五次方程的征途

作者：黃逸文（中國科學院數學與系統科學研究院）

在上周四《三次方程的求解之路》一文中，作者給大家講述了三次方程求解從舉步維艱到有突破性進展過程中幾位數學家的故事，三次方程求解攻克之後，數學家們又把目光投向了更高階次方程的求解中來，這條求解之路一走便又是幾百年。

暴風雨的前夜

歷史的腳步匆匆邁入了18世紀，隨著三次方程的塵埃落定，數學家們漸漸將興趣投到了更高階的四次、五次方程的通解公式上去。

這些高階方程的謎團一直困擾了數學家們250多年。在五次方程的求解過程中， 數學家終於鑿開了隱藏在冰山下的現代科學，從而將數學帶入了精妙絕倫的現代群論。

這一偉大的思維成果，直接奠定了20世紀的物理基礎，從此，牛頓的機械宇宙觀邁入隨機和不確定性的量子世界乃至廣袤無垠的時空相對論。一場空前偉大的科學革命如疾風驟雨般來臨。生活在21世紀的人類，無不受益於這一偉大的思維盛宴。

在這暴風雨的前夜，歷史上最偉大的數學家們悉數登場，他們為五次方程的求解而苦苦思索。這場用汗水和生命澆灌出來的理論之花終於在三次方程求解成功200年後綻放，給後世子孫留下了無窮無盡的智慧寶藏。

迷局叢生

五次方程的挑戰很快在歐洲大陸點燃了戰火。瑞士數學家歐拉為尋找方程的求解提供了一種新思路。他通過一個巧妙的變換把任何一個全係數的五次方程轉化為具有「x^5+ax+b=0」的形式。這一優美的表達讓歐拉傾向於可以找出五次方程的通解表達式。

與此同時，法國的天才數學家拉格朗日也在為尋找五次方程的解而廢寢忘食。不久以後，他欣喜地發現一種特別的方法，可以將四次方程降階為三次方程，從而找到了一種簡單的求解四次方程的方法，但是遺憾的是，同樣的變換卻將五次方程升階為六次方程。

這一挫折並沒有打擊到拉格朗日的信念，他以自己的執著信念斷定五次方程一定存在著某種特殊的變換手段，從而能夠成功地找到通解表達式。

此後，五次方程的進展一度陷入迷局。當時五次方程的焦點主要集中在兩大問題上。第一個問題是，對N次方程，至少都有一個解嗎？第二個問題則更進一步：N次方程如果有解，那麼它會有多少個解呢？

這兩大問題最終被人類歷史上最偉大的數學家高斯所解決。他在1799年證明了第二個問題，即每個N次方程都恰好有且只有N個解。於是自然就推論出五次方程必然有五個解，但是這些解都可以通過公式表達出來嗎？

1800年，高斯進一步證明了一般方程的代數解似乎並不存在。不過他仍然樂觀地認為：也許嚴格證明五次方程沒有公式解，並沒有那麼困難。

波瀾再起

為了求解五次方程，歐洲大陸的數學家正緊鑼密鼓地開展深入研究。1800年，一位遠在義大利的內科醫生兼數學愛好者魯菲尼寫出了一篇500多頁的論文。在該文中，魯菲尼聲稱，一般五次方程(以上)沒有能用通項公式表達的解（簡稱無解）。面對著這一」業餘民科」的證明，數學家們深表懷疑，又由於篇幅過長，沒有人願意花精力去驗證魯菲尼的過程。

魯菲尼心有不甘，在此後的兩年間兩次將自己的證明寄給了拉格朗日，信中，他迫切地懇求拉格朗日的點評，但是仍然石沉大海。眼看著自己的成果無人問津，魯菲尼並沒有灰心，他花了10年時間潛心簡化和整理自己的證明，最後在1813年寫成了論文：對一般代數方程的反思。

最後，魯菲尼終於等到了數學界的迴音。法國數學會在提交給國王的一份報告里總結過去一百年間的數學進展時提到了魯菲尼，但是對他論文的評價竟是：雖然魯菲尼試圖證明五次方程無解，但是他肯定做不到。

為五次方程耗費15年精力的魯菲尼失望到了極點，他在51歲時再次將論文投到了英國皇家學會，很快論文也被無情地拒絕。唯一讓他感到欣慰的是，大數學家柯西親自給他回信肯定了他的工作價值。命運似乎對魯菲尼過於殘酷，他沒有等到自己的榮譽就抱憾辭世。在他去世以後，他的成果也在浩如煙海的學術文獻中漸漸被眾人遺忘。

多年以後，魯菲尼的論文被人重新發現，儘管證明仍然有漏洞，但是從魯菲尼開始，人們終於找到了研究五次方程的正確方向：從尋找一般的求解公式到證明五次方程沒有公式解。

從此，代數學即將迎來新的篇章。然而，建造現代數學的橋樑遠比魯菲尼的境遇更為坎坷。一條通往現代群論的鐵路，卻要用今後最傑出的天才數學家們浸染鮮血的枕木來鋪就。