哲學邏輯概論

哲學邏輯概論

劉壯虎

《北京航空航天大學學報.社科版》

內容提要：哲學邏輯包括模態邏輯、時態邏輯、多值邏輯、道義邏輯、直覺主義邏輯等。哲學邏輯是從擴充古典邏輯或修改古曲邏輯而來的一個邏輯分類。本文分別對這類邏輯進行了簡要介紹。

關鍵詞：哲學邏輯/模態邏輯/時態邏輯/直覺主義邏輯

1 哲學邏輯的含義和分類

哲學邏輯是以模態邏輯為代表的一類邏輯的總稱。哲學邏輯並不是一個十分明確的概念，不同的人在使用哲學邏輯這個概念時所指的範圍是不一樣的。

模態邏輯是與經典邏輯不同的一類邏輯。經典邏輯就是數理邏輯，它的建立和發展與數學密切相關。當初為了強調模態邏輯不是關於數學的，而是關於哲學的（因為必然性和可能性是哲學概念），將模態邏輯稱為哲學邏輯。當初的哲學邏輯僅指模態邏輯，後來將許多與經典邏輯不同的邏輯都稱為哲學邏輯。

哲學邏輯最廣的範圍是指現代邏輯（只指演繹邏輯，因為其它種類的邏輯是否是邏輯人們的意見並不一致）中除經典邏輯外的所有邏輯。最窄的範圍是指與模態邏輯類似的一類邏輯。

最廣的範圍是一種否定的定義，不能說明哲學邏輯的含義。最窄的範圍雖然有明確的含義，但必須在非常了解模態邏輯的情況下才能理解這種含義。

哲學邏輯是從修改古典邏輯發展起來的一類邏輯，可以按對古典邏輯的不同的修改來對哲學邏輯作一個分類。這種分類是據我個人對邏輯的看法得到的，也是我個人對哲學邏輯的一種界定。

古典邏輯的特徵是外延性和二值性。外延性是說我們只考慮命題的外延。二值性是說外延只有兩個值，真和假。

不修改外延性只修改二值性得到的邏輯稱為多值邏輯。

修改外延性就是說我們需要考慮命題的內涵。這裡又有兩種情況。

（1）擴充古典邏輯，引進一些內涵性的運算元，如模態、時態、 道義、認知等。它們是古典邏輯的擴充，所以也稱為擴充邏輯。

（2）修改古典邏輯，將常用的連接詞解釋為內涵連接詞。 這類邏輯的哲學背景比較複雜。有直覺主義邏輯、相干邏輯等。它們將常用的連接詞作另外的解釋，所以也稱為異釋邏輯。

首先對這三類邏輯作一個簡單的介紹。

多值邏輯大約產生於30年代，最早建立的、至今仍是最主要的三個三值邏輯都是與哲學有密切關係的。盧卡希維茨的三值邏輯是為了處理將來偶然命題，布茨瓦爾的三值邏輯是為了處理無意義（或悖論）的命題，克利尼的三值邏輯是為了處理人們不知道命題真假的情況。

漸漸地，那些哲學問題在其它邏輯中有更為深入和細緻的討論，將來偶然命題在模態邏輯或時態邏輯中討論，知道不知道的問題由認知邏輯處理，悖論問題也被人們證明不能由多值邏輯來解決。多值邏輯不是作為一種解決哲學問題的邏輯，而是作為一種代數系統在發展。所以人們一般不把多值邏輯當作哲學邏輯。

近年來這種情況有所改變，多值邏輯在哲學問題的討論中重新發揮了作用。

擴充邏輯中最重要和最有代表性的是模態邏輯，所以擴充邏輯更常用的名稱是廣義模態邏輯。另一種重要的邏輯是時態邏輯。另外兩類常見的邏輯是道義邏輯和認知邏輯。

道義邏輯是將道義概念[必須]、[允許]類比模態概念[必然]、[可能]而建立起來的一類邏輯。這種類比的想法中世紀就有，萊布尼茨也詳細研究過，不過那時對模態命題的研究非常簡單，還未形成邏輯，所以也不可能建立道義邏輯。在現代模態邏輯建立以後，馮·賴特在50年代使用這種類比的思想真正建立了道義邏輯，以後有了很大的發展。

道義邏輯是類比模態邏輯得到的，在模態邏輯的研究如此深入的今天，作為邏輯系統的道義邏輯也得到了詳細的討論。然而，既然道義邏輯是關於道義概念的，所以它必須在人們的社會實踐中得到檢驗。正是在這種檢驗中，人們發現道義邏輯存在著不少問題，它們能推出一些不符合人們對道義概念的直觀理解的命題。今天道義邏輯的研究還處在解決自身問題的階段，離它的目標（應用於倫理學的研究）還相當遙遠。

我也認為這種類比思想是不合理的。（1 ）與人們社會生活相關的道義概念要比描述客觀事物的模態概念複雜得多；（2 ）客觀事物本身是不矛盾的，而由集體意志建立起來的規範不能保證無矛盾；（3 ）道德是有層次的，所以有道德選擇的問題。雖有不同的必然性，但在一個模態邏輯系統中只處理一種必然性。真正能刻畫道義概念的邏輯必須同時處理不同層次的道德問題。

認知邏輯也是建立在類比思想上的，是將[知道]與[必然]類比，將[相信]與[必然]類比。雖然認知邏輯中沒有發現象道義邏輯中發現的那樣嚴重的問題，但這並不意味認知邏輯比道義邏輯處境好，恰恰相反，這反而說明了認知邏輯的情況比道義邏輯更糟。找問題，至少說明人們還重視它，找出問題的目的之一是為了解決問題，使得研究更為深入。不找問題，說明人們根本不重視它。有一件事情可以說明人們對認知邏輯的冷淡程度，在一些世界著名的邏輯學家共同編寫的工具書《哲學邏輯手冊》中竟然沒有認知邏輯，而手冊中卻包含了許多範圍非常狹小的邏輯系統。

這並不說明認知概念不重要，僅僅說明了現有的認知邏輯不被承認，而真正能刻畫認知概念的邏輯還未建立。

異釋邏輯主要有兩種，直覺主義邏輯和相干邏輯。

相干邏輯是最早建立的一類異釋邏輯，是為了刻畫命題之間內容上的相干性。相干邏輯至今已經相當成熟，也有許多成果。但我認為它們仍然沒能實現預期的目標，現有的相干邏輯沒有一個真正刻畫了內容上的相干性。所謂的[相干原理]與內容相干性毫無關係。

不過相干邏輯仍是一種非常重要的邏輯，它的意義可能在於其它地方，因為它們的語義學已經顯示了它們刻畫的是一種允許非邏輯世界的更為一般的推理。

這種現象在科學研究中也是常見的，為了解決某類問題提出的理論和方法，沒能解決原先想要解決的問題，但在其它領域中得到了應用。

2 時態邏輯

在某種意義上說，時態邏輯比模態邏輯更有意義。模態邏輯討論的「必然」和「可能」僅僅是一種抽象的哲學概念，而時間概念涉及哲學、科學和日常語言。

時態邏輯的任務是將各種邏輯上可能的時間結構，供研究哲學、科學和日常語言的學者使用。

我們首先建立時態邏輯的形式語言。時態邏輯的形式語言是在經典邏輯的形式語言上加上時態運算元G，H。

公式按通常的定義。G[,α]的含義是「將來一直有α」，H[,α]的含義是「過去一直有α」。由G，H可以定義F和P如下：

F[,α]＝d[,f]┓G┓α，P[,α]＝d[,f]┓H┓α。

F[,α]的含義是「將來有α」，P[,α]的含義是「過去有α」。

時態邏輯的語義解釋是框架和滿足關係。

時態邏輯的一個框架是K＝〈W，＜〉，其中W 是（時刻的）非空集合，＜是W上的二元關係（時刻的先後關係），u＜v含義是時刻u在時刻v之前。

K＝〈W，＜〉是一個框架，α是一個公式，u∈W。 如果α在時刻u真，就稱框架在時刻u滿足α，記為V（u，α）＝1， 否則（α在時刻u假）記為V（u，α）＝0。

命題聯結詞的真假關係和古典邏輯相同，如

V（u，α∧β）＝1當且僅當V（u，α）＝1且V（u，β）＝1。

G[,α]和H[,α]的條件如下：

V（u，G[,α]）＝1當且僅當（任給v＞u，都有V（v，α）＝1），

V（u，H[,α]）＝1當且僅當（任給v＜u，都有V（v，α）＝1）。

由定義得到的F[,α]和P[,α]的條件如下：

V（u，F[,α]）＝1當且僅當（存在v＞u，使得V（v，α）＝1），

V（u，P[,α]）＝1當且僅當（存在v＜u，使得V（v，α）＝1）。

以下考慮時態邏輯的公理系統。不同的公理系統刻畫了不同的時間結構，也就是刻畫了不同的時刻的先後關係。

首先來看以下一組公理與推理規則。

公理：

（1）所有的重言式。

（2）G（αβ）G[,α]Gβ，H（αβ）H[,α]Hβ。

（3）αGP[,α]，αHF[,α]。

推理規則：

（1）分離規則。從αβ和α得到β。

（2）G必然性規則。從α得到G[,α]。

（3）H必然性規則。從α得到H[,α]。

這是極小時態邏輯，它刻畫的時間結構是任何二元關係。極小時態邏輯是我們討論的基礎，其它時態邏輯都是在它的基礎上加上一些特徵公理。

一般認為時間結構是序關係，序關係的特徵是傳遞性。傳遞性的直觀含義是「將來的將來還是將來」和「過去的過去還是過去」。對應的公理是：

FF[,α]F[,α]，PP[,α]P[,α]。

在序結構的基礎上我們進一步討論更為細緻的問題，只挑選幾個特別重要的問題。

（1）開端和結束。

假設時間有開端u。因為u沒有過去，所以對於任何公式α，在u 這個時刻上「過去一直有α」總是真的，即V（u，H[,α]）＝1。 對於其它時刻v來說，都有u＜v，所以從V（u，H[,α]）＝1能得到V（v，PH[,α]）＝1。這就說明了在任何時刻上，H[,α]∨PH[,α]總是真的。 因此時間有開端的公理是：H[,α]∨PH[,α]。

假設時間無開端。任給時刻u，u都有過去v。如果在時刻u上「過去一直有α」成立，即V（u，H[,α]）＝1，則α在時刻v成立，即V（v，α）＝1。因為u＜v，所以從V（v，α）＝1能得到V（u，P[,α]） ＝1。這就說明了在任何時刻上，H[,α]P[,α]總是真的。因此時間無開端的公理是：H[,α]P[,α]。

類似地，時間有結束和時間無結束的公理分別是：G[,α]∨FG[,α]和G[,α]F[,α]。

（2）離散性和稠密性。

時間是離散的含義是每個時刻u 都有「上一個」時刻和「下一個」時刻。

如果u＇是u的「下一個」時刻，則u＇的過去就是u和u的過去， 所以如果α在時刻u和u的過去都為真，則α在u＇的過去都為真。 這就是說，如果α∧H[,α]在時刻u真，則H[,α]在時刻u＇真。又因為u ＇是u的將來，所以FH[,α]在時刻u真。 因此刻畫每個時刻有「下一個」時刻的公理是：α∧H[,α]FH[,α]。類似地， 刻畫每個時刻有「上一個」時刻的公理是：α∧G[,α]PG[,α]。

因此刻畫離散性的公理是：α∧H[,α]FH[,α]和α∧G[,α] PG[,α]。

時間是稠密的含義是每兩個不同時刻間有另一個時刻。

如果F[,α]在時刻u真，則存在u的將來時刻v使得α在v真，在u 和v間有時刻w，因為v是w的將來，所以F[,α]在時刻v真，又因為w是u 的將來，所以FF[,α]在時刻u真。 因此刻畫將來方向稠密性的公理是：F[,α]FF[,α]。類似地，刻畫過去方向稠密性的公理是：P[,α] PP[,α]。

因此刻畫稠密性的公理是：F[,α]FF[,α]和P[,α]PP[,α]。

（3）連續性。

連續性是時間結構中一個非常重要的概念，雖然在數學上連續性有嚴格的刻畫，但它的直觀理解較為困難，在一些有關時間問題的哲學討論中經常被誤解。

在時態邏輯中，刻畫連續性的公理是：

F[,α]∧FG┓αF（HF[,α]∧G┓α）和P[,α]∧PH┓α P （GP[,α]∧H┓α）。

用時態邏輯的公理刻畫的連續性和數學中的連續性定義是等價的，它們的等價性無法在這裡討論。雖然時態邏輯的連續性公理也不太好理解，但還是比數學上嚴格定義的連續性好理解，而且不容易誤解。

（4）線性。

我們考慮的問題是：是否有不可比較的過去？是否有不可比較的將來？

任何兩個過去都可比較稱為左線性。設P[,α]∧Pβ在時刻u真，就存在u的過去時刻v和w，使得α在v真且β在w真，因為v和w可比較， 所以w＜v或w＝v或w＞v，如果w＜v，則α∧Pβ在時v真，所以P（α∧Pβ）在u真，類似地，如果w＝v則P（α∧β）在u真，如果w＞v則P（P[,α]∧β）在u真。因此刻畫左線性的公理是：

P[,α]∧PβP（α∧（Pβ）∨P（α∧β）∨P（P[,α] ∧β）

類似地，任何兩個將來都可比較稱為右線性，它的刻畫公理是：

F[,α]∧FβF（α∧（Fβ）∨F（α∧β）∨F（F[,α]∧β）

既有左線性又有右線性的時間結構稱為線性的時間結構。

在涉及時間概念問題的爭論中，不同的觀點所使用的時間結構是不同的，而國內的一些學者往往不注意到這一點。以下對幾個問題中的時間結構作簡單的分析。

（1）決定論和非決定論。他們都認為有可以比較的過去， 所以他們的時間結構都有左線性。他們在時間結構上的差異在於將來：決定論認為將來都是可比較的，所以決定論的時間結構還有右線性，是線性時間結構；而非決定論則認為有不可比較的將來，因此非決定論的時間結構沒有右線性。

（2）因果律。 因果關係和時間最主要的聯繫是原因在結果之前，所以時間開端時刻的事物是沒有原因的，時間結束時刻的事物是不會產生結果的，這還是比較容易理解的。人們可能不太明白因果律和時間連續性的聯繫。

如果時刻u不是連續的，則它或者是左間斷的，或者是右間斷的。u是左間斷的可以直觀地理解為：u 不是指向它的過去時間序列的極限，所以左間斷時刻對於因果律的意義類似於開端時刻，處於左間斷時刻的事物是沒有原因的。類似地，u是右間斷的直觀意義是：u不是指向它的將來時間序列的極限，所以右間斷時刻對於因果律的意義類似於結束時刻，處於右間斷時刻的事物是不會產生結果的。

（3）物理學的時間結構。

經典物理學的時間結構是用實數表示的，這種時間結構是：線性的、連續的、無開端無結束的。

人們知道狹義相對論的時空觀與經典物理學是不同的，但可能並不知道它們的時間結構有沒有不同，有什麼不同。狹義相對論的時間結構確實與經典物理學不同，它的結構是：右線性的、連續的、無開端無結束的。因為有右線性，狹義相對論時間的結構是決定論的。直觀上不容易理解的是狹義相對論時間的結構沒有左線性，它可以有不可比較的過去。

廣義相對論的時間結構是多樣的，它們都是決定論的，但可以是不連續的、可以有開端、可以有結束。

量子物理中現在已經在考慮離散的時間結構、非決定論的時間結構。

3 直覺主義邏輯

直覺主義是數學哲學的一個重要的流派，對於數學的本質、數學中的推理等有非常革命的看法，與傳統的數學觀、直觀的數學觀有很大的不同。我們不討論他們的哲學觀和數學觀，僅考慮他們的邏輯。由於對推理的看法不同，所以他們的邏輯和經典邏輯不一樣。下面從邏輯有效式和證明方法兩方面討論直覺主義邏輯和經典邏輯的不同。

為了進行這樣的比較，我們取一種相同的形式語言，包括四個聯接詞：┓、∧、∨和。這樣直覺主義邏輯和經典邏輯就有同樣的公式集。

雖然直覺主義邏輯和經典邏輯對於∧、∨和的解釋是不同的，但有同樣的邏輯規律。這些邏輯規律構成了直覺主義邏輯和經典邏輯一個共同的基礎——正邏輯。

正邏輯系統有十條公理：

（1）α（βα）；

（2）（α（βγ））（（αβ）（αγ））；

（3）αβγ；

（4）αββ；

（5）（αβ）（（αγ）（αβγ））；

（6）αα∨β；

（7）βα∨β；

（8）（αγ）（（βγ）（α∨βγ））；

和一個推演規則（分離規則）：

從α，αβ推出β。

從證明方法看，正邏輯刻畫了直接證明方法。

直覺主義邏輯和經典邏輯的本質區別在於對否定（的看法不同。從邏輯規律看，它們都承認無矛盾律（┓（┓α∧α）），但直覺主義邏輯不承認排中律（┓α∨α）。從證明方法看，它們都承認歸謬法（如果從α推出矛盾，則得到┓α），但直覺主義邏輯不承認反證法（如果從┓α推出矛盾，則得到α）。

在正邏輯的基礎上，歸謬公理（（αβ）（（α┓β）┓α））可以刻畫歸謬法；為了得到無矛盾律，還需要矛盾公理（┓α（αβ）），因此在正邏輯的基礎上加上公理：

（9）（αβ）（（α┓β）┓α）；

（10）┓α（αβ）。

就得到了直覺主義邏輯系統。

在間接證明裡，人們不太注意歸謬法和反證法的區別，實際上它們相差很大。

在正邏輯的基礎上，反證法比歸謬法強，歸謬法不能得到反證法，而反證法能得到歸謬法。反證法還能得到矛盾公理，得到排中律。在正邏輯的基礎上加上公理：

（11）（┓αβ）（（┓α┓β）α）；

就得到了經典邏輯系統。

有了這兩個系統，我們進一步討論直覺主義邏輯和經典邏輯的差別；只討論一些結論的意義，它們的證明就不講了。

（1）排中律。從上面的討論可知， 經典邏輯有排中律而直覺主義邏輯沒有排中律，實際上它們之間的本質差別就是排中律，因為可以證明直覺主義邏輯加上排中律公理（┓α∨α）得到經典邏輯。

（2）雙重否定。 雙重否定律（┓┓αα）是經典邏輯中的重要規律，直覺主義邏輯中有雙重添加（α┓┓α），而沒有雙重消去（┓┓αα）。更進一步有，在直覺主義邏輯中，雙重消去和排中律是等價的，所以經典邏輯加上雙重消去公理（┓┓αα）也能得到直覺主義邏輯。

（3）皮爾斯律。 皮爾斯律（（（αβ）α）α）是一個比較奇特的規律，雖然沒有否定詞┓，但卻不是正邏輯規律，也不能用直接證明的方法證明，必須使用間接證明方法，而且要用較強的反證法，因為它在直覺主義邏輯中不成立。在直覺主義邏輯中，它和排中律是等價的，這說明了皮爾斯律是一個不用否定詞但表示了關於否定詞邏輯規律的公式。

（4）矛盾式。 我們已經知道經典邏輯和直覺主義邏輯都有矛盾律，實際上有更強的結果。可以證明任給公式α，┓α是經典邏輯的有效式當且僅當┓α是直覺主義邏輯的有效式。因為┓α是有效式就是α是矛盾式，所以以上結果意味著經典邏輯和直覺主義邏輯有同樣的矛盾式。