二維光/聲學拓撲態

1 引言

拓撲學(topology)是近代發展起來的一個數學分支，主要研究各種「空間」在連續性變化後仍保持不變的性質。它只考慮近鄰間的位置關係而不是外形和大小，描述物體的一些整體特性，比如著名的哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等。舉個形象的例子，在不開孔的情況下(因為開孔破壞了近鄰關係)，一個球形或方形的實心橡皮泥可以捏成一個碗或勺子，卻捏不成一個圓環或漏斗。那麼，球和圓環具有不同的拓撲數，即虧格g(Genus)，可用高斯—波涅定理(Gauss—Bonnet theorem)描述： 2(1 - g) =∫surfaceKdA/(2π) ，即高斯曲率K的表面積分。此時g為整數，通常等於物體開孔的數量，比如球形g=0，環形g=1。在凝聚態物理領域，隨著晶體能帶理論的發展，人們發現倒空間的能帶結構也可具有不同的拓撲性質，繼而發展成一類擁有相變、對稱性以及具有非平庸拓撲性的新型材料——拓撲材料，其中典型的例子就是霍爾效應家族。

1879 年，美國物理學家埃德溫·霍爾(Edwin. H. Hall)發現了霍爾效應：電流通過具有垂直外加磁場(B)的導體時，垂直於電流和磁場的方向存在電勢差，其霍爾電阻(RH)隨B 線性增加。1980年，德國物理學家馮·克利青(Von Klitzing)發現，在低溫強磁場下，二維電子氣被限制在極薄的一層空間之內運動， RH與B的關係在總體上升趨勢中會出現一系列對載流子濃度、遷移率大小等均不敏感的平台， 平台處的RH= h/(ne2) (n 為整數)， 即整數量子霍爾效應。隨後， 1982 年Thouless 等人指出：其中量子化的根源在於存在拓撲不變數，整數n 對應的是非零陳數(Chern number，以陳省身先生命名)，即TKNN 關係，而真空或普通絕緣體的陳數為零。在該體系中，處於體能隙中的費米面附近存在無能隙的手性邊界態，其拓撲保護表現為電子的完全背散射抑制和缺陷免疫的單向輸運，這是一種介於絕緣體和金屬之間新的物態——拓撲態，它不能夠在朗道相變理論的框架下得到解釋。從此，物質的拓撲性質研究成為凝聚態物理研究中一個重要方向。但是，實現量子霍爾效應往往需要外加強磁場(破壞時間反演對稱性)和較低的溫度，於應用不利。2005 年左右，Kane和張首晟等人分別提出，在零磁場下，利用自旋軌道耦合，可存在一對共軛的自旋相反的無能隙邊界態，即量子自旋霍爾效應(二維)或拓撲絕緣體(三維)。此時，總的霍爾電導為零，但是具有不為零的量子化自旋霍爾電導，可用Z2拓撲不變數或自旋陳數(Spin Chern number)來描述，具有時間反演對稱保護的自旋輸運性質。2011 年，哈佛大學L. Fu 提出也可通過晶格對稱性構造一種三維拓撲晶體絕緣體。不同於一般拓撲絕緣體，其不需要自旋軌道耦合，拓撲性質受到晶格對稱性(比如鏡面對稱性)而非時間反演對稱性保護，並在隨後的實驗上得以證實。另外，一類名為Floquet 的拓撲絕緣體也可在電磁波誘導的時間周期振蕩勢能中得以實現。

既然霍爾效應家族中的量子化根源在於其拓撲特性，而與電子作為半奇數自旋的費米統計無直接聯繫，而且從能帶圖像和布洛赫(Bloch)定律來看，電子、光子、聲子具有一定的相似性，那麼在玻色子領域(具有整數自旋)，比如光、聲、機械振動等應該也可以實現類似量子化的拓撲態。特別是近幾十年來關於光/聲子晶體和超構材料的研究，已形成一套集合能帶理論，設計和實驗方法的完整研究手段，可有效地實現光/聲的調控。把拓撲序的概念引入到光/聲系統中，特別是其拓撲保護的單向傳輸特性，將在光/聲通信，光、聲、電集成，計算等領域有著巨大的應用前景。本文主要關注二維光/聲拓撲態及其相關問題的研究，大體回顧了近年來二維情況下光/聲量子霍爾效應、Floquet 拓撲絕緣體、拓撲絕緣體(量子自旋霍爾效應)的相關工作。

2 對稱性和貝利曲率

在光/聲子晶體中，由於周期調製的存在，根據布洛赫定理，第m條能帶的哈密頓方程可寫成H(k)|um(k)> = Em(k)|um(k)> 。那麼，可定義一個規範勢A(k) = i ，即貝利聯絡(Berry connection)，對勢求旋度即可得到一場強，貝利曲率(Berry curvature) F(k) =?k× A(k)。對貝利曲率在整個布里淵區積分則可得到陳數的表達式：

這裡，我們先考察在宇稱(P)和時間反演(T)操作下，光/聲子晶體中體能帶的布洛赫波矢k(ω) 和貝利曲率F(k) 的對稱性。對於波矢，當P不變時， k+(ω) = -k-(ω)；T不變時， k+(ω) = -k*-(ω)，其中k+> 0 和k-< 0 分別代表正向和反向傳播的波。對於體能帶，k 和ω 均為實數，所以只有P和T 同時破缺時才有非對稱的體能帶出現k+(ω) ≠ -k-(ω)。對於貝利曲率F(k)，僅有P不變，F(k) = F(-k)；僅有T不變，F(k) = -F(-k)；而P和T 同時存在時，除去一些沒有很好定義的簡併點， F(k) 處處為零。一般而言，一個有效的實現非零陳數的方式是：在體能帶中找到或者構造兩重簡併點，比如三角或六方晶格中線性簡併的狄拉克點或者四方晶格中的二次簡併點，然後破缺某種對稱性，打開簡併點並形成體能隙。如圖1(a)所示，六方晶格體能帶的狄拉克錐通過P破缺打開時，其貝利曲率只在原簡併點附近非零，且呈現對稱形式F(k) = -F(-k) (其在布里淵區的K點時為正，而在K′ 時為負)，其在整個布里淵區積分為零，即陳數C=0，意味著該破缺的兩個能帶是拓撲平庸的。K和K′ 點符號不同但大小相等的貝利曲率可用來實現不同的渦旋態，比如能谷(valley)態。而如果破缺T，K 和K′ 點處貝利曲率符號相同，比如陳數C=1，帶隙中將出現一條無能隙的邊界態。該邊界群速度ω/k 在整個布里淵區為同號，表明波只能沿邊界無背散射單向傳播，而T 破缺是實現非零陳數的必要條件。從k(ω)對稱關係來看，T破缺時，一對上、下邊界的布洛赫波矢不再是成對出現，而是分別劈裂成k+= kx+ iky和k-= -kx- iky(虛數部分代表垂直於邊界方向衰減)，及拓撲邊界態，其傳播特徵是：存在於晶體邊界、單方向且與手性鎖定。玻色子如果僅考慮單一偏振自由度， 無法形成類似Kramers 簡併的自旋對偶態，如果我們能夠提高玻色子的自由度，通過對稱性構造一種軌道贗自旋自由度，形成一個具有四重簡併點的雙重狄拉克錐，則可通過類似自旋—軌道耦合的方式打開簡併，形成能隙，如圖1(b)所示，其上、下能帶均為兩重簡併，可構造出一對贗自旋態。分別把um(k)投影到不用的贗自旋態上，便可得到C= + 1，C= -1 。此時，系統的總體陳數C+ C= 0 ，而自旋陳數非零Cs= ±(C- C)/2 = ±1 ，即量子自旋霍爾效應或拓撲絕緣體。

圖1 (a)狄拉克錐通過P 或T破缺後，出現不同邊界態，第一布里淵區貝利曲率和陳數的示意圖；(b)雙重狄拉克錐通過贗自旋—軌道耦合作用後，出現非零自旋陳數和不同贗自旋的貝利曲率

3 時間反演破缺的光/聲量子霍爾態

2005 年，普林斯頓大學的Haldane 和Raghu提出，通過外加磁場破缺T，使得狄拉克點簡併打開，可在三角或六方旋電光子晶體中構造一條TE偏振光(磁場垂直於面外)的無能隙邊界態，即整數量子霍爾效應的光子學類比。這種邊界態可完全抑制背散射，只能沿一個方向傳播。2008 年，麻省理工學院的Z. Wang 等提出四方旋磁光子晶體中，通過二次簡併點的打開也可實現類似現象。以旋磁磁光材料為例，為方便起見，將磁導率μ的逆表示為

其旋磁γ 源於電子在外加磁場下的進動，磁場的引入破壞了T。將μ代入Maxwell方程可以得到：

其中矢勢項A= μz× ?γ 的出現，意味著存在不成對的邊界態，對應電子的整數量子霍爾效應。非零陳數可通過(1)式得到。隨後，麻省理工學院課題組在實驗上首次觀測到這種背散射抑制的單通拓撲光子態，實驗示意圖如圖2(a)所示，其中用於破壞時間反演對稱性的磁光材料選為釩摻雜的鈣鐵榴石(VCIG；TCI 陶瓷NG-1850)鐵氧體圓柱。該材料在0.20 T 的直流外加磁場下，其具有較高的飽和磁化強度和較低的損耗。當頻率約為4.5 GHz時(位於第二帶隙中)，手性邊界態的前向傳播和背向傳播的幅值比大於50 dB，表明其背向受抑制，僅能前向傳播。該邊界態受拓撲保護的缺陷免疫和繞過障礙物單向傳播的魯棒性質被系統地研究。此外，這種邊界態也可落在空氣線以外，變成表面模式。另一方面，如果是多個簡併點的破缺則會形成多個無能隙拓撲邊界模式，其數量由陳數的大小(|C|)決定。基於此效應，大量有趣的器件設計相繼被提出，包括單通光束或光波導分路器(光開關或光二極體)、單向延遲線、通道上行下載濾波器、磁可調器件、二進位數字發生器、慢光器件、寬頻環路器等等。

雖然光類比量子霍爾效應拓撲邊界態於2009 年就已被實驗證實，但對聲學而言，要破缺T 則不是一件很容易的事情，一般需要非線性材料或磁聲作用。然而非線性聲學材料功耗高、不穩定而且轉化效率低，同時磁聲作用非常弱且不適用於流體聲波(縱波)，比如空氣聲和水聲。所以，人們一直沒有找到可行的實驗系統來實現聲類比的整數量子霍爾效應。直到2014 年，德州大學奧斯汀分校A.Alu 研究小組提出了一種利用環形氣流類比分子環形電流引入磁場來構建等效的聲矢量勢，從而打破時間反演對稱性，實現空氣聲的非互易傳播。如圖2(b)所示，該研究小組在實驗上製作了一個緊湊的聲環路器，非互易隔離率高達40 dB。其氣動聲學的方程經過化簡，忽略高階小量後，可寫為如下形式：

其中，Φ為速度勢，有效矢勢項A= -ω|V|eθ/c2，V代表環形氣流速度， ω 代表空氣聲圓頻率， ρ 是空氣密度，c為空氣中聲速。與磁光材料公式(3)中出現矢勢相同，(4)式中也出現一個有效矢勢項A，那麼由環形氣流產生垂直於面外的有效磁場可表示為Beff=?×A。基於此結構，構造周期結構，可打開能帶中狄拉克點的簡併，產生非零陳數，即實現可類比的聲量子霍爾效應。2015 年，3 個研究小組在理論上分別提出在聲子晶體中引入環流實現聲拓撲邊界態的模型，並數值模擬了具有缺陷免疫魯棒特徵的聲單向傳播，如圖2(c)所示，並驗證了聲單通方向與環中方位角的關係。然而，由於需要動態同步調製產生多個環形氣流，以及可能會帶來不穩定性和雜訊，使得這種模型在實驗上較難實現。

圖2 (a)光整數量子霍爾效應實驗示意圖；(b)通過環形氣流產生空氣聲的有效磁場示意圖；(c)陣列環形氣流結構中空氣聲的單向傳播

4 光/聲Floquet 拓撲絕緣體

由於磁響應的頻率不高，以旋磁材料為基礎實現光量子霍爾效應，一般局限於微波波段(旋電材料最多到紅外波段)，難以應用在紅外通信甚至是可見光頻段。2012 年，斯坦福大學S.Fan 研究組在理論上指出：可以利用光相位動態調製的方法來實現有效磁場，達到破缺T 的目的。他們提出(如圖3(a)所示)：通過含時調製兩個具有不同共振頻率小球間的耦合相位，使得其中橫向不耦合，而縱向的耦合相位隨周期數線性增加。光經過一個小元格(plaquette)後可引入一個有效規範勢，相當於存在一個均一的有效磁場B=Φ/a2。它使得正向和反向傳播的光獲得相反的相位，類似於AB 效應(Aharonov—Bohm effects)，其本徵值將位於不同的頻率區間。整個系統含時周期變化，哈密頓量滿足H(t + T) =H(t) ，應用Floquet定理，其波函數可寫為ψ(t) = e-iεtΦ(t) ，其中ε為準能量，Φ(t) =Φ(t + T )滿足周期性(類比於布洛赫定理於坐標空間)。由此可以得到准能量—動量空間的體能帶和一個無能隙的拓撲邊界態，即光Floquet 拓撲絕緣體。同樣的調製，對於聲而言也可藉助該方法實現聲的Floquet 拓撲絕緣體。如圖3(b)所示，在六方晶格格點位置利用三個聲容隨時間周期調製且相互耦合的共振結構，按旋轉方向成120°相位差。該理論模型是基於格點旋轉的慢調製，優勢在於晶格間不需要均一的相位。

圖3 通過含時調製近鄰間光耦合相位實現有限磁場和(a)光及(b)聲拓撲邊界態。通過螺旋結構破缺z 方向的對稱性實現(c)光和(d)聲Floquet 拓撲絕緣體。基於耦合共振環的(e)光和(f)聲網路模型Floquet拓撲絕緣體

然而，實驗上實現周期性的含時調製有一定難度。2013 年以色列理工學院M. C. Rechtsman 等提出一種方案，以空間維度上的調製(z 方向)來代替時間的周期調製，從而在實驗上實現了光Floquet 拓撲絕緣體。傍軸光線沿z 方向傳播(光子晶格在xy 平面周期調製)的方程可寫為類似含時薛定諤方程的形式：

其中ψ 是電場的包絡函數，定義為E(x，y，z) =ψ(x，y，z)eik0z - iωtx 。利用螺旋結構破壞z 方向的對稱性， 如圖3(c) 所示。通過坐標變換x′=x + R cos(2πz/Z) ；y′= y + R sin(2πz/Z)；z′= z (螺旋坐標，R為半徑，Z為z向間距)，方程(5)可寫為

其中，矢勢項A(z′) = kR(2π/Z)[sin(2πz′/Z)， - cos(2πz′/Z)，0] ，有效磁場Beff=?×A。而其中ψ′是z方向的周期函數， 可用Floquet 定理表示為ψ′(z′) = e-iεz′ψ′(z′) 。同理，准能量ε可表示為布洛赫波矢(kx，ky) 的函數，即Floquet 能帶圖。據此，可得到無能隙的拓撲邊界態。實驗表明，光(633 nm)可沿z 方向繞其邊界無背散射傳播(單向螺旋上升)，具有一定的缺陷免疫能力。聲學方面，2015 年香港科技大學陳子亭教授研究組在理論上提出了一種基於三維Weyl 點破缺的單向邊界態模型。如圖3(d)所示，在聲子晶體層間加入手性的耦合作用，當聲波在面內傳播時( kz= 0 )，能帶位於K點簡併，而當聲波有一定面外傳播的分量時( kz≠ 0 )，由於規範勢的引入，該簡併破缺，出現無能隙的聲學邊界態，對應著沿z 方向繞邊界單向螺旋形傳播。

為了光/聲集成器件的需要，很自然有這樣的疑問：在二維情況下，能不能實現不含時的Floquet拓撲態？2011 年，美國馬里蘭大學M. Hafezi 等人提出了理論設計，並隨後(2013 年)在實驗上基於兩個格點上的共振耦合微腔(環形波導共振腔)的方向耦合，實現了一種與環形微腔順時針和逆時針傳播模式相關的單向邊界傳播態。如圖3(e)所示，順(逆)時針傳播模式經過一個小元格會產生符號相反的有效規範勢。這兩種模式光可類比電子「自旋」，繞邊界單向傳輸。實驗上證實通信波段光(1539 nm)的單向傳輸和無反射繞過晶格缺失缺陷的特性。之後的研究表明，格點共振腔和聯接共振腔可以是同一種共振環，只要存在有晶格內的耦合且耦合達到一定強度( θ > π/4 )，即會出現無能隙的拓撲邊界態。並且，這種基於共振耦合微腔的結構可完全對應於網格模型下的Floquet 拓撲絕緣體。最近，基於此的金屬表面等離激元拓撲態也已實現。針對聲波系統而言，構造該類模型的難點在於如何實現聲共振腔間的方向耦合(聲學材料阻抗失配較大，耦合係數極低)。一些基於水聲環耦合模型，如圖3(f)所示，或是超構材料波導間的耦合模型也相繼被報道。需要注意的是，此類模型中，兩種光/聲贗自旋是完全脫耦的，所以這種拓撲態的缺陷免疫特性僅限於自旋不反轉的情況，需要較高的加工精度。

5 時間反演和光/聲量子自旋霍爾態

5.1 玻色拓撲絕緣體中的贗時間反演

如前文所述，具有時間反演不變性的拓撲絕緣體的概念首先是在電子系統中提出並實現的，其具有體帶絕緣、邊界態導通的特徵，存在一對自旋鎖定並且受時間反演對稱性保護的單向傳播的拓撲邊界態。眾所周知，從統計力學角度看，電子是自旋1/2 的費米子，光/聲子是自旋為1 的玻色子，其時間反演算符( Tb2= 1 )與電子的時間反演算符( Tf2= -1 )具有本質區別，而電子拓撲絕緣體的出現與費米子時間反演導致的Kramers 簡併相關。類比於拓撲絕緣體，光/聲子系統的時間反演在不滿足Kramers 簡併的條件下，是否具有受時間反演對稱性(Tb)保護的邊界態？這是一個根本性的問題。另一方面，還需要提高光/聲子的自由度構造一對贗自旋對應於成對的電子自旋，比如雙重狄拉克錐態，存在一對共軛態滿足σx的對稱性( σ 為泡利矩陣)，考慮玻色子自身時間反演對稱Tb= σzK (K為復共軛算符)，將會得到σxσzK = -iσyK ，這是一個與Tf數學形式一致的算符。

假設存在一對贗自旋[φ，φ]T構成的玻色系統拓撲絕緣體。那麼，在不破缺T的情況下，需滿足Tb2[φ，φ]T=[φ，φ]T。然而，構成Kramers 簡併的條件為Tf2= -1 。勢必在系統中還存在另一種對稱性(在此我們稱之為贗時間反演對稱性Tp)，需算符滿足Tp2[φ，φ]T= -[φ，φ]T。兩個約束條件兩個未知數，原則上只能有唯一的非零解。如果能放棄其中一個(比如Tb)的限制，將會有更多的可能性設計易於實現光拓撲絕緣體的模型。

5.2 基於偏振簡併的光/聲量子自旋霍爾態

光偏振態可作為贗自旋用於類比電子自旋。圖4(a) 為描述光偏振態的龐加萊球(Poincare Sphere)，所有偏振都可以用球面上的不同點表示，三個主軸方向分別為TM/TE，TE＋TM/TETM，LCP/RCP(左/右圓偏振光)。二維情況下，如果系統中存在一種電磁簡併或者說耦合交換EzHz的話，在滿足T不破缺的情況下，用上述Tp和Tb的約束，可得到一對唯一的偏振態TE＋TM/TE－TM，即一對45°線偏光。2013 年，德克薩斯大學奧斯汀分校A. Khanikaev 等在理論上提出了一種利用雙各項異性介質電磁場之間的異面耦合來實現這一對偏振態的二維光拓撲絕緣體和光量子自旋霍爾態，如圖4(b)所示。其本構方程可寫為

出於簡併耦合和不破缺時間反演對稱性的考慮，其需滿足ε= μ和ξ = -ζT( ξ均為純虛數，含相等非對角項)。利用該耦合打開三角晶格狄拉克點簡併，即可實現TE＋TM/TE－TM光偏振和動量鎖定的單向傳播。隨後的實驗中，中山大學董建文教授課題組基於介電常數/磁導率匹配超構材料在微波頻段驗證了此類拓撲邊界態的傳輸特性。該課題組利用星形和圓盤形超構材料構造匹配參數，如圖4(c)所示，而其中電磁耦合項則可能來源於波導中的TEM 模式。同樣，具有雙曲形能帶的雙各項異性超構材料也可用於實現拓撲態。

圖4 (a)光偏振龐加萊球；(b)T 不變的雙各項異性超構材料構造光拓撲絕緣體模型；(c)基於介電常數/磁導率匹配超構材料的光拓撲絕緣體；(d)T 破缺的壓電(PE)壓磁(PM)超晶格光拓撲絕緣體模型

南京大學盧明輝、陳延峰研究小組在理論上提出了一種基於壓電/壓磁超晶格構成的時間反演破缺的光拓撲絕緣體模型，與上述模型不同，他們利用的是LCP/RCP 為贗自旋對。特別重要的是，他們指出其中光拓撲態不像電子系統中那樣受時間反演對稱性保護，取而代之的是一種人工構造的贗時間反演對稱性Tp( Tp2= -1 )保護的邊界態。這說明玻色子時間反演對稱條件Tb對設計和構造光拓撲絕緣體而言，既不必要也不充分，而其關鍵在於如何構造滿足Tp的共軛態。時間反演對稱與否只是反映系統是否需要外加「磁場」或存在「內稟磁矩」。因此不考慮玻色子時間反演對稱性的約束，就可以利用更多種自由度，構造更易於在光子系統中實現和調控的新型拓撲光子態。然而，由於縱波和橫波耦合，要在固體中實現Tp對稱剪切聲波簡併目前仍然是較為困難的。

5.3 基於布洛赫態簡併的光/聲量子自旋霍爾態

除了考慮偏振自由度來模擬電子自旋，我們還可以通過設計晶體對稱性，利用光/聲布洛赫態間的模式自由度來模擬電子自旋。日本NIMS 研究人員X. Hu 等在理論上提出可通過複式六方晶格中的C6的旋轉對稱性構造出基於布洛赫態模式雜化的光量子自旋霍爾態。其贗時間反演對稱性來自晶體的對稱性，如旋轉60°和120°組合，

。利用能帶的摺疊可將K 點和K′ 狄拉克簡併摺疊回布里淵區中心形成雙重狄拉克點(取非初基元胞)，如圖5(a)所示。而通過從拉伸到壓縮晶格的過程，可實現p帶和d 帶間的能帶反轉，經歷了一個能隙從打開—閉合—再打開的拓撲轉變過程。在這個機制中，兩個簡併的布洛赫態之間的模式雜化形成了贗自旋向上和向下。那麼在這兩種具有不同拓撲特性的光子晶體的邊界處可出現拓撲保護的自旋依賴的邊界態，展示了光類比的量子自旋霍爾效應。該設計不同於之前工作需要考慮複雜的偏振耦合，更有利於利用純介電光子晶體來構造光拓撲絕緣體。

這種基於簡併布洛赫態模式雜化的設計為實現聲的拓撲絕緣體帶來了契機。因為對於聲子而言，特別是流體聲波(如空氣聲)，因為它是自旋量子數為零的縱波，所以要想實現空氣聲的拓撲態的設計極為困難，原因是：(1)空氣聲通常不受磁場影響，無法實現類似磁光光子晶體中的光拓撲態；(2)而引入環形氣流產生有效「規度場」來實現空氣聲的設計，可能會由於動態調製帶來的不穩定性和雜訊使得其在實驗上難於實現；(3)空氣聲是縱波，不具有偏振簡併特性。最近，盧明輝、陳延峰研究小組在聲子晶體偶然簡併的雙重狄拉克點附近，基於簡併布洛赫態模式雜化構造贗自旋，利用贗自旋—軌道相互作用實現了p 帶和d 帶間的能帶反轉，進而實現了受晶格對稱性保護的聲拓撲絕緣體機制。C6V對稱性具有兩個二維不可約表示，由於偶然簡併在布里淵區中心形成雙重狄拉克錐(這不同於前面所提的能帶摺疊機制)。由高到低調諧其占空比，可以實現能帶從打開—閉合—再打開的能帶反轉的拓撲轉變過程，如圖5(b)所示。實驗證明，在拓撲邊界態的波導中加入空穴、無序和彎曲等缺陷，聲波均可無背散射的通過，即具有受晶格對稱性保護的單向傳播的魯棒性，而常規波導則有強烈的反射。同時為了研究聲拓撲邊界態的手征傳播特性，設計了一種「x」型的分路器模型，使得贗自旋向上和贗自旋向下的聲波具有完全不同的入口和出口通道，因而在空間上分離出贗自旋向上和向下的兩類聲子。這一異質結構首次在不需要激發和製備出單一聲贗自旋的情況下(通常情況下很困難，特別是在不清楚其等效自旋狀況的情況下)，驗證並實現聲的自旋量子霍爾效應：即聲贗自旋向下對應逆時針單向傳播而贗自旋向下對應順時針單向傳播，如圖5(c)所示。

圖5 (a)基於簡併布洛赫態的介電光子晶體拓撲態結構與投影能帶；(b)體能帶反轉示意圖；(c)聲自旋量子霍爾效應樣品照片及聲贗自旋—透射譜拓撲絕緣體模型

需要指出的是，此類拓撲模型是基於二維平面內的晶體對稱性，可看做二維情況下的拓撲晶體絕緣體。雖然具有非平庸的體拓撲數，但由於波導左右兩邊布洛赫態並不完全相同，所以其邊界態在理論上並不是完全無能隙的，在圖5(a)中標出了微帶隙。因此，嚴格地講，背散射只是被抑制並不是完全免疫。由於真實樣品在加工中均存在誤差，會破壞嚴格簡併的狄拉克點，但此模型的微帶隙可根據需要調節得無限小，因而能夠滿足應用需要。另外，雙重狄拉克點的破缺方式也可以不選在平面內，像考慮z 方向的對稱性破缺也可能打開帶隙，這種情況的例子是基於超構材料周期結構的彈性波量子自旋霍爾態和最近在微波頻段實現的光拓撲絕緣體。

6 討論和展望

考慮三維繫統的拓撲態時，則需考慮能帶結構中的線節點、三維狄拉克點或者更為基本的Weyl 點。Weyl 點是一個線性簡併點，它是能帶結構中兩個體能帶的接觸點且在三個方向上都擁有線性色散。並且，Weyl 點在三維布里淵區中能帶的拓撲性質是穩定的：它可以看做是動量空間中貝利通量的單極，因而與拓撲不變數陳數緊密相關。麻省理工學院L. Lu 等通過在螺旋二十四面體光子晶體中引入P 破缺，從理論上提出並從實驗上觀測到了光子晶體能帶結構中的Weyl 點。而聲學Weyl 點理論模型如圖3(d)所示。另一方面，准周期可視為高維在無理數面(線)的投影，同樣也會有相應的光/聲拓撲態。

此外，光量子自旋霍爾態是受贗時間反演Tp保護，而不是真實的玻色子時間反演Tb。其背散射免疫傳播特性(或者說魯棒性)也僅限於Tp不變的缺陷。而時間反演破缺的光拓撲邊界態的實驗研究主要選取的是旋磁介質，其旋磁作用在外加強磁場下的響應一般在GHz 波段。如何實現THz、紅外波段甚至光頻段的光量子霍爾效應是一個難點。

實現光/聲拓撲態不僅具有一定的應用前景，更可以為光/聲子類比電子的拓撲量子效應提供精確可控的研究平台。大量具有新意的經典波拓撲現象需要更進一步研究，如光/聲分數或反常量子霍爾效應，時空對稱(Parity—Time symmetry)非厄米開放系統中拓撲現象，彎曲時空中的光子拓撲現象，以及糾纏或非線性效應作用下的光/聲拓撲態等等。不僅如此，從應用角度考慮，存在有拓撲保護的單向傳播光子晶體光纖、光量子計算和量子模擬等也具有重要研究價值。同時，所有這些研究又可以促進非互易集成光子/聲子器件的研發。綜上所述，光/聲子晶體拓撲態及其相關領域的研究正方興未艾，對拓撲相的研究和新型光、聲器件的研製均具有重要意義。

致謝感謝劉曉平教授，以及課題組成員餘思遠博士、倪旭博士和孫曉晨在成文中給予的幫助。

本文選自《物理》2017年第1期