生日悖論：只要23個人，至少兩人生日是同一天的概率高達50%

開動腦筋，想想生日中有趣的數學現象。例如，四年才出現一次2月29日，也意味著這一天出生的人四年才能過上一次生日。此外，如果在街上偶遇一人，你們同一天生日的可能性有多大？

似乎很渺茫，對吧？366天，遇到同一天生日的概率為1/366，或0.0027%！概率極小，這就是為什麼當你遇到一個和你同一天生日的人，你會不禁感慨，天啊，這好神奇啊，好巧啊！

那麼，考慮一下這樣的問題，在一個房間里，至少有多少人，才能使其中兩個人的生日是同一天的可能性超過50%？有人可能認為房間人數起碼得達到183，因為183是366的一半。其實這是錯誤的！你相信這僅僅只需要23個人嗎？聽起來似乎不可能，但這是真的！

這個有趣的數學現象被稱為生日悖論。當然，這不是一個真正的邏輯悖論，因為它不是自相矛盾的。它只是非常地不可思議、難以置信。

那麼，這背後的數學原理是怎樣的呢？ 在開始解釋這個原因之前，先假設一年只有365天，每一天的生日概率相同。雖然假設不完全準確，但使我們計算起來更加方便，而且不會影響到最終結果。

生日悖論會令人感到難以置信，因為人類傾向於從自己的角度看待問題。人們通常這樣想，如果一個房間里加上自己共有23人，你會覺得在這22人里跟你同一天生日的可能性太低了。365天，現在卻只有22個人，你可能會想概率只有22/365，所以很難在這22個人中遇上跟自己同一天生日的。

其實，這是一種錯誤的思考方式——只是站在你自己的角度來思考有誰與你生日是一樣的。事實上，生日問題指的是在任何23個人中，兩人生日相同的概率是多少。而不是你進入了一個有著22個人的房間，房間里有人會和你有相同生日的概率。我們需要挨個比較房間里每個人之間的生日。

把第一個人與其他22個比較，把第二個人與21個人比較，第三個人與其它20個人比較......直到最後第二個人與最後一個人比較。將23個人之間的所有這些比較加起來，產生22 + 21 + 20 ... + 1 = 23 × 22/2 = 253種不同的搭配，所以產生一對成功匹配的生日並非不可思議。

人們通常是站在這樣一個角度來看問題——你進入了一個有著22個人的房間，那麼房間里有人會和你有相同生日的概率非常低。原因是這時候只能產生22種不同的搭配，這應該非常好理解。

為了計算出生日相同的概率，我們可以先計算所有人生日都不同的概率。那麼，第一人生日是唯一的概率為365/365，第二個人生日是唯一的概率則下降到364/365，以此類推，第23個人生日是唯一的概率為343/365。

然後，把所有23個獨立概率相乘，即可得到所有人生日都不相同的概率為：(365/365)× (364/365) × ... ×(343/365) ，得出結果為0.491。那麼，再用1減去0.497，就可以得到23個人中有至少兩個人生日相同的概率為0.509，即50.9%，超過一半的可能性。

通過公式可以看到，隨著房間中人數的增加，至少有兩人生日相同的概率也增加。例如，一個教室有30名學生，那麼兩個同學生日相同的概率為70%。如果把人數增加到70個人，那麼至少有兩人生日是同一天的概率為99.9%。