到底什麼是最美的科學公式？

經常看到一些文章，列出「最美」的數學和物理公式。這些「最美」都是通過不同的方法由不同的人選出的，不但選出的結果很不同，而且吃瓜群眾看到這些「最美」往往一臉懵：到底誰選的「最美」才是真的「最美」？這些公式到底「美」在什麼地方？

比如《科學美國人》的高級編輯Clara Moskowitz曾經在LiveScience上發表過一篇名為The World s Most Beautiful Equations[i]的文章，其中列舉了十個通過對不同領域科學家徵詢得到的「最美方程式」，包括：

1. 廣義相對論

2. 粒子物理標準模型

3. 微積分

4. 勾股定理

6. 狹義相對論

7. 歐拉方程

8. 歐拉-拉格朗日方程及諾特定理

9. 卡蘭-西曼齊克方程

10. 極小曲面方程

11. 歐拉線

而另一篇發表在《環球科學》上的文章《五大最美數學公式》[ii]（也是由Clara Moskowitz 撰寫）也列舉了由幾位著名數學家與物理學家所選出的五個最美公式，它們分別是：

1. 安培定律

2. 麥克唐納公式

3. 虧格g曲線模空間

4. 牛頓法

5. 電弱理論的拉格朗日量

你可能已經注意到了，除了第一組的「粒子物理標準模型」和第二組的"電弱理論的拉格朗日量"類似之外（「粒子物理標準模型」就是在「電弱理論」的基礎上建立和擴展而來的），這兩組就沒有共同之處了。看來在不同的數學家和物理學家眼裡，「最美」的科學公式是很不一樣的。

有的科學家認為「對稱」為美，有的科學家卻認為「破缺」為美；有的科學家認為「簡潔」為美，有的科學家卻認為「複雜」為美。這就涉及了一個根本的問題，何謂「科學之美」？

諾獎得主、量子力學先驅之一保羅·狄拉克在1963年曾經明確表示：「在我看來，一個方程擁有美感，比它符合實驗結果更為重要。」但被問到這種「美感」到底指什麼時，他卻回答不上來了。他說：「數學的美和藝術之美一樣，是無法定義的。不過只要是學數學的人，不費吹灰之力就能感受到它。」[iii]。因此，在狄拉克看來，美只可意會不可言傳，正如物理學家張天蓉在《物理學之美》這篇文章裡面開篇所說「人人都追求美，物理學家也不例外，但到底什麼是物理學的美，那是一個模糊的概念，或者說只是一種感覺，只能意會，不能言傳。物理學家也難以賦予它科學而精確的定義。」[iv]。

但是很多科學家都喜歡談他們的美學觀，那我們先來看看幾位著名的科學家是怎麼說的。

物理學家們的美學觀

尼馬·阿爾卡尼-哈米德

理論物理學家尼馬·阿爾卡尼-哈米德教授（Nima Arkani-Hamed）是被公認的全世界中青年一代最優秀的理論物理學家之一，談到科學的美，他說：「你在今天覺得優美的理論，在十年後依然會覺得優美，而且會永遠優美下去。」

他認為理論之『美』不會隨時間改變，這樣的「美」是永恆的。

張首晟教授

著名物理學家張首晟在接受採訪時[v]也談到對「美」的理解：「大自然很多現象看上去是非常錯綜複雜，但是你用錯綜複雜的規律能夠用幾個簡單、優美的公式來代表的話，我們就覺得這是大自然的一種美。」

他認為深奧和普世才是美。很顯然，你只有體會到了這些規律的「深奧和普世」，你才有可能感受到這些規律的美。（2017年1月15號，我客串記者採訪了張首晟教授，他在談到科學之美的時候，又強調了他的上述觀點。）

文小剛教授

文小剛教授曾在自己的文章[vi]中談到過對美的理解。他提出「創新的內涵是制定美的標準」，這和我曾在多篇文章中提出的「科學技術創新的本質就是對美的追求」是一致的。文小剛教授接著說，「一個人對美的認知和思想被越來越多的人欣賞接受，從而成為美的標準，成為大家共同的努力方向，這就是創新過程。」文小剛教授進一步強調了，「我認為美的東西就是美」，「如果自己的追求真的是美，或早或晚，都會得到大家的欣賞和認同，大家就會跟著做。這時你自己對美的標準就變成了公眾的標準。」

陳丕燊教授

陳丕燊曾在《完美的理論》一書的導讀[vii]中表達了他對於「美」的理解（不久前本人和陳教授聊起美學，陳教授再次重複了他的觀點）：「還有什麼比「完美」更美的嗎？依筆者的看法，那應該是在完美之餘，可惜竟有一些破缺，令人錯愕。我懷疑，米洛的維娜斯雕像如果雙手仍然健在、完整無缺，會不會還是那麼美呢?」很顯然，陳教授非常認可傳統美學的「殘缺美」理論。

諾獎得主韋爾切克

麻省理工學院物理系教授弗朗克·韋爾切克曾在採訪中[viii]說「美的法則與人們認為美的事物有兩項共同點。一是豐富性或者說創造性，即得到的比投入的更多……對稱性在自然基本法則中尤為突出，因為太常見而不免為人所忽略，但對稱性中就隱含著和諧與美，在科學上的應用也卓有成效，是不變的變化。」所謂「不變的變化」，韋爾切克教授的解釋是，世界和宇宙都可以變化，但是背後的規律不會變化。

總結起來，韋爾切克教授認為美的法則就是豐富性和不變性。

楊振寧教授

著名物理學家、諾貝爾獎獲得者楊振寧先生（我認為楊先生是在世的對物理學做出了最大貢獻的物理學家）在中國美術館做過一場關於「美在科學與藝術中的異同」的演講[ix]。楊先生沒有講「美是什麼」，但他認為物理學的美在於整個世界都濃縮於簡單的原理，而這種美與人類沒有關係，科學的美是客觀的。

誰的美學觀是正確的？

很顯然這些科學家的美學觀都相當不一樣，至少表述是不一樣的。那麼誰的美學觀是正確的？在回答這個問題之前，我首先需要說明，不管他們的美學觀是什麼，他們每個人都感受到了科學之美，至少是感受到了科學之美的某個方面。我想討論的只是他們的美學觀是否具有普遍性，是否適用於所有的科學之美。

我將利用科學研究的一個極為重要的方法來回答這個問題，這個方法就是「證偽」，簡單地講就是舉反例。具體到這些科學家的美學觀，我將採用這樣的邏輯進行證偽：首先把科學家A的美學觀A表述出來，如果有某個「科學」不符合美學觀A，但是有人（比如科學家B）認為美，就說明美學觀A不具有普遍性，那麼這個美學觀就不能代表普遍的「科學之美」。

尼馬·阿爾卡尼-哈米德教授認為科學理論之「美」的體現就是基本的原理，而且這樣的「美」是永恆的。但是我們知道，科學理論總是不斷發展的，我們總是在尋找基本的原理，牛頓時代基本的原理就是牛頓的力學理論，但是這個「科學」今天已經不再基本了，愛因斯坦的相對論顯然更加基本。當時的科學家應該認為牛頓的力學理論是很美的，但是今天很少有科學家再說牛頓的力學理論很美，比如陳丕燊教授就認為廣義相對論是最美的科學理論，而且我們知道一定還有比廣義相對論更加基本的理論。因此，我用這個反例說明了科學之美不一定基本也不一定永恆。

張首晟教授認為宇宙當中最最深奧，最最普世的這些規律，都是非常的美妙。他用了愛因斯坦的著名的質能公式E=mc2來說明深奧和普世的公式很美。但是這個公式一點都不對稱，追求對稱美的韋爾切克教授顯然不會認為很美。而且張首晟教授並沒有說只有最最深奧和最最普世的規律才是美妙的，換句話說，他認為「深奧和普世」是科學之美的充分條件，而非必要條件，也就是滿足其他條件的科學也可能是美的。事實上也是如此，前述不少科學家認為的科學之美既非深奧，也非普世。因此，科學之美不一定深奧也不一定普世。

文小剛教授認為，「美」一開始是個人化的，到最後被很多人接受，成為美的標準。這的確是美的產生和審美的一個可能過程，但是這是否是唯一的可能性呢？文小剛教授沒有說。事實上，很多重要的科學發現都是偶然發生的（比如絕大部分獲得諾貝爾物理學獎的天文發現都是如此），也被很多人認為非常美。但這些科學家並非一開始就堅信「自己的追求真的是美」。而且，文小剛教授也沒有說明美的標準是什麼，沒有解釋在什麼情況下「自己的追求真的是美」。也許可以反過來理解文小剛教授的意思：「得到大家的欣賞和認同」的就「真的是美」！但是這樣似乎是循環論證，並不能讓人滿意。

的確，每一個堅持「標新立異」創新的研究人員都相信自己的追求真的是美，但是大部分這樣的研究或者無疾而終或者以失敗告終，不會得到大家的欣賞和認同，這就是做真正創新研究的人少，做跟風研究的人多的原因，畢竟我前面列舉的包括文小剛教授在內的頂尖科學家屬於鳳毛麟角。這是為什麼？事實上，即使非常成功的科學家對已經經過檢驗的科學理論或者公式何為最美的看法也很不一樣。因此，即使你自己的創新成功了，大家也未必都認可你認為的「美」，這和文小剛教授的結論明顯不一致，這又是為什麼？對前一個「為什麼」的回答也許是你的創新還沒有成功，但是這無法回答後一個「為什麼」。

陳丕燊教授的美學觀就是著名的「殘缺美」美學理論。關於這個美學理論，我曾經專門通過「證偽」的科學方法進行了非常徹底的批判，比如，我們從來沒有見過一個美麗的女孩子為了追求「殘缺美」而去自殘。而前述張首晟教授認為E=mc2這個公式很美很顯然和「殘缺"毫無關係，而韋爾切克教授明確表示，「這些小缺陷是現在的物理學方程還不夠美的原因」。很顯然殘缺既不是科學之美的必要條件也不是充分條件。

韋爾切克教授認為美的法則就是豐富性和不變性，和尼馬·阿爾卡尼-哈米德的美學觀基本上一樣，因為豐富的根源正是基本，而不變就是永恆。所以可以用同樣的理由說明韋爾切克教授的美學觀不具有普遍性，也就是說，科學之美不一定具有豐富性也不一定具有不變性。

楊振寧教授認為，科學中的美是「無我」的美，藝術中的美是「有我」的美。我從兩個方面對楊振寧教授的美學觀進行證偽。首先，如果科學中的美是「無我」的，也就是和審美者無關，那麼每一個審美者都會對同一個「科學」得出同一個審美結論，但是我們上面已經看到幾個科學家眼中的科學之美是很不同的。其次，數學的最高獎菲爾茨獎得主阿蒂亞及其合作者發現[x]，欣賞數學之美所用到的大腦部分（就是所謂的情緒大腦），和欣賞音樂、欣賞藝術以及詩歌所動用的大腦部分完全一樣。既然我們對科學的美和藝術的美的審美過程是一樣的，那麼這些「美」在本質上就沒有什麼不同。因此，我們不能說科學的美和藝術的美是不同的。

那麼到底科學之美的

普遍標準是什麼？

前面我用舉反例這種雖然簡單但是非常有效的方法說明了前述科學家的審美觀都不代表科學之美的普遍標準，但是阿蒂亞及其合作者的研究發現，人們的大腦對各種美的反應都是一樣的。而另外一個研究表明，我們大腦的任何思維過程都是貝葉斯定理的一個應用[xi]，我們做任何一個判斷，都是我們以前的經驗、我們的價值觀和新的數據的一個結合。我們的一個正常的思維過程，相當於利用貝葉斯定理做了一次計算。審美也是一個思維過程，因此綜合這兩個研究結果，結論必然是存在審美的普遍標準，當然也應該存在科學之美的普遍標準。

我利用科學研究的標準三階段方法，也就是歸納、證實和證偽，經過多年的研究，發現了審美的兩個要素：審美者的價值觀判斷審美對象是否有缺陷，見識甄別審美對象是否不常見。同時滿足沒缺陷不常見兩個條件的審美對象我們就覺得美，沒缺陷不常見是美的充分必要條件，這個廣義美的判斷法則對所有類型的美都適用。（注1：本文的重點不是介紹我的美學理論，所以如果不知道「沒缺陷不常見」這個梗，請自行搜索「沒缺陷不常見」自行腦補；注2：請不要急於搬出「斷臂維納斯」以及漏洞百出的「殘缺美」理論來批判我，因為我已經應用證實和證偽的科學方法對「殘缺美」理論做了徹底批判，在這個過程中順便揭示了傳統美學的四大誤區。請自行搜索「張雙南殘缺美」了解我對「殘缺美」理論的批判。）

我們下面用「沒缺陷不常見」來考察前面幾位科學家的審美觀。

尼馬·阿爾卡尼-哈米德教授認為科學理論之「美」的體現就是基本的原理。很顯然，從科學研究追求基本原理的價值觀看，「基本」就是「沒缺陷」的一種體現，而「基本」的科學原理其實很少，當然就是「不常見」，所以我們會覺得這樣的科學理論很美，當然並不是所有人認為美的科學理論都是基本的科學理論。所以「基本」是美的充分條件，但不是美的必要條件。

張首晟教授認為宇宙當中最最深奧，最最普世的這些規律，都是非常的美妙。同樣，最最深奧，最最普世的這些規律對科學家來說肯定就是沒缺陷不常見的，所以我們會覺得美，不過也有很多科學理論或者結果不是那麼深奧也不是那麼普世，也有人覺得美，所以「最最深奧，最最普世」也只是美的充分條件，而不是美的必要條件。

文小剛教授強調：「我認為美的東西就是美」，「如果自己的追求真的是美，或早或晚，都會得到大家的欣賞和認同，大家就會跟著做。這時你自己對美的標準就變成了公眾的標準。」根據我前面的分析，這無法完全回答那兩個「為什麼」。但是可以把第一句話修改成「我認為美的東西對我自己就是美」，因為這符合我自己的價值觀和見識所判斷的沒缺陷不常見，但是在別人眼裡也許有缺陷，也許很常見，所以別人不一定覺得美。但是如果「我的理論」最後經受住了科學方法的檢驗[xii]，大家就都認可它屬於「沒缺陷」，如果別人也認為這個科學理論「不常見」（當然這就是創新的內涵），別人就會覺得美。這就是為什麼我說「科學技術創新的本質就是對美的追求」。

陳丕燊教授在文章中說，「廣義相對論對於宇宙常數的來源及其任意性，竟無從解釋。愛因斯坦曾經說：「引進這樣的常數，就意味著在相當程度上放棄了這個理論的邏輯簡單性。」然而這個史上最完美理論的瑕疵，卻使它顯得更美！」那麼我們目前無法解釋宇宙常數以及「放棄了這個理論的邏輯簡單性」是否就是一個缺陷呢？事實上，目前無法解釋不表明以後不能解釋，而放棄簡單性更不是理論的缺陷，因為宇宙的規律本來就無需簡單。所以從科學的價值觀上判斷，「宇宙常數」並不是一個瑕疵，更不是一個缺陷。我本人就寫過文章說明廣義相對論仍然是完全沒缺陷極端不常見的科學理論，是一個美哭的科學理論。

韋爾切克教授認為美的法則就是豐富性和不變性，豐富性和不變性也滿足科學的價值觀，屬於沒缺陷的一種，而這樣的科學規律也不多，當然就是不常見。只不過有一些科學規律並不是那麼「豐富和不變」，由於滿足有些人的價值觀和見識所判斷的沒缺陷和不常見，他們也會覺得美。

最後，楊振寧教授在解釋「科學中的美是『無我』的美」的時候，舉的幾個例子是霓虹、麥克斯韋方程式、牛頓的運動方程式、愛因斯坦的狹義和廣義相對論方程式、狄拉克方程式和海森伯方程式，這些都是屬於沒缺陷不常見的例子，難怪楊先生會覺得這些科學很美。但是如果你不理解這些方程式，就無法體會它們的沒缺陷，當然也無法判斷它們是否不常見，你就不會覺得它們美。比如，你如果問一個民工狄拉克方程式美不美，他肯定覺得你在開玩笑。當然我在這裡絲毫沒有不尊重民工的意思，只是想說明「科學中的美是『無我』的美」肯定是不成立的。

到底什麼是最美的科學公式？

最後我們回到本文開始提出的問題，到底什麼是最美的科學公式？很顯然每個人的科學價值觀和科學見識不同，他眼裡最美的科學公式和其他人就不一定一樣。所以在這裡我只能根據我自己的科學價值觀和科學見識來說明我認為的最美的科學公式。

這個公式就是前面張首晟教授提到的愛因斯坦的著名的質能公式E=mc2，只不過我得到這個結論的原因在於這個公式的完全沒缺陷極端不常見。我同意張首晟教授的解釋，這個公式「小用到原子，大用到整個宇宙」都完全成立。事實上原子彈、氫彈、核能、各種加速器和對撞機、太陽內部和宇宙大爆炸的基本原理和過程都是這個公式，科學家還從來沒有發現過違反這個公式的任何現象和過程，所以這個公式完全沒缺陷。同時，我還沒有見到過任何其它科學公式如此簡單、但是功能如此強大而且適用範圍如此廣泛，因此這個公式極端不常見。總結起來，對我來說，E=mc2就是最美的科學公式，是美哭的科學公式。