盤點改變歷史面貌的方程式

　　數學家斯伊恩·斯圖爾特曾出版過一本十分優秀而專業的書，書名為《探索未知：改變世界面貌的17個方程式》。該書審視了有史以來最為關鍵的公式，並從人類發展而非技術的角度進行了解讀。

　　斯圖爾特說：「公式無疑很枯燥，而且似乎看起來也很複雜。但許多人即使不知道如何解公式，也能欣賞公式的簡潔、優美和精妙。公式是人類探索與智慧的結晶，也是文化的重要組成部分，其背後的故事—發現和發明公式的人及他們所生活的時代，都是引人入勝的。」

　　除了廣為人知的勾股定理、多面體歐拉公式、愛因斯坦的廣義相對論、質能方程及麥克斯韋方程組等如雷貫耳的方程式之外，美國商業內幕（Business Insider）網站在報道中還列出了一些名氣並不很大卻足以改變歷史面貌的公式及其現代應用。

　　對數及其恆等式

　　含義：對數可以化乘為加，也就是說，兩個數乘積的對數等於這兩個數對數的和。

　　歷史：這一概念最初由蘇格蘭梅奇斯頓的領主約翰·納皮爾在對大數進行乘法時發現。那時，對大數做乘法不僅繁瑣無趣，而且耗時很長，使用這一概念後計算變得更容易而快捷。後來，亨利·布里格斯對其進行了精鍊，使之變得更容易計算和使用。

　　重要性：對數是革命性的，它使工程師和天文學家能更快、更準確地進行計算。隨著計算機的問世，該公式似乎不再那麼重要，但對科學家來說，它仍然不可或缺。

　　現代應用:對數以及相對的指數函數，可用來建模，囊括的範圍從化合物、生物的生長到放射性衰變。

　　復 數

　　含義：我們把形如a+bi（a、b均為實數）這樣的數稱為複數，其中，a為實部，b為虛部，i為虛數單位（i2=-1）。複數包括實數和虛數，負數的平方根為虛數。當b=0時，複數就是實數；當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數，虛數拓展了數字的概念。

　　歷史：虛數最初由義大利著名的賭徒兼數學家吉羅拉莫·卡爾達諾提出，後由義大利數學家拉法耶爾·蓬貝利和約翰·沃利斯進行拓展，最後，愛爾蘭數學家、物理學家及天文學家威廉·哈密頓爵士將複數定義為a+bi。從數學角度而言，虛數和複數簡潔優雅。

　　重要性：如果沒有該公式，包括從電燈到數碼相機在內的很多現代科技不可能被發明出來。科學家們將微積分擴展到複數，得到了「複變函數」，它對理解電學系統和多種現代數學處理演算法必不可少。

　　現代應用：廣泛應用於電子工程學和數學理論。

　　正態分布

　　含義：正態分布曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱，因此，人們又稱之為鐘形曲線。

　　歷史：早期研究由法國數學家、物理學家布萊斯·帕斯卡開始，但最終成型由瑞士科學家詹姆斯·伯努利完成；而目前使用的鐘形曲線來自比利時數學家阿道夫·凱特勒。

　　重要性：該公式是現代統計學的基礎。沒有該公式，科學和社會科學不會以現在的形式出現。

　　現代應用：在臨床試驗中，該公式用於確定藥物是否足夠有效。

　　傅里葉變換

　　含義：傅里葉變換是一種線性積分變換，是一種從時間到頻率的變化或相互轉化。

　　歷史：其基本思想首先由法國數學家、物理學家約瑟夫·傅里葉系統地提出，故以其名字命名，該方程從他著名的熱流微分方程和前面描述的波動方程擴展而來。

　　重要性：傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的演算法。該方程可用於對音樂、演講或圖像等複雜的波模式進行分解、清理和分析，對許多類型的信號分析也至關重要。

　　現代應用：用於將信息壓縮為JPEG圖像格式、發現分子的結構等。

　　熱力學第二定律

　　含義：能量和熱量隨時間的推移而消散。

　　歷史：法國工程師、熱力學創始人之一尼古拉·萊昂納爾·薩迪·卡諾首次提出，自然界不存在可逆轉的過程；後來奧地利數學家路德維希·玻爾茲曼拓展了該定律；而英國科學家威廉·湯姆森正式表述了該定律。

　　重要性：它對於我們通過熵（entropy）的概念來理解能量和宇宙必不可少。熱力學中的熵，通俗來說是測量系統混亂程度的量。一個始於一種有序、不均等的狀態系統，如一個熱區域挨著一個冷區域，熱會從熱區域流向冷區域直到平均分布。

　　現代應用：熱力學為我們理解化學奠定了基礎，在製造任何類型的發電廠或發動機方面不可或缺。

　　薛定諤方程

　　含義：又稱薛定諤波動方程，描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。

　　歷史：1924年，法國著名理論物理學家、1929年諾貝爾物理學獎獲得者路易·維克多·德布羅意發現，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這一性質被稱為波粒二象性。既然粒子具有波動性，應該有一種能正確描述這種量子性質的波動方程。很快，奧地利科學家埃爾溫·薛定諤就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導出現在的薛定諤方程。

　　重要性：薛定諤方程是量子力學最基本的方程之一，在量子力學中的地位與牛頓方程在經典力學中的地位相當。現代量子力學和廣義相對論是歷史上最成功的兩大科學理論，它徹底改變了微觀領域的物理學，迄今我們進行的所有實驗觀測，都與其預測完全吻合。由於對量子力學的傑出貢獻，薛定諤榮膺1933年諾貝爾物理獎。

　　現代應用：對大多數現代技術來說，量子力學非常重要，核能、基於半導體的計算機以及激光等，都建立在量子力學的基礎之上。

　　香農的資訊理論

　　含義：資訊理論將信息的傳遞作為一種統計現象來考慮，給出了估算通信信道容量的方法。

　　歷史：由在貝爾實驗室工作的美國工程師克勞德·艾爾伍德·香農提出。1948年，香農發表了一篇名為《通信的數學理論》的專題論文，其中提到了「比特（bit）」，香農稱其為「用於測量信息的單位」。在香農眼中，信息和長度，重量這些物理屬性一樣，是一種可以測量和規範的東西。香農也提出了用信息熵來定量衡量信息的大小，並提出了這個信息熵函數。

　　重要性：信息熵不僅定量衡量了信息的大小，同時為信息編碼提供了理論上的最優值：信息熵為數據無損壓縮的極限。

　　現代應用：香農的信息熵測量引發了科學家們對於信息的數學研究，他的結論對於現在的網路通信至為重要。

　　邏輯斯蒂增長模型

　　含義：估算某個擁有有限資源的跨代種群的變化，更重要的是，這一方程式引出了混沌理論。

　　歷史：1975年，羅伯特·梅可能是第一個指出該增長模型可能產生混沌的人。俄羅斯數學家弗拉基米爾·阿諾德和美國數學家斯蒂芬·斯梅爾的重要工作，使人們認識到混沌是微分方程產生的結果。

　　對於某個值確定的K來說，如果以某個特定的初始值（X）開始，整個事件將朝著一個方向演化；但如果以另外一個初始值開始，即使這個值與前面的值非常接近，整個過程仍然會以完全不同的方式演化。

　　重要性：有助於混沌理論的發展，這一理論改變了人們對自然系統工作方式的理解。

　　現代應用：用於模擬地震和預測天氣。

　　布萊克-斯科爾斯期權定價模型

　　含義：對衍生品定價基於一個假設：它無風險，而且定價正確時不存在套利機會。

　　歷史：美國經濟學家費希爾·布萊克和邁倫·斯科爾斯建立了模型，美國經濟學家羅伯特·莫頓進行了拓展，斯科爾斯和莫頓兩人後來獲得了1997年諾貝爾經濟學獎。

　　重要性：幫助創建了現在上萬億美元的衍生品交易市場。不過，有人辯稱，不當使用這一公式（及其推論）導致了金融危機。尤為重要的是，該方程式中的幾個假設，比如對股價分布和連續交易的假設並不適合真實的金融市場；此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現實不符。

　　現代應用：即便是金融危機之後，仍有更多的拓展模型被用於對大多數衍生品進行定價。