流體江湖風雲錄·柯老邪篇

安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），來源：kolmogorov.com

編者按：

桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。

東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學百家，志趣深遠。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫卜命相、術數縱橫，乃至農田水利、經濟兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節，恃才傲物卻難掩溫情。他獨居東海孤島，不問世事，快意瀟洒，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。

而在流體力學發展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現代湍流發展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯數學大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），「柯老邪」是也。

作者| 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）

責編 | 呂浩然

上回說到：在柯老邪劍指湍流領域的過程中，一座雄壯的樓閣也隨之拔地而起。最終，湍流界的九陰真經——K41理論終成，為後世湍流結構研究奠定了牢不可破的基礎。

前世今生

在科學發展史上，不乏有這樣一些理論，它們的光芒絢麗奪目，如一盞明燈，驅散了當世的黑暗，點亮了後世的道路。然而，當你回首來時路，卻發現理論的創立過程似乎平凡至極。它們如同蕭峰隨意揮灑的太祖長拳，楊過大巧似拙的玄鐵重劍，看似平淡無奇卻又威力無窮。

柯老邪的K41理論也正是如此。他以一個物理假設為起點，以能級串過程為基礎，將問題層層肢解，直擊湍流的要害。整個過程一氣呵成，既無紛擾繁複的數學推導，亦無艱深晦澀的數學證明。是何原因，讓一個嚴謹的數學家敢於做出如此大膽的物理設想呢？

古人云：格物致知。柯老邪對於湍流物理模型的推測首先要歸功於他對實驗數據分析的數年之功。在專著「數學與力學」中，他這樣回憶自己初涉湍流領域時的想法：「我很快便意識到想要建立一套嚴格的純數學理論是不可能的。因此根據實驗數據的分析來建立一些假想是湍流研究的必經之路。（It soon became clear to me that there was no chance to develop a closed purely mathematical theory. For lack of such a theory it was necessary to use some hypotheses based on the results of treatment of experimental data.）」 柯老邪雖然自己不做實驗，卻對於收集和分析實驗數據樂此不疲。在K41理論建立的三十年後，柯老邪還以暮年之身遠航全球，為收集海洋湍流數據不懈努力著。

其次，柯老邪深厚的數學理論功底也不可或缺。今世的大多數流體力學教科書，提及K41理論必稱其為量綱分析之典範，如此或可使學生對於2/3律的推導過程有一個直觀的了解，卻往往忽視了柯老邪基於納維-斯托克斯方程對於湍流場分析的理論之功。提及這一時期莫斯科學派對湍流的理論分析，有兩項工作不得不談。

其一為奧布科夫於1941同年所發表的關於湍流能量譜的文章。基於柯老邪前一年對概率論中隨機過程能量譜的闡述，奧布科夫從納維-斯托克斯方程出發建立了湍流能量譜的半經驗式方程。此方程描述了這樣的物理過程：湍流能量在某一尺度上隨時間的變化與不同尺度渦結構相互作用以及小尺度粘性耗散有關。

通過求解此方程，奧布科夫得到了與2/3標度律所等價的湍流能量譜表述：E(k)～k-5/3（k為波數，即尺度的倒數）。這兩篇文章於1941年同時發表。或許由於柯老邪的方法更為簡潔明晰且適用度更為廣泛，世人對其更為青睞，因而忽視了奧布科夫的貢獻。但柯老邪本人卻對奧布科夫的工作十分尊敬，言必稱K41理論是他與奧布科夫共同所創，是以應稱之為KO41理論更為妥帖。

其二為米林斯奇科夫於1941年所得到的對於湍流脈動速度二元關聯函數的控制方程。這項工作推導了脈動速度關聯函數的逐級表達方式，並通過四元函數與二元函數的聯繫使控制方程閉合。其方法可視為後世計算機湍流模擬的鼻祖之一，功莫大焉。

而在同時代的中國，一位物理學家於1940年在「中國物理學報」上發表了題為「論雷諾求似應力的方法的推廣和湍流的性質」的文章，其方法與米林斯奇科夫有著異曲同工之妙。此人就是周培源先生，這也正是他被尊為「湍流模擬之父」的原因。

周培源（1902 - 1993）

一招平淡無奇的量綱分析背後竟然蘊涵著如此深厚的理論與實驗之功。所謂重劍無鋒，大巧不工，劍招的威力並非在於劍鋒，而在於用劍之人的修為。唯有修為至深之人，方能化繁為簡，以拙勝巧。

更為有趣的是，據柯老邪弟子亞格洛姆回憶，米林斯奇科夫並非隨機場領域的專家。亞格洛姆因此推斷1941年關於湍流脈動速度關聯函數的文章一定是柯老邪親力親為的結果。米林斯奇科夫同時期的另一名弟子謝爾蓋·福明（Sergei Fomin）則證實了亞格洛姆的這一推測。無獨有偶，類似的事情也發生在亞格洛姆本人身上。1956年，柯老邪在一篇有關資訊理論的文章中宣稱其引入的某方程乃亞格洛姆之首創。而亞格洛姆本人卻對此毫不知情，直至看到柯老邪的文章後才意識到這個方程的存在。當柯老邪被問及此事時，他含糊地回答說：自己的想法是在跟亞格洛姆某次談話之後產生的，因此這個方程應該歸功於亞格洛姆。

諸如此類的莫名之喜在柯老邪的弟子中比比皆是。而對於柯老邪，或許其真正偉大的力量來源於心底的無私。

嗚呼哀哉，縱觀當今天下，虛譽欺人而利欲熏心者有之，不學無術而搖唇鼓舌者有之，百無一能而大言不慚者有之，粗鄙齷齪而畏強凌弱者有之。江湖之上，投器使毒者眾多，內修外斂者罕有，實可嘆大師凋零，人心不古也。

美玉微瑕

如果從一個很大的時間尺度上看歷史，似乎一切都按部就班，循規蹈矩。而如果身處某一時代的小尺度中，卻很難不被時代的任何異動所驚擾，彷彿一切都是這個時代跟人類開的一個個玩笑。物理學的發展亦是如此，在山重水複中柳暗花明，在一片坦途上卻又枝節橫生。

我們看到，在湍流這片混沌未開的亂世江湖中，柯老邪憑藉一招量綱分析獨創K41理論，劍攜萬鈞之勢，隱隱有包舉宇內，席捲六合，并吞八荒之意。天下學派雲集響應，似乎一統江湖即日可期。在如此大好形勢之下，誰又能料想，前路依然荊棘密布。而這一切困難險阻，都來自於K41理論創立之初的一點隱憂。

1942年蘇聯科學院的一次研討會上，柯老邪進行了一次K41理論的專題報告。到場的聽眾中，有一位顯得卓爾不群。他身材瘦削，已顯灰白的頭髮蓬鬆凌亂，然而雙目如炬，似能洞悉一切。

此人名為列夫·朗道（Lev Landau），乃當世蘇聯最傑出的理論物理學家。以修為之全面而論，朗道在物理學上的造詣或許並不輸於柯老邪在數學上的廣博。

列夫·朗道 (1908-1968)

兩位絕世高手之間自是不消多言，柯老邪寥寥數語之間朗道便已盡得其精髓。饒是朗道平生為人狂傲，素來言辭尖銳，也不由得暗自稱讚K41理論之精妙。他評論道：「柯爾莫哥洛夫是第一個正確理解了湍流小尺度結構的人。（Kolmogorov was the first to provide a correct understanding of the local structure of turbulent flow.）」

會後，K41理論在朗道腦海中久久揮之不去。他將其與自己平生所學一一印證，自覺妙用無窮。假以時日，以此為基礎解決湍流問題也未必不能實現。

翌年，朗道推導出有外流體所包裹的層流射流的理論解，並開始考慮將K41理論引入到湍流射流的研究中。然而這一次，他卻似乎發現了一些不妥之處。

如果將射流軸心視為湍流，外流體部分視為層流，那麼兩部分之間必然有一塊湍流與層流交替存在的區域。由於動能耗散率ε與湍流強度相關，在此區域中，ε必然不會像K41理論中所描述的隨時間（和空間）不變，而是一定會隨時間（和空間）有所起伏（在層流區為零，在湍流區為正值）。此時，柯老邪的2/3律公式該如何運用呢？如果將公式中的ε由瞬時值改為在時間上的平均值〈ε〉的話，似乎也並無不妥……

且慢！此處確有不妥！

朗道在電光火石之間的頓悟從根本上粉碎了K41理論作為湍流普適理論的可能性。

在1944年出版的由朗道及其學生撰寫的「理論物理教程（Course of Theoretical Physics）」第六卷「流體力學（Fluid Mechanics）」中，朗道將其想法加以總結並留下了這樣一段耐人尋味的文字：

「很多學者們或許認為得到一個普適於任何湍流的公式從原則上講是可能的，這個公式可以描述小於尺度L的結構函數S2(l)=〈δu(l)2〉 。然而，由於如下論證，這類公式並不可能存在：δu(l)2的瞬時值或許可以普適性的表述為動能耗散率ε瞬時值的函數。可是，將以上表述進行時間平均後會依賴於ε在大時間尺度（對應於大渦結構）上的變化，而這個變化對於不同的流動是不一樣的。因此，時間平均的結果不可能是普適性的。(It might be thought that the possibility exists in principle of obtaining a universal formula, applicable to any turbulent flow, which should give〈δu(l)2〉for all distances l small compared with L. In fact, however, there can be no such formula, as follows from the following argument. The instantaneous value ofδu(l)2might in principle be expressed in a universal way via the energy dissipation ε at that very moment. However, averaging these expressions is dependent on the variation of ε over times of large-scale motions (scale L), and this variation is different for different specific flows. Therefore, the result of the averaging cannot be universal.)」

讓我們為朗道這招絕妙的破劍式靜默一分鐘。

朗道的核心觀點是這樣的：由於ε隨時間變化，因此我們只能尋找時均意義上的普適公式。即使我們假設δu(l)2=Cε2/3l2/3律在每一瞬時是普適性的，但由於δu(l)2與ε的非線性關係，將瞬時公式進行時間平均後並無法表述成〈δu(l)2〉=C〈ε〉2/3l2/3，而將會依賴於ε隨時間的變化。由於ε的變化對於不同流動是不同的，因此時均的表述不可能是普適的。

例如，272/3=9，82/3=4，但((27+8)/2)2/3=6.7而不等於4和9的平均值 。

我們再次回到「武林交通部」的例子，將朗道的論證與之做一類比。

在 「二十三省江湖人士不得闖黃燈」的禁令通達天下之後的一年內，武林交通部高層三易其令。首先，武林交通部頒布了「魯蘇湘川四省人士可以闖黃燈」的政令，三分之一年後又出台了「遼吉浙晉皖五省人士亦可以闖黃燈」的政令，最後的三分之一年乾脆決定「其餘十四省人士也可以闖黃燈」。

此一年中，相應的省市區級部門分別按需整改機構，以保證三條新政令在其分別的施政時間內暢通無阻並持續不斷地傳遞給相應的江湖人士。這三條新政令的傳遞均只需要一部分省市區級交通部門，相對於整個網路系統，它們的機構規模分別佔據4/23, 5/23和14/23的比例。而且，三條政令的傳遞率也截然不同。對於規模較龐大的系統（如14/23的部分），其傳遞率也較大，反之亦然。如果按照δu(l)2=Cε2/3l2/3將它們量化，傳遞率ε則應正比於其機構規模的3/2次方，即(4/23)3/2=0.07，(5/23)3/2=0.10和(14/23)3/2=0.47 。

年終總結大會上，武林交通部高層首先對過去一年的施政方針進行了總結。他們將三條政令的內容進行了平均，並聲稱：年中每一時段我們不斷下達著允許(4/23+5/23+14/23)/3=33%江湖人士闖黃燈的號令。隨後，各省市區級交通部門也對他們傳遞上級方針的效果做出了總結。在對三部分傳遞率進行平均之後，他們聲稱：我們的平均信息傳遞率為(0.07+0.10+0.47)/3=0.21。此時，問題來了，33%3/2=0.19，而不等於0.21。K41理論並不能用於平均結果。

一言以蔽之，武林交通部的朝令夕改使得各級交通部門疲於奔命，雖然在每一時刻都按照K41理論傳遞著信息，年終總結時卻發現其平均效果並不符合K41理論的描述。

而究其原因，K41理論對平均結果的失效是由於δu(l)2並非正比於ε。因此，即使兩者瞬時值滿足K41關係，其平均值卻未必滿足。

朗道的這一論證如K41理論本身一樣，簡潔明了卻直擊要害。它並不深究湍流更深層次的物理性質，而是劍走偏鋒，以動能耗散率隨時間變化的推測為基礎，僅輔以初等數學的分析方法，便如釜底抽薪般地將K41理論的普適性瓦解於無形。

然而，這個有著瑕疵的K41理論所描述的2/3律仍然被一次次實驗所重複著。相對於尖酸刻薄的朗道，自然界彷彿更青睞揮毫洒脫的柯老邪。這又是為什麼呢？

欲知後事如何，且聽下回分解。

本文首發於《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權刊發，內容略有修訂。

作者簡介：

潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。

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