獲得諾獎的行為金融學是怎麼一回事？

作者：石川

來源：量信投資（ liangxin_invest）

引子

如果必須從下面兩個選項中做出選擇：

（a）100%損失3000元

（b）80%損失4000元；20%概率不損失

你會選哪個？

從經濟學的角度，前者的損失預期是3000，後者的損失預期是3200（4000×80%），顯然前者更優。然而實際情況卻是，大多數人都選擇了後者。其中的差異就來自人性的影響。

我們在這篇文章中就來談談投資中的人性因素，主要以行為金融學中獲得諾貝爾獎的展望理論（Prospect Theory）為基礎。

1

幾個有趣的小實驗

你比想像中善變

實踐是檢驗真理的唯一標準。我們先來看三組一共6個實驗。在每個實驗中，實驗者都被提供了兩個選項，必須從中選擇一個。

實驗1

（a）80%的概率得到4000元

（b）100%得到3000元

在所有參與者中，20%的人選擇了（a）而80%的人選擇了（b）。

實驗2

（a）20%的概率得到4000元

（b）25%的概率得到3000元

在所有參與者中，65%的人選擇了（a）而35%的人選擇了（b）。

對實驗1~2的分析

在實驗1中，儘管期望收益更大的是（a）（4000x80%=3200元），但絕大多數參與者更喜歡能一定到手的3000元（b）。

在實驗2中，與實驗1的唯一區別是將選項的確定性減小到之前的1/4，但結果竟然完全相反。大部分選擇（a）的參與者認為，既然兩個選項都不怎麼確定了，那麼（a）顯然比（b）的期望收益要高（4000x20%=800，大於25%x3000=750）。

這組實驗說明，收益為正的選項中，擁有確定性的選項（如實驗1中的（b））給人的主觀價值會大於其真實價值。換言之，在面對正收益時，人們往往更加厭惡風險。

如果選項的結果不是金錢而是某種福利（比如免費旅遊），也可以得到同樣的結論。考慮如下實驗3和4，其中實驗4是實驗3去掉了90%的確定性後得到的。結論和實驗1和2完全一致。

實驗3

（a）50%的概率得到一次包括英格蘭、法國、義大利的三周免費旅遊

（b）確切地（100%）得到一次英格蘭的一周免費旅遊

在所有參與者中，22%的人選擇了（a）而78%的人選擇了（b）。

實驗4

（a）5%的概率得到一次包括英格蘭、法國、義大利的三周免費旅遊

（b）10%的概率得到一次英格蘭的一周免費旅遊

在所有參與者中，67%的人選擇了（a）而33%的人選擇了（b）。

前面的兩組實驗考察了當所有選項都有正期望收益時，結果的確定性對做決策產生的影響。那麼當所有選項的期望收益都為負（即損失）時，又會怎樣的？考察下面的實驗5和6。

實驗5

（a）80%的概率損失4000元

（b）確切地（100%）損失3000元

在所有參與者中，92%的人選擇了（a）而僅有8%的人選擇了（b）。

實驗6

（a）20%的概率損失4000元

（b）25%的概率損失3000元

在所有參與者中，42%的人選擇了（a）而58%的人選擇了（b）。

對實驗5~6的分析

在實驗5中，92%的參與者選擇了（a）。雖然（a）有很高的概率（80%）損失4000元，但絕大多數人仍然覺著它比確定的損失3000元更好（主觀價值更高）。似乎所有人都認為在面對虧損時，運氣會站在自己這一邊。

而當我們從兩個選項中都去掉75%的確定性後（實驗6），人們又似乎「恢復了理智」，選擇了期望虧損相對更低的選項（b）。

這兩個實驗說明，在面對潛在虧損時，人們往往能夠容忍甚至願意承擔更高的風險。

實驗1~6帶給我們的結論：確定性和反射性

以上6個實驗說明了人們在做決策時，格外偏好具備高確定性且收益為正的選項，格外厭惡具備高確定性且收益為負的選項；而當確定性大幅降低後，人們又恢復了理智。

正收益實驗（實驗1~4）和負收益實驗（實驗5~6）說明，當不改變結果的概率而僅改變結果的正負號（盈餘變為虧損），人們的選擇將截然相反。這個現象被稱為反射性。

你比想像中容易被忽悠

簡化是人類進步的核心動力，這就使得人們在面對不同選擇時，往往忽略相同的部分，而專註於不同的部分作為決策的基礎。

然而這種簡化可能導致大相徑庭的結果。實驗7說明了這一點。

實驗7

假設某遊戲由兩個階段組成：

階段一，25%概率晉級下一輪，75%概率被淘汰；

階段二，在兩個選項中進行選擇：

（a）80%的概率得到4000，

（b）100%的概率得到3000。

最有意思的地方來了：參與者必須在遊戲開始前就在（a）和（b）中做出選擇。

由於這個遊戲的特殊規則，參與者（在遊戲開始前）實際上是在以下兩個選項中做決定：

（a』）20%的概率得到4000元

（b』）25%的概率得到3000元

注意，這實際上和實驗2的兩個選項是完全一致的。然而，在這個新實驗中，78%的參與者選擇了（b），這和實驗2的結論完全相反（實驗2中65%的人選擇了（a））。

對實驗7的分析

之所以產生這樣的「矛盾」，是因為在實驗7中，人們忽略掉了遊戲的第一階段（因為該階段對於兩個選項是一樣的），而僅僅根據第二階段的結果來比較兩個選項。而第二階段的選擇相當於實驗1（即得到3000元這個選項是確定的），所以大多數參與者選擇了選項（b）。

這個實驗說明了人們的選擇可以因「對結果的概率的描述不同」而改變。此外，人們的選擇還可以因「對於結果的描述不同」而改變。來看下面的實驗8和9。

實驗8

假設在你現有財富的基礎上，先給你1000塊錢，然後需要你再從下面兩個選項中選擇：

（a）50%的概率再得到1000

（b）100%的概率再得到500

結果表明，16%的人選擇（a），而84%的人選擇（b）。

實驗9

假設在你現有財富的基礎上，先給你2000塊錢，然後需要你再從下面兩個選項中選擇：

（a）50%的概率失去1000

（b）100%的概率失去500

結果表明，69%的人選擇（a），而31%的人選擇（b）。

對實驗8~9的分析

可以看到，大多數人在實驗8中選擇（b），而在實驗9中選擇（a）。這樣的結果並不令人意外。正如前所屬，由確定性和反射性可知，人們在收益前厭惡風險，而在損失前偏好風險（實驗1~6）。

然而，儘管兩個實驗獲得的最終財富（選項（a）都是有50%的概率增加2000元或1000元，而選項（b）都是確定地得到1500元）被設置為完全一致，但實驗結果卻截然相反。這清楚地顯示，參與者忽略了「先得到的錢」這個一致的前提條件，而僅僅是基於後面的選項本身做決定。

這組實驗說明了如下這個非常重要的結論：人在做決策時，不同結果帶給他的主觀價值是取決於這個結果給他的財富帶來的變化，而非其財富的最終狀態。

2

行為金融學和展望理論

以上幾個實驗均出自由Daniel Kahneman和Amos Tversky提出的行為金融學中最重要的展望理論（Prospect Theory，又譯作前景理論，Kahneman於2002年因其獲得諾貝爾經濟學獎。Tversky於1996年去世，而諾貝爾獎不追授已逝學者）。

（Daniel Kahneman（左）和Amos Tversky（右））

作為行為經濟學的一個分支，行為金融學研究投資者行為。它認為證券的市場價格並不只由證券內在價值所決定，還在很大程度上受到投資者主體行為的影響，即投資者心理與行為對證券市場的價格決定及其變動具有重大影響。

由於投資品收益的不確定性，投資者事實上都是在風險下做決策（decision-making under risk），這也是行為金融學主要研究內容。在這方面，最著名的模型包括期望效用理論（Expected Utility Theory, Bernoulli 1954）和展望理論（Kahneman and Tverskey 1979）。兩者相較，後者可以解釋所有前者能解釋的現象，但反之則不然。可見，展望理論優於前者。

3

對展望理論的感性認識

展望理論研究人如何在風險下做決策。

這個問題可以描述為，一個人可能面對著n > 1種不同的選項，每個選項可以有m >= 1種結果，而每個結果有一定的實現概率（註：當某個選項只產生一個結果時，我們說該結果是確定的，即它的實現概率是100%）。當人們面對不同的選項時：

首先評估每個選項中所有可能結果，並據此得到每個選項對於他自己的「主觀價值」；

然後再比較所有選項的「主觀價值」高低；

最後選擇價值最高的那個選項。

展望理論分析的便是人們在風險下為不同選項賦予「主觀價值」背後蘊含的邏輯。

通過我們此前實驗1~9的分析，相信你已經對人如何在風險下做實驗有了一些感性的認識。下面我們就來闡述展望理論的數學模型。它由價值函數和權重函數組成。

4

展望理論的數學模型：價值函數與權重函數

為了做最利於自己的選擇，決策者必須評估每個選項的價值，然後比較不同的選項。每個選項的最終價值（V）由價值函數（v）和權重函數（w）決定。

價值函數以結果的實際價值為自變數，得到的是該結果對於決策者的主觀價值；

權重函數以結果的產生概率為自變數，得到的是這個結果對其所屬選項的影響程度。

為簡化討論，假設選項中有兩個非零的結果（x和y），它們的實現概率分別為（p和q）。則這個選項的價值V(x,p;y,q)可以由如下方程得到：

V(x,p;y,q) = w(p)v(x) + w(q)v(y)

由此可知，為了確定一個選項的價值，必須研究價值函數和權重函數的數學特徵。下面一一介紹。

價值函數

當決策者評估每個選項中的不同結果時，他感受到的是每個結果對他的主觀價值v(x)，而非該結果的真實價值x。主觀價值是選項中不同結果的真實價值的函數，但不等同於真實價值。

舉個生活中的例子，假如兩個人都把手放在兩個水溫一樣的盆里，他們感受到的水溫可能因為他們之前接觸過冷的或者熱的物體而截然不同。

展望理論中對於價值函數的刻畫中，另一個非常重要的本質是，價值取決於財富的變化量，而非財富的最終狀態（回顧實驗8和9）。這說明價值的衡量由兩個因素決定：變化的初始狀態（稱作參考點）以及變化的幅度。因為只有定義了參考點之後，才能正確描述一個選項的結果是帶來正收益還是負收益。當參考點在決策過程中發生變化時，一個正收益的結果可能會變成一個負收益的結果，反之亦然。比如下面這兩幅圖，中間小長方形的顏色是一樣的。然而，取決於它邊上的大長方形的深淺，我們可以得到關於中間小長方形深淺的不同的結論。

對於價值函數的形狀，展望理論定性的指出:

當結果為正收益時，價值函數為結果的凹函數；

當結果為負收益時，價值函數為結果的凸函數。

換句話說，對於正收益（負收益）結果，隨著結果本身的增加（減少），結果的變化帶來的邊緣價值逐步減少。

舉個例子，比如將室溫從3度提高到6度，以及從13度提高到16度，二者都是提高了3度，但顯然前者給人的邊緣感受要強於後者。又或者，比如從虧了100變成虧了200，以及從虧了1100到虧了1200，兩者都是多虧損100塊，但顯然前者給人的邊緣感受高於後者。

圖1 價值函數

權重函數

決定每個選項的第二個重要因素是選項中每個結果的權重。權重w(p)是結果的產生概率p的函數，但它不是概率。它衡量的是每個結果對其所在的選項的影響，而非僅僅是該結果發生的可能性。然而特別的，當結果發生的概率為0時，w(0) = 0；當結果發生的概率為1時，w(1) = 1。當0 < p < 1時w(p)是什麼樣呢？

展望理論指出，如果一個結果產生的概率非常小（微乎其微），人們往往容易放大這種可能性，即當p非常小時，w(p) > p。考慮如下實驗10和11。

實驗10

（a）0.1%（百分之0.1，非常小）的概率得到5000元

（b）100%的概率得到5元

在所有參與者中，72%的人選擇了（a）而僅有28%的人選擇了（b）。

實驗11

（a）0.1%（百分之0.1，非常小）的概率損失5000元

（b）100%的概率損失5元

在所有參與者中，17%的人選擇了（a）而83%的人選擇了（b）。

對實驗10~11的分析

實驗10實際上描述了一個生活中非常熟悉的場景。我們平時買彩票就類似這個情況。假設一張彩票是5元錢，而買了彩票後你有千分之一的機會得到5000。這看起來是如此誘人，以至於絕大多數實驗者選擇了（a）。這是因為人們放大了這個千分之一的可能性在評估兩個選項時對選項（a）的作用。

同樣的，在實驗11中，人們也放大了損失5000這件事對應的千分之一的可能性。這就像人們買保險一樣，和損失的5元保險費相比，人們更願意避免千分之一才會發生的損失5000元的事故。因此，二者之間更多的人選擇了（b）。在Markowitz (1952)中也有類似的描述。

儘管對於很小的p有w(p) > p，展望理論指出，對於任意的0 < p < 1，有w(p) + w(1-p) < 1，這個性質稱為次確定性（subcertainty）。這個特性揭示了人們對於不確定事件態度的重要特徵，即兩個在發生概率上完全互補的事件（即註定會發生其中某一個）的權重之和小於1。除此之外，展望理論還說明了權重函數滿足次比例性（subproportionality）和次可加性（subadditive）。這裡不詳細論述。基於權重函數的特點，展望理論給出它的定性圖形如圖2所示。注意，該函數在概率p為0和1的時候是不連續的，是突變的。

圖2 權重函數

由圖2可知，權重函數是非線性的，而且當0 < p < 1時它是凸函數。這說明結果概率的增量帶給人們的邊緣權重增量隨著概率本身的增大而增大。這可以理解為人們對確定性的一種追逐。比如在俄羅斯輪盤賭（Russian roulette），我們有機會花錢來從左輪手槍中減少一發子彈。在這種情況下，根據槍膛中剩餘子彈數目的不同，人們願意花不同的價錢。顯然把子彈從2顆減少到1顆比把子彈從4顆減少到3顆會讓人願意出更多的價錢。在前者中，我們把結果（不被擊中）的概率從4/6提高到了5/6；而在後者中，我們把結果的概率從2/6提高到了3/6。雖然都是提高了1/6，但顯然前者的吸引力大於後者。這顯示了w(p)的凸性。如果僅剩餘1顆子彈而我們可以通過花錢來把它去掉的話（把不被擊中的概率提升到1），那麼無論出多少價都是值得的。這既說明了w(p)在p = 1時的突變，又說明了確定性可以顯著提升人們的決策權重（如同本文開篇的幾個實驗中展示的那樣）。

了解了價值函數和權重函數的定性特性後，我們便可以利用展望理論做決策了。

5

用展望理論解釋身邊的例子

這裡是考慮幾個假想的例子。假如上市公司要進行消息發布，在下面的每個情境中，上市公司應該一起發布還是分開發布呢？

情景1：有兩個好消息要發布

情景2：有兩個壞消息要發布

情景3：有一個大大的好消息和一個小小的壞消息

情景4：有一個大大的壞消息和一個小小的好消息

根據展望理論中價值函數的特性，不難得出結論。

情景1：假設兩個消息的正結果價值為x和y，因為v(x) + v(y) > v(x+y)，該公司應該分開發布好消息。

情景2：假設兩個消息的負結果價值為-x和-y，因為v(-x) + v(-y) < v(-x-y)，該公司應該一起發布壞消息。

情景3：假設好、壞消息的結果價值為x和-y且x>y，因為v(x) + v(-y) < v(x-y)，該公司應該一起發布。

情景4：假設好、壞消息的結果價值為x和-y且x v(x-y)，該公司應該分開發布。

6

看不懂大函數也沒關係，幾句話簡單總結一下

我們更在乎財富的變化而不是財富的絕對水平；

虧損對我們的傷害要強於盈利帶給我們的滿足感。

我們對擁有確定性的選項毫無抵抗力；

只有在不那麼確定的時候才會用腦子。

如果能獲取收益，我們都是膽小鬼，認為自己運氣比別人差；

如果要承擔損失，我們都是賭徒，認為自己運氣比別人都好。

面對極小概率的事件，我們傾向於放大它的影響；

面對極大概率的事件，我們傾向於放大它的影響。

我們在選擇的時候會忽略掉相同的條件，僅關注不同的部分；

這會讓我們更容易被忽悠，當然也可以活學活用去忽悠別人。

參考文獻

Bernoulli, D. (Originally published in 1738) translated by L. Sommer (1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica, 22(1), 22–36

Kahneman, D. and A. Tversky (1979). Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk. Econometrica, 47(2), 263–291

Markowitz, H (1952). The Utility of Wealth. Journal of Political Economy, 60, 151–158

Tversky, A (1972). Elimination by Aspects: A Theory of Choice. Psychological Review, 79, 281–299

Tversky, A. and D. Kahneman (1992). Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, 5(4), 297–323

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