的研究居於量子材料研究的前沿 (http://www.fmq.uni-stuttgart.de/images/images_FMQ3/fig1_en2.jpg)。(B)：固體中電子的電荷與自旋特性及幾種典型探測方法，其中關聯了晶格聲子的作用 (http://w0.rz-berlin.mpg.de/pc/ernstorfer/wp-content/uploads/2015/06/subsystems_probing.png)。

不過，看君如果稍微深入一點，就會注意到有些遺憾之處：時至今日，凝聚態物理和材料科學對固體中電子軌道自由度的探測與表徵並非如電荷和自旋探測那般行雲流水，至少沒有對電荷和自旋自由度那般信心滿滿而自我膨脹。對軌道序的茶餘飯後在關聯量子物理之前還不多見，讓人在叫陣不同固體的軌道序和相互作用時有些猶豫不決，亦或是如鯁在喉、吞吐兩難。這種情況的大規模改觀直到高溫超導、龐磁電阻和拓撲量子效應的關注才出現。圖2所示是軌道物理與電荷、自旋終於平起平坐，形成三足鼎立之勢的一種表象，我們看到左側的自旋-軌道耦合 (SOC) 圖像特別刺眼。

圖2. (A) 強關聯電子系統中的三傑。其中spin-orbit interaction佔據了特別的地位，是反常量子效應和拓撲量子態的基元之一(http://images.slideplayer.com/15/4771418/slides/slide_3.jpg)。(B) 關聯量子系統中的相圖，其中關聯U和SOC構建了當前量子拓撲物理的坐標軸 (Ising所有)。

當然，處於離子實外不同軌道的電子分布形貌是絕然不同的，如圖3(A) 所示。過渡金屬離子的電子軌道尤其複雜。但這些組態在晶格中因為各種關聯相互作用而形變與耦合，導致實際軌道態較為豐富和變幻多端，在不同固體中的形形色色還遠未獲得實驗認知。有意思的倒是軌道自由度與自旋自由度的耦合 (SOC) 因為物理學對自旋探測的強大實力而名聲鵲起，在反常量子霍爾效應和拓撲絕緣體等物理中起著四兩撥千斤的作用。也正因為如此，對軌道物理的掌控變得越來越重要和關鍵。圖3(B) 就展示了一類拓撲絕緣體能帶結構中表面態最為簡單的軌道特徵，美輪美奐。圖3(C) 則展示了在Rashba效應(表面處平移對稱性破缺導致的退簡併)之外的物理導致表面態出現巨大的自旋分裂，奇異非常，能帶中的軌道分布可能是很不均勻的，存在很強的雜化。

圖3. (A) 原子軌道的空間形態組合 (https://ka-perseus-images.s3.amazonaws.com/05cb54e6ff5c2289b76027bb3d74ae8db658f41f.jpg)。這些形態在實際固體中不可避免會發生形變，使得軌道物理變得「虛幻莫測」。(B) 拓撲絕緣體表面態的自旋構型與軌道構型舉例 (http://www.colorado.edu/zunger-materials-by-design)。(C) Rashba效應導致的自旋態退簡併(https://qs.spip.espci.fr/sites/qs.spip.espci.fr/IMG/png/rso.png)。

前面提及，迄今為止，我們對固體、特別是對關聯電子系統中軌道形態和軌道序的認識其實很零散。這種困難存在於幾個方面：其一，對軌道的直接測量手段很少，目前大概也就是基於高強度同步輻射的共振X射線發射譜(resonant X-ray emission spectroscopy，包括REXS和RIXS等彈性和非彈性散射譜)，或者核磁共振NMR技術等。它們主要是基於對電荷分布「空間形貌」的鑒定，從而推演出軌道自由度行為。其二，一般的輸運測量也可以間接反映軌道自由度的影響，但這些影響主要來自於軌道序對能帶結構的「微擾」，屬於高階效應，定量敲定軌道信息就變得很困難。正是這些問題使得我們對軌道物理的認識不夠深刻。與電荷和自旋比較，軌道的面目隱藏得很深。

那麼怎麼辦呢？目前的策略無非是基於量子固體理論的模型描述，包括基於第一性原理計算的圖像和基於哈密頓的建模。這可能因為對軌道物理「萬物行明軌，格知道隱形」的無可奈何，有歪詩為證：《兩濉破缺流，輾轉拓撲外。相問恩仇對稱知，何妨相青睞？且映日西升，反演摹元代。聊復青春究往昔，已是音容改。》

我們以其中一個具體問題為例來分享這種「無可奈何」。一般而言，一個固體量子系統引起我們關注的主要是電子能量、動量和自旋態，也就是能帶結構。但是一旦有電子關聯，或者SOC很強，軌道波函數、對稱性、相位及與自旋的耦合細節將不可再被忽視。在3D拓撲絕緣體中，最簡單的物理是說奇數條能帶的inversion會導致Dirac cone，動量守恆調製的螺旋自旋態在Dirac點之上是左旋的，Dirac點之下則右旋。不過，有意思的是這類SOC系統中本徵態竟然不是自旋特徵態，而是交互作用態，因此軌道的作用應該很強烈但是卻被這一圖像選擇性遺忘。對於Rashba效應，也有類似的選擇性忽略。如果這一問題屬實，那麼到目前為止可能還缺乏足夠好的「基於量子固體理論的模型描述」，更不要說實驗證據和發現了。

圖4. (上) 模型計算給出的能帶色散關係，紅色、綠色和藍色分別表示p?_z, p_rad和p_tan軌道的貢獻。(下) 模型計算給出的Rashba帶和拓撲絕緣體表面態Dirac錐的軌道與自旋結構。

最近，美國科羅拉多大學物理系的D. S. Dessau教授課題組就提出了一個新的模型來處理這一選擇性遺忘。圖4(上) 所示即為新的模型計算得到的能帶色散關係，其中的顏色代表p軌道不同方向的分量，以示其分布的不均勻性，或者說軌道雜化 (hybridization)。而圖4(下) 所示即為新模型計算得到的Rashba帶和拓撲絕緣體表面Dirac帶的自旋與軌道分解圖像。一個重要特徵是Rashba帶含有內帶 (inner band) 和外帶 (outer band)。如果將其內帶簡單mapping為Dirac點上部的Dirac錐，您會看到Rashba帶與Dirac帶是非常相似的。這一mapping正是這一新工作的亮點，它寓意一種軌道織構 (orbital-texture) 的翻轉行為，具有很強的理論意義，雖然實驗驗證遠非易事。有專家評論指出：This model not only shows the orbital texture switch, but predicts that this feature is ubiquitous and present in many systems with strong SOC and broken inversion symmetry. The orbital hybridization holds the key to understanding the unique wavefunction properties, and this model serves to establish the quantum perturbations that drive these hybridizations.

D. S. Dessau教授課題組以「Minimal ingredients for orbital-texture switches at Dirac points in strong spin–orbit coupled materials」為題在《npj Quantum Materials》撰文細數其中的物理(http://www.nature.com/articles/npjquantmats201625)。看君如果有興踏梅尋香，可移步Justin A Waugh等人11月18日發表在《npj Quantum Materials》上的論文。

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