哲學家與數學家最初的推理規則

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本文摘自《計算進化史 : 改變數學的命運》

作者：(法) 吉爾·多維

翻譯：勞佳

到底什麼是推理呢？如果我們知道所有的松鼠都屬於嚙齒目，所有的嚙齒目動物都是哺乳動物，所有的哺乳動物都是脊椎動物，所有的脊椎動物都是動物，我們就可以推導出一個結論：所有的松鼠都是動物。推理讓我們得到了這個結論，這背後是一套連續的推導：所有的松鼠都是哺乳動物，因此所有松鼠都是脊椎動物，因此所有的松鼠都是動物。

這個推理簡單得不能再簡單了，但它的結構和數學推理在本質上並無二致。無論哪種推理，都是由一系列命題構成的，每個命題都是用先前的命題通過邏輯得出的，也就是按照「演繹推理規則」構造的。在此情況下，我們把同一個規則連用了三次：如果我們已經知道所有的 Y 都是 X，所有的 Z 都是 Y，就可以推導出所有的 Z 都是 X 。

古希臘的哲學家為我們總結了最初的演繹規則，它可以讓推理進行下去，也就是從已證的命題演繹出新的命題。例如，上述這條規則要歸功於亞里士多德，他提出了一套叫作「三段論」的規則。三段論的另一種形式是「有些……是……」：如果知道所有的 Y 都是X，有些 Z 是 Y，我們就可以演繹出有些 Z 是 X 。

亞里士多德並不是唯一一位對演繹規則感興趣的古代哲學家。公元前 3 世紀的斯多葛學派提出了另一套規則。例如，如果有命題「如果 A，那麼 B 」和命題 A，則有一條規則可以演繹出命題 B。

這兩派總結演繹規則的嘗試，正值從計算轉向推理的方法論革命之後，古希臘算術和幾何的蓬勃發展時期。因此我們可以想見，古希臘的數學家會使用亞里士多德或者斯多葛的邏輯來進行推理。比如，在證明一個平方數不可能是另一個平方數的兩倍時，就可以用到三段論。奇怪的是，事實並非如此，儘管古希臘哲學家和數學家很顯然是志同道合的。比如，在公元前 3 世紀，歐幾里得寫了一篇專著，綜合了他那個時代的幾何知識。他的專著結構完全是演繹式的，其中提到的每一件事都給出了推理證明，但歐幾里得卻從來沒有用到過亞里士多德或斯多葛的邏輯。

有幾種假設可以來解釋這件事。最可能的一種假設是說，數學家沒有使用亞里士多德或斯多葛的邏輯，是因為它們太粗糙了。在斯多葛的邏輯中，可以用來推理的是「如果 A，那麼 B」形式的命題，其中 A 和 B 是所謂的「原子命題」，表述了一個簡單事實，比如「蘇格拉底必死」或者「天亮了」。於是，斯多葛邏輯的命題就是用「如果……那麼……」「和」「或」等連詞聯繫起來的一些原子命題。這是一種非常貧乏的語言設計，裡面只有兩種語法類別——原子命題和連詞。它並沒有考慮到原子命題，比如「蘇格拉底必死」可以拆分成主詞「蘇格拉底」和謂詞（或屬性）「必死」。

亞里士多德的邏輯和斯多葛不同，它承認了「謂詞」的概念。推理中出現的 X、Y、Z 表達就恰恰是謂詞——松鼠、嚙齒目、哺乳動物……然而，亞里士多德的邏輯中並沒有「專有名詞」，即指代個人或物體的名詞，比如「蘇格拉底」。這是因為，對於亞里士多德來說，科學並不關心蘇格拉底這樣的特定個人，而是僅僅關心廣義的概念，比如「人」「必死」……所以，人們常常用來舉例的三段論——「所有人都是必死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是必死的」——並不會出現在亞里士多德的邏輯中。對他來說，三段論應該是：「所有人都是必死的，所有哲學家都是人，所以所有哲學家都是必死的。」所以說，在亞里士多德的邏輯中，命題並不是由主詞和謂詞構成的，而是由兩個謂詞和一個泛指代詞「所有」或「某些」構成的。直到中世紀末，亞里士多德的邏輯才得到拓展，加入了專有名詞「蘇格拉底」等單稱項。然而，即使有了這樣的拓展，亞里士多德的邏輯對於表達某些數學表述來說還是太粗糙了。有了單稱項「4」和謂詞「偶數」，我們當然可以構造命題「4 是偶數」，但它卻沒有辦法構造命題「4 比 5 小」，因為「偶數」只作用於單個對象，而謂詞「比……小」與之不同，它要作用於兩個對象，即「4」和「5」，並讓兩者形成一個關係。同理，它也沒有辦法構造命題「直線穿過了點 A」。

我們現在明白了，為什麼古希臘的數學家沒有使用同時代哲學家提出的邏輯來進行新生的算術和幾何推理——因為這些邏輯不夠豐富，做不到。在非常長一段時期內，如何構造一套豐富的、足以支撐數學推理的邏輯這一問題似乎並沒有引起多少人的興趣。除了個別人的幾次嘗試之外，比如 17 世紀萊布尼茨所做的研究，直到 19 世紀末的 1879 年，戈特洛布·弗雷格才重新拾起了這個問題，並提出了一套邏輯。但是，一直等到阿爾弗雷德·諾思·懷特海與伯特蘭·羅素在 20 世紀初提出類型論，並且大衛·希爾伯特在 20 世紀 20 年代提出了謂詞邏輯之後，這些工作才取得了具體的成果。

不過，我們還是先繼續看看古希臘的數學吧。雖然沒有顯式的演繹規則來構造數學推理，但這並沒有讓數學止步不前。直到 19 世紀，數學命題的語法和演繹規則只不過不那麼明確而已。這種情況在科學史上屢見不鮮——在缺乏工具的時候，人們就會想方設法對付一下，而這些變通又常常為工具的出現奠定了基礎。

不過對於幾何而言，歐幾里得明確提出了「公理」的概念：這是無需證明的事實，也是構造證明的基礎。特別是著名的平行公理，用現代的形式表述是這樣的：過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行。

長期以來，歐幾里得的專著《幾何原本》一直都被視為數學方法的原型：先提出公理，然後利用顯式或隱式的演繹規則，由公理證明定理。從這個角度來看，推理才是解決數學問題的唯一途徑，這也反映出古希臘數學家和哲學家對於推理的重視。

古希臘數學家利用公理化方法發現了一種新的數學。也許，他們還曾試圖理解這種新的數學是如何從美索不達米亞人和古埃及人更古老數學的發展而來的。如果古希臘人真的這樣做了，他們就應該會去思考如何將計算和推理融合起來。然而這並不是他們的目的——相反，他們將過去一抹而凈，完全拋棄了計算，而代之以推理。

正因如此，在古希臘之後，計算在數學大廈之中就難有立錐之地了。

延伸閱讀

《計算進化史 : 改變數學的命運》

本書從計算的變遷這一獨特視角回顧了數學、邏輯學和哲學的歷史沿革，展現了計算為數學研究發展帶來的全新前景，展望了這場數學革命在自然科學、信息科學與哲學領域引發的重大變革。

這是一本榮獲法蘭西學術院哲學大獎的數學書，一本數學愛好者都應該讀一讀的哲學書，講述一段別開生面的數學歷程，引發一場改變科學面貌的哲學思考，展現演算法時代，計算為自然科學與哲學研究帶來的震撼之力。

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