一波三折湍流沉寂，知難而上林氏破謎

阿諾德·索末菲 (1868-1951)

撰文 | 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）

責編 | 呂浩然

上回說道……

索末菲個人的挑戰，宣告失敗。

4、一代奇才

面對失敗，索末菲並不甘心讓這個問題沉寂下去，畢竟，他執掌的慕尼黑學派人才濟濟。

於是，他把問題交給了自己門下的眾多弟子們。前兩位擔此重任的學生叫做路德維希·霍普夫(Ludwig Hopf)和弗里茨·諾特(Fritz Noether)。此二人皆出身於學術世家：前者的表弟海因茨·霍普夫(Heinz Hopf)可謂二十世紀最傑出的數學家之一，而後者的姐姐艾米·諾特(Emmy Noether)更是被愛因斯坦稱為數學史上最重要的女性。

儘管家學淵源且師出名門，這兩人並沒能在流動穩定性的問題上取得太大的進展。甚至，他們不約而同的認為，由奧爾-索末菲方程(Orr-Sommerfeld)計算出來的平行流動在任何微擾動下都是穩定的。因此，必須尋找新的數學模型來描述湍流的發生。

左：路德維希·霍普夫 (1884-1939)、右：弗里茨·諾特 (1884-1941)

這個結論無疑為當時本就黯淡的前景又蒙上了一層黑紗。可謂一波未平、一波又起。

索末菲決定另覓人選。環顧身邊眾多弟子，剛入門的海森堡無疑是最為根骨精奇、天賦過人的一個。在接下來的幾年裡，索末菲將自己畢生所學傾囊相授，唯望他能不負所托，光大師門。

索末菲沒有看錯。在兩年後訪學哥廷根的日子裡，年僅21歲的海森堡初出茅廬便令人印象深刻：馬克思·波恩和路德維希·普朗特(Lugwig Prandtl)對他刮目相看；尼爾斯·玻爾更是對他拋出橄欖枝，邀他畢業後赴哥本哈根共圖偉業。

海森堡也的確沒有讓這些人失望，數年之後，他將攜絕學矩陣力學和測不準原理重出江湖，執武林之牛耳。然而在這之前，他必須完成博士答辯，完成他的老師索末菲所託：那個已困擾了整個學派20餘年的問題。

維爾納·海森堡 (1901-1976)

之前我們說過，從數學上解決奧爾-索末菲方程所描述的流動穩定性問題僅需兩步。然而，海森堡在第一步就遇到了困難。儘管他用巧妙的小參數攝動方法找出了方程的漸進解，但由於這些方法所引出的奇點問題，以及解的收斂性問題卻讓他顧此失彼，焦頭爛額。

當時的海森堡，對數學的運用並不像他後來那般純熟，因此，儘管他的這些解後來被證明是正確的，但他當時卻未能給出嚴格的數學論證。對第一步中解的數學性質的理解不足直接導致了第二步中處理特徵方程難度加大。眼看答辯期限將至，海森堡還是一籌莫展。在數學上的捉襟見肘使得海森堡不得不另覓他徑：憑藉自己的物理直覺，海森堡拼湊出了一個臨界穩定雷諾數的解答，在答辯前夕如期上交了論文。

在老師索末菲的庇佑下，這篇論文順利為海森堡贏得了博士學位。但由於數學分析上的不足，尤其是對於臨界穩定區域太過粗略的近似，海森堡這個不嚴謹的解答並未得到物理學界的認可。

海森堡終究還是失敗了，棋差一招，功虧一簣，並非招數不精，實乃內力不足。

索末菲終於心灰意冷了。在一次慕尼黑大學物理系教員會議上，他一臉無奈地說道：「我本不該再將如此難的題目交給我的學生作為博士課題的。」(「I could not have suggested a theme of such difficulty for a doctoral dissertation to another of my pupils.」)

索末菲學派對流動穩定性的挑戰以失敗告終，而湍流問題則成了索末菲一生的糾葛。科學巨匠西奧多·馮·卡門(Theodore von Karman, 錢學森的導師)在自傳中記錄了這樣一段往事：「阿諾德·索末菲，這位著名的德國理論物理學家，曾經告訴我，在他死前，他希望能夠理解兩種現象—量子力學和湍流。我相信他更接近於理解引導了現代物理學發展的量子理論，而對湍流卻還知之甚少。」(「Arnold Sommerfeld, the noted German theoretical physicist of the 1920s, once told me, for instance, that before he died he would like to understand two phenomena—quantum mechanics and turbulence. I believe he was somewhat nearer to an understanding of the quantum, the discovery that led to modern physics, but no closer to the meaning of turbulence. 」)

這段話的另一個版本來自海森堡：「見到上帝時我想問他兩個問題：為什麼會有相對論？為什麼會有湍流？我相信他對於第一個問題一定會有答案。」(「When I meet God, I am going to ask him two questions: Why relativity? And why turbulence? I really believe he will have an answer for the first.」)但出處已不可考。

我們回到海森堡的博士論文。儘管他未能完整地解決問題，但這篇論文在當時無疑是對流動穩定性問題的一項具有開創性的最高水平研究。印度裔物理大師蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar)的評價或許最為公正：「儘管海森堡引入了諸多限制和近似，他對奧爾-索末菲方程的處理無疑對所有後續工作有著建設性的指導。」(「In spite of the limitations and approximations which Heisenberg used ... his treatment of the Orr-Sommerfeld equation has had a major impact on all subsequent developments.」)

然而， 海森堡的失敗讓這個問題沉寂了二十年，物理學家們紛紛知難而退，無人再敢越雷池一步。

5、巔峰之作

二十年後，在遙遠的加州理工學院，一名來自中國的博士生向他的老師馮·卡門提交了他的博士論文。這個博士生叫林家翹，論文的題目是「論湍流的形成」(「On the development of turbulence」)。文中，林家翹用更為嚴謹的數學方法得到了奧爾-索末菲方程的解，並嚴格論證了其收斂性。以此為基礎，林家翹又用精妙的漸進方法進一步解出了特徵方程，計算出了對於拋物線速度剖面的層流的臨界雷諾數在5300左右。

整個過程絲絲入扣，巧奪天工。

林家翹 (1916-2013)

此文一出，江湖嘩然，天下震驚。讚許聲、質疑聲接踵而至。為平息紛爭，在馮·卡門的好友約翰·馮·諾依曼(John von Neumann)的建議下，當時在哥倫比亞大學任教的路維林·托馬斯(Llewellyn Thomas)利用剛剛興起的電子計算機驗證了林家翹的解法，並將這個臨界雷諾數最終定格在5772.2。

這一年已是1953年，距離雷諾的實驗已有近一個世紀之久。這個世紀難題終告破解，林家翹的解法也成為了求解這類高階微分方程的典範。天下太平，四海賓服。

令人難以置信的是，林家翹的這個通過嚴格數學方法得來的不穩定解，和海森堡當年根據物理直覺的推測並無大異，定性相符。為此，海森堡在給老師索末菲的信中，不無得意的寫道：「我愉快地得知我博士論文的大部分內容依然是基本正確的。很明顯，流體力學專家們現在已經同意拋物線速度剖面的流動的確是不穩定的。這正是我當年所聲明的，而且我對不穩定區域的計算也是相當正確的。來自中國的科學家林家翹得到了同樣的結果。」(「I was amused to find that evidently the main content of my dissertation was still all right. In particular, the specialist on hydrodynamics now apparently agree that the parabolic flow profile is indeed instable, as I had stated at that time, and that also my calculation of the region of instability was essentially correct. The same has been found in America by the Chinese scientist Lin.」)

我們不得不由衷地佩服海森堡天才的物理直覺。在他後來致力於量子力學領域的日子裡，還會有幾次短暫地回歸湍流領域的研究，但這些都是後話了。

如果湍流是一部經典物理至高無上的武學秘笈，那麼流動穩定性只能填滿其第一章的內容。欲知後面的章節由誰來寫，如何來寫，且聽「下下回」分解。

後記

對於索末菲學派的這段歷史，網上流傳的版本多有演義和誇張之嫌。本文旨在真實和完整地還原這段往事。儘管查閱了不少資料，但要將拙作呈於眾多專家面前，我仍不免心懷惴惴。如果能讓流體力學專業的同學們從文中獲得一些啟發，則我不勝榮幸。而對於其他專業的讀者們，我也希望你們能夠感受到故事的精彩，體會到這門經典學科發展的不易。

為了使科學不顯得枯燥乏味，我盡量把語言寫的輕鬆詼諧，不去涉及太多的數學講解，但同時也爭取最大限度地遵循史實和科學。

然而由於文字功力有限，有時不得不在故事的流暢性和嚴謹性上做出一定的取捨。比如，索末菲在羅馬會議的文章中第一次推出的方程並非上文中列出的形式，而是對於線性速度剖面的特殊處理；海森堡的失敗也並未讓此類問題的研究完全「沉寂」二十年——1929年沃爾特·托米恩(Walter Tollmien)發表的關於邊界層穩定性的研究與海森堡的方法一脈相承。

本文雖名為「索末菲學派那些事兒」，其實並未包含索末菲學派對於流體力學的所有重大貢獻。例如，索末菲大獲成功的「潤滑理論」、海森堡論文第二部分中對於完全發展湍流的研究以及他後來對於各向同性湍流的闡釋都未列入文中。

最後，謹以此文紀念林家翹先生誕辰100周年！

作者簡介：

潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。

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