數學告訴你勒布朗?詹姆斯從來沒手熱過

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作者，南夢玲，繩索技術協會理事。

數學在生活中不可或缺，這也許是老生常談了。數學嘛，買菜總是要用到的，加價減減而已。也許很多文章介紹過數學的偉大用處，但實際上也過於脫離生活了，數學用於製造電子設備？管他呢，我自己能用就好了。數學能用於金融？對於玩不起錢的我來說，還是算下工資多少年能買房更切實際。能發射火箭去上天？上去的又不是我。你們別整這些高大上的東西，數學對於常人還真是加加減減僅此而已了。

果真如此嗎？

我們先來看一個例子，請看下面這兩位想要降低其成本的車主。

小明（小明終於長大了）原來的車每升汽油能跑12公里，現在他換了一輛更省油的車，每升能跑14公里。

小麗愛護環境，她把原來每升汽油跑30公里（好節約的耗油！）的車換成了每升汽油跑40公里的車。

假設這兩個車主一年的行程是相同的。換了車之後，誰省油的數量更多？這問題太簡單了吧，加加減減而已，小明每升提高了2公里，等於是提高了六分之一，而小麗每升多跑了10公里，提高了三分之一！肯定是小麗更加省油！這是一個小學知識就能解決的問題，大部分人直覺口算都是這麼認為的。好，現在我們再來算下，假設兩人都跑了10000公里，小明就從833升減少到了714升，共省了119升，而小麗從333升降到了250升，只省了83升油，實際上小明更省油！

好吧，小編我並不是想要來證明大家小學沒畢業，而是想要告訴大家，做廣告的最高境界就是，明明說的都是實話，卻依然讓觀眾的直覺產生偏見，從而去購買產品。我們每天都會看到各種信息，並且會對這些信息有一個主觀的理解，其實我們的主觀理解未必有多正確，生活中充滿了偏見。這個問題之所以產生直覺錯誤，是因為描述的人採用了每升汽油行駛的公里數的框架。為了防止此類問題的出現，我們應該採用每公里耗油多少升的框架來描述。錯誤直覺很容易誤導政策制定者和買車的人。以上描述的現象，心理學家查德?拉里克（Richard Larrick）和傑克?索爾（Jack Soll）研究過，他們2008年在《科學》雜誌中發表了的《每加侖汽油所跑英里數的錯覺》中有詳細講解。

我們再來看一個例子，2014年一項研究對中國2856個縣的腎癌發病率進行了調查，調查顯示2014年該病發病率最低的縣差不多位於西部和西部人口稀少的鄉村，對此你有何看法？

人們很容易就做出推斷，認為腎癌發病率低主要是由於鄉村的生活方式很健康——「沒有空氣污染和水污染，食品沒有添加劑，保證新鮮。」這一點完全說得通。我們依賴直覺得出這一結論，並且看似很有道理，但實際上果真如此嗎？如果把描述改為發病率最高的縣位於西部和西部人口稀少的鄉村，相信人們可以毫不費力的做出推斷：「鄉村生活貧困，人們無知、醫療條件差、不注重衛生、嗜煙等。」雖然這兩個理由都看似很有道理，但一個地方不可能在同一時間發病率又高又低。

之所以會出現這種情況的原因，是因為我們的直覺存在偏見。問題的關鍵在於鄉村地區人口稀少，僅此而已。稍微學過概率的人，都可以很快的反應過來：「樣本數量越少，極端事件連續發生的概率就越大。」舉個例子，我們仍1個 骰子，連續扔3次全是6的概率遠遠大於連續扔30次全是6的概率。在沒有大數定律支持的情況下，一切僅僅是運氣罷了。不信的話你可以嘗試去計算這個題目：在一個裝有兩種顏色的箱子中有超多的紅球和黑球，其中紅球黑球一樣多（這相當於在說，癌症比例為50%），小明每次拿4個球而小麗每次拿7個球，那麼分別去計算兩個人拿出來的全是同一種顏色的球的概率（發病率100%或發病率0%），可以發現小明的概率大概是小麗的8倍（12.5%與1.56%）。這就是真相，某縣人數少，因此更容易出現極端事件，而恰好趕上了數據調查，人們就容易得出錯誤的結論。統計學家霍華德?維納（Howard Wainer）曾經做過一個實驗，來解釋類似的現象。

「現在勒布朗連投幾個都進了，手熱的發燙！隊友應該盡量把球都傳給他多打！」這是我們看籃球的時候，經常聽到解說說的話，也是我們要說的第三個例子。籃球運動員有時候會有投籃手風很順的現象，如果一個運動員連續進了三四個球，那麼人們就會不由自主做出判斷：這個球員現在正處於手熱狀態，得分率暫時增加。兩隊隊員都持這種判斷——隊員也更愛將球傳給打得手熱的人，對方球隊則會加強對這個球員的防守。然而真實情況是，通過統計學研究表明，根本沒有投籃手熱這一回事，之所以會有這樣的錯覺，是因為人們太快做出了評判。再更多次觀察之後你就會發現，球員的得分率將會回歸他的正常水平，也就是回歸平均值。統計學告訴了人們事實，卻沒多少人相信這個事實。做這項研究的是阿莫斯?特沃斯基（Amos Tversky）、湯姆?季洛維奇（Tom Gilovich）和羅伯特?瓦隆（Robert Vallone）。

我們的思維經常會對事物產生偏見，直覺也會欺騙我們，而人們往往卻不肯承認自己思想的錯誤。這些事例裡邊蘊含著最基本的數學原理，並沒有什麼高大上的理論，不需要微積分，也不用研究群環域，只要簡單應用高中以下的數學知識，就可以避免我們做出錯誤的判斷。

接下來我們再看第四個例子，如果你在北京地鐵上看到一個人正在讀知識專業性比較強的報紙，那麼他學歷更有可能是博士還是根本沒讀過大學？我們的直覺會告訴我們，應該選第一項，但實際上這樣選擇並不明智。因為在地鐵上面是博士的人的基礎比例遠小於沒有本科文憑的人的基礎比例（1.3%和35%）。

這裡我們來看一個貝葉斯定理應用的經典例題：

一輛計程車肇事逃逸，這座城市有兩家計程車公司，其中一家公司的車全是綠色的，另一家全是藍色的。

你知道這座城市85%的計程車是綠色的，15%是藍色的。

一位目擊證人辨認出那輛肇事計程車是藍色的。當晚，警察在出事地點對證人的證詞進行了測試，得出結論是：目擊者在當時能夠正確辨別出這兩種顏色的概率是80%，錯誤的概率是20%。

這場事故的計程車是藍色而不是綠色的概率是多少？根據貝葉斯定理，目擊證人得出正確答案的概率為41%。

當人們面對這樣的問題的時候，往往會忽略基礎比率，只考慮目擊者因素，因此大部分人會認為是80%。

在這裡，我們需要用貝葉斯定理來約束我們的直覺，才更有可能得到正確的答案。生活中我們的直覺往往忽略事件的基礎比率，所以我們會產生偏見與錯誤。

現在，你還敢說數學僅僅是加加減減，和生活無關嗎？這四個事例，都是我們生活中常見的事情，但我們很容易就被我們的直覺所欺騙，對其產生偏見。數學可以給我們的生活我們的判斷帶來指導性建議，直覺往往欺騙自我，善用數學思維，而不是僅僅依賴直覺，能夠讓我們減少偏見。

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