數學史上的三次危機

數學是一門嚴格的科學，但它的發展從來不是一帆風順的。由於人類對自然及自身邏輯認識的局限性，數學科學發展的歷史上也曾遭遇過許多類似於出現測量出「黑體輻射」和「電子雙縫干涉實驗」現象後人類無法解釋其原理的危機。本文就帶大家認識數學史上的三次最為重大的危機。需要說明的是，每一次危機的出現都意味著科學的進步。

無理數的發現——第一次數學危機

大約公元前５世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。

最後，到了公元前370年，這場危機被畢氏學派的歐多克斯通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第５卷中。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大衝擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

第一次數學危機表明，當時希臘的數學已經發展到這樣的階段：

1．數學已由經驗科學變為演繹科學；

2．把證明引入了數學；

3．演繹的思考首先出現在幾何中，而不是在代數中，使幾何具有更加重要的地位。這種狀態已知保持到笛卡兒解析幾何的誕生。

中國、埃及、巴比倫、印度等國的數學沒有經歷這樣的危機，因而一直停留在實驗科學。即算術階段。希臘則走上了完全不同的道路，形成了歐幾里得的《幾何原本》與亞里斯多得的邏輯體系， 而成為現代科學的始祖.在當時的所有民族中為什麼只有希臘人認為幾何事實必須通過合乎邏輯的論證而不能通過實驗來建立？這個原因被稱為希臘的奧秘。

大約在公元前370年才華橫溢的希臘數學家歐多科索斯以及柏拉圖和畢達哥拉斯的學生阿契塔給出兩個比相等的定義，從而巧妙地消除了這一邏輯上的醜陋.他們給出的定義與所涉及的量是否可公度無關。其實這也是自然的，因為兩個線段的比本來與第三個線段無關。當然從理論上徹底克服這一危機還有待於現代實數理論的建立。在實數理論中，無理數可以定義為有理數的極限，這樣又恢復了畢達哥拉斯的「萬物皆依賴於整數」的思想。

無窮小是零嗎？——第二次數學危機

18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。

1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求Xn的導數時，採取了先給x以增量０，應用二項式（X+0）n，從中減去Xn以求得增量，併除以０以求出Xn的增量與x的增量之比，然後又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。這裡牛頓做了違反矛盾律的手續──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等於零又不等於零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數學史上的第二次數學危機。

18世紀的數學思想的確是不嚴密的，直觀的強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。

第一個為補救第二次數學危機提出真正有見地的意見的是達朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴謹化的拉格朗日。為了避免使用無窮小推斷和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒式的基礎上。但是，這樣一來，考慮的函數範圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數的收斂問題。所以，拉格朗日的以冪級數為工具的代數方法也未能解決微積分的奠基問題。

到了十九世紀，出現了一批傑出的數學家，他們積極地為微積分學的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學家和數學家波爾查諾。他開始將嚴格的論證引入導數學分析重。1816年他在二項展開公式的證明中，明確地提出了級數收斂的概念。同時對極限、連續、變數有了較深入的理解。特別是他曾寫出《無窮的悖論》一書，書中包含許多真知灼見。可惜，在他去世兩年後該書才得以出版。

分析學的奠基人，公認為法國多產的數學家柯西。柯西在數學分析和置換群理論方面做了開拓性的工作，是最偉大的近代數學家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數學史上劃時代的著作。在那裡他給出了數學分析一系列基礎概念的精確定義，例如，他給出了精確的極限定義，然後用極限定義連續性、導數、微分、定積分、無窮級數的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義，不過現在寫得的更加嚴格一點。柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變數，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。

悖論的產生——第三次數學危機

數學史上的第三次危機，是由1897年的突然衝擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理髮師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。 還有大家熟悉的「說謊者悖論」，其大體內容是：一個克里特人說：「所有克里特人說的每一句話都是謊話。」試問這句話是真還是假?從數學上來說，這就是羅素悖論的一個具體例子。

羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第２卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地"。於是終結了近12年的刻苦鑽研。

在描述羅素悖論之前，我們注意下面的事實：一個集合或者它本身的成員，或者不是它本身的成員。

例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一個人；所有集合的集合本身是一個集合，但是，所有星的集合不是一個星。

羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什麼呢？這是由於R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那麼從集合的角度就有R R。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異於R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則， 否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的「最大的集合」了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機到此緩和下來。 現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集 ，在經過一系列一元和二元運算而得來的。而在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。

承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。

來源：演算法與數學之美

編輯：Lixy