流體江湖風雲錄——東邪柯爾莫哥洛夫（一）

編者按：

桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。

東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學百家，志趣深遠。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫卜命相、術數縱橫，乃至農田水利、經濟兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節，恃才傲物卻難掩溫情。他獨居東海孤島，不問世事，快意瀟洒，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。

而在流體力學發展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現代湍流發展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯數學大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），「柯老邪」是也。

作者| 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）

責編| 呂浩然

「老邪」二字，或有調侃，絕無不敬。

柯老邪在數學上的造詣，當世只有亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré）、大衛·希爾伯特（David Hilbert）、約翰·馮·諾依曼（John von Neuman）等寥寥數人可與比肩。而其研究之精深、領域之廣博、構思之絕妙，或無一人可出其右。他理論與應用雙修，學識紛繁龐雜，遍及概率論，實分析，泛函分析，拓撲學，構造性邏輯學，演算法資訊理論，湍流，經典力學，動力系統，遺傳學，氣象學，彈道學，金屬結晶學等領域，凡有涉足，必有所創，其中不乏眾多奠基性的成果。更兼他文理皆通，對歷史，哲學，語言學，俄國詩歌韻律學等諸多學科都有著系統的研究和獨特的見解。作為戰鬥民族的一員，他甚至在體魄和運動上也天賦過人——曾完成40公里著短褲越野滑雪的壯舉。

柯爾莫哥洛夫遠足於高加索山

柯老邪平生所學，實在浩如煙海，比之黃老邪亦不遑多讓。而其作風品性，更為難能可貴。柯老邪行事，堅毅果決，揮毫洒脫。雖無黃老邪之怪誕乖張，卻存魏晉之遺風，攜漢唐之豪俠，具田園之逸氣。在斯大林的高壓治下，他醉心學術，潛心教育，不問黨政。而當德軍兵臨城下，存亡危機之時，他毅然轉入彈道學及火炮自動控制的統計學研究，使萬千蘇聯軍民受益良多。在對外交流封閉的歲月里，他與眾弟子嘯聚東方蘇俄，鼎足美歐學派，基礎研究帶來的工業騰飛讓西方不敢小覷，世人為之動容。而當他的著述最終為西方所了解之後，眾學派紛紛為之震驚。1963年在第比利斯召開的概率統計會議上，來自美國的統計學家雅各布·沃爾夫維茨（Jacob Wolfowitz）甚至發出這樣的疑問：「我來蘇聯的一個特別的目的是確定柯爾莫哥洛夫到底是一個人，還是一個研究機構。」

柯老邪之成就，實難備述，而在湍流上的貢獻，也的確只算得上冰山一隅。如果我們只談湍流，未免顯得格局狹小，且不妨從柯老邪的少年軼事說起吧。

聲名鵲起

柯老邪1903年出生於莫斯科東南的小鎮坦波夫。儘管他的數學天賦從童年時便顯露無遺，但他卻一直對俄國歷史頗為著迷。自1920年入莫斯科大學以來，他除了研習數學，還積极參与到歷史學教授巴克盧辛·維拉蒂米洛維奇（Bakhrushin Vladimirovich）所組織的歷史學研討會當中。很快，柯老邪便完成了人生中第一篇歷史學論文，並將其交給了巴克盧辛。此文以「15世紀諾夫哥洛德地區的財產管理（The landholding in the Novgorod in the 15th century）」為題，開創性地將數學統計的方法引入到了歷史學研究中。巴克盧辛讀後連連稱奇，但從其歷史學究的角度，他說出了如下論斷：

「你為你的論文提供了一種證明，在你所研究的數學上這也許足夠了，但我們歷史學家則需要至少十種證明。（You have supplied one proof of your thesis, and in the mathematics that you study this would perhaps suffice, but we historians prefer to have at least ten proofs.）」

柯老邪少年意氣，豈容他人置喙。正如他自己所說，「我從此決定進入科學領域，一個證明足以得到最終結論。（I have decided to go into science, in which for a final conclusion one proof is sufficient.）」 歷史學界或許因此失去了一位天才學者，但數學界卻得到了這位震古爍今的全才大師。

在柯老邪之後成就斐然的人生中，他數次對自己未能在歷史學上有所建樹深表遺憾，但事實卻並非如此。在他辭世一年之後，俄國著名歷史學家瓦倫丁·亞寧（Valentin Yanin）從柯老邪的手稿中發掘出了這篇關於俄國中世紀歷史的遺世之作。直至此時，這篇將統計方法應用於這一歷史領域的開先河之作才得到歷史學界的重視。亞寧教授在評述中寫道：「作為其研究方法的基礎，作者提出了概率理論的應用，這一方法從未被運用到諾夫哥洛德地區財產註冊的研究上，而且直至今日也未被廣泛採納。歷史學界的這一遺憾正是源於學者們對柯爾莫哥洛夫七十年前這篇論文的忽視。（As a basis for the method, the author put forward the theory of probability, which had not been applied to Novgorod land-registers before and is unfortunately not so applied now due to the ignorance of researchers on the subject of Kolmogorov s work of almost seventy years ago.）」 在亞寧教授的主持下，柯老邪的這篇文章也在三年後正式發表，終成經典。

在此等神跡面前我們只能望洋興嘆。皓月之光，豈螢火所能爭輝？

讓我們把時間軸退回到1929年。時光如梭，柯老邪在莫斯科大學已歷十年寒暑。他師從數學分析學大師尼古拉·盧津（Nikolai Luzin），盡得其所傳。他根基深厚又興趣廣博，循序漸進又觸類旁通。值此藝成畢業之際，柯老邪任督二脈豁然貫通，已隱隱顯出一代宗師之風範。

此時的蘇聯，儘管斯大林的獨裁統治已初見端倪，但與西歐的關係還未向後來那般劍拔弩張。柯老邪也得以在1930年訪學德法。在哥廷根與巴黎高師的校園裡，柯老邪與理查德·庫倫（Richard Courant）研討極限理論，與赫爾曼· 外爾（Hermann Weyl）論道構造邏輯，與亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）切磋積分分析。一年之間，柯老邪功力日盛，學貫東西，已漸入無往不利之境界。閑暇時，他徜徉於巴黎塞納河畔，流連於阿爾卑斯山間，仰望浮雲，俯視流水，在陽光的沐浴下繼續著對數學理論的思考。

量子論說：世間萬物是概率性的。柯老邪與自然的親密接觸或許也促成了他對於概率理論的思考。從中世紀開始，以歐洲職業賭徒為契機，概率論的研究逐漸開始被數學界所關注。幾個世紀以來，包括高斯，拉普拉斯，伯努利等數位大師為其添枝加葉，陸續注入著新鮮的血液。然而，由於概率論尚未形成一個理論上的公理體系，這些零星的火種猶如無本之木；貝朗特悖論橫行一時，概率論也始終徘徊在主流數學殿堂之外。

1931年，柯老邪返回蘇聯，受聘莫斯科大學教授。在之後的兩年里，他對概率論理解日深，終於悟出以測度為基礎的嚴格公理體系。他以「概率論基礎（Foundations of the Theory of Probability）」為題著書立說，一經問世便得到天下公認，為現代概率論的發展打下了堅實的基礎。

「概率論基礎」1956年英譯版

柯老邪之於概率論，正如牛頓之於經典力學，三豐之於太極神功，承先啟後，繼往開來。

在柯老邪的書中，他對一個隨機過程x(t)進行了嚴格定義和系統研究，並將其推廣到t為多維變數時的隨機場情況。數學理論既已完備，為其尋找物理應用便成為了柯老邪新的目標。如果說對於隨機過程的應用帶來了柯老邪在布朗運動上的深刻理解，那麼湍流場則是隨機場理論練兵的不二之選，而這也正是柯老邪進軍湍流領域的初衷。

未解之謎

湍者，急且亂也。

自從奧斯鮑恩·雷諾（Osborne Reynolds）於1883年在管流實驗中觀察到湍流（請參見索末菲學派那些事兒上部）以來，眾多數學物理大師開始試圖從理論上理解這種現象背後的規律。然而，湍流猶如物理界的一座堅城壁壘，任眾學派船堅炮利，亦無法動其根基。洛倫茲，索末菲折戟沉沙，海森堡，馮諾依曼舉步維艱。直至今日，湍流的理論體系仍尚未完成，正如美國著名物理學家理查德·費曼（Richard Feynman）所說：湍流，是「經典物理最後的未解之謎（the most important unsolved problem of classical physics）」。

理查德·費曼 (1918-1988)

然而，雷諾的實驗結果是如此的無可辯駁，湍流現象也在自然界中隨處可見。或管道流動，或物體繞流，或憑虛御風，或潮起浪涌，或星沉軌動，湍流無處不在地雕刻著自己的印記。在這些錯綜複雜，渦旋叢生的流場中，流體質點的運動猶如鬼魅，它們無跡可循，不可預測，無法重複，牽一髮而動全身。在這些看似雜亂無章的運動的背後，是否存在一些普遍適用的物理規律？這正是湍流研究的核心問題。

雜亂無章的運動背後所涉及的湍流問題

湍流問題的本質是物理的，也是數學的。眾學派始終相信，湍流的解答可以從流體力學基本方程納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）中找到。如果一位數學天才可以找到此方程在任意邊界條件下的解析解，湍流問題或許會迎刃而解。然而時至今日，納維-斯托克斯方程解析解的相關問題仍然作為克雷數學研究所的七大千禧年問題之一懸而未決。

此路不通，眾學派只能另覓他徑。由於流場中單個質點運動的不確定性，所謂的普適物理規律只能從概率統計學意義上來尋找。柯老邪顯然也很早便認識到了這一點。在他1985年出版的專著「數學與力學（Mathematics and Mechanics）」中，柯老邪回憶道：「我在三十年代後期興趣轉入了液體與氣體的湍流研究。從研究伊始我便意識到此領域的主要數學工具是有多個變數的隨機函數（即隨機場）理論，而這在當時也剛剛被建立起來。（I took an interest in the study of turbulent flows of liquids and gases in the late thirties. It was clear to me from the very beginning that the main mathematical instrument in this study must be the theory of random functions of several variables (random fields) which had only then originated.）」

隨機場，這正是概率理論的用武之地。而此時的柯老邪，在概率論上的造詣已獨步天下，不做第二人想。

本文首發於《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權刊發，內容略作編輯。

作者簡介：

潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。

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