華爾街最有名的數學家

弘揚數學文化，推動數學教育

本文選自《數學文化》第1卷第3期

晚年時的伊藤清

2008年11月24日出版的《紐約時報》刊登了如下的一則新聞：伊藤清，描述隨機運動的數學家，於93歲逝世。這則消息在下述兩個方面不同尋常：首先，一則數學家的訃告並非出現在科技版面而是出現在商業版面上；其次，伊藤清的逝世時間被刊登為11月17日（實為11月10日)，對《紐約時報》這樣的大報而言，這是很愚蠢的錯誤（幸好是推後而非提前了訃告的發布）。

伊藤清並不是任何意義上的商人而是地地道道的一流數學家。他的名字出現在商業版的原因是他的工作極大地影響了人們對一切隨機現象的理解，這其中也包括了金融現象。美國經濟學家Robert Merton和Myron Scholes在伊藤的工作的基礎上提出了計算金融衍生工具的Black-Scholes模型，從而獲得1997年的諾貝爾經濟學獎。因為這個原因，伊藤清曾經被戲稱為「華爾街最有名的數學家」。

伊藤清1915年生於日本。他是日本（以及亞洲）在二十世紀貢獻出的最重要的幾位數學家之一。他工作的主要研究對象是隨機過程。確切來說，這門學問可以說根本就是他建立起來的——他在二十世紀中葉的工作讓他得到了「現代隨機分析之父」的稱號。

也許我們應該把這件事情放在更大的歷史背景中來看。按照普遍的看法，數學一向被看作是「確定性」的科學，這就是說，數學研究的對象是精確的數和形，傳統的數學分支，例如代數和幾何，也基本遵循了這種精確性的要求。另一方面，儘管數學家們很早就注意到了現實生活中的隨機事件也可以用數學來刻畫（概率論的建立可以追溯到十七世紀的數學家帕斯卡和費馬對賭博的研究），但是這樣的數學始終被視為「不嚴肅」的數學。

但是另一方面，物理學家對大自然的深入了解已經對數學家提出了要求和挑戰。自從二十世紀初開始，以愛因斯坦為代表的物理學家們就開始試圖討論包括布朗運動（就是我們在中學物理課程中學到的導致水中的花粉無規則運動的分子運動）在內的隨機物理過程，而傳統的數學工具（微分方程）裡面的每個係數和初值都是確定的（至多有微小的誤差），所以結果也是確定的。既然在物理現實中，一個係數可能根本就是隨機的變數，那麼這樣的方程該怎樣理解和分析，就成為了數學家面臨的嚴峻任務。

伊藤清1983年訪問中國時和吳文俊（左），華羅庚（左二），蘇步青（右）等合影（徐家鵠 攝）

在數學這一方面，也是直到二十世紀初，偉大的俄國數學家柯爾莫哥洛夫等人才開始試圖從公理化的角度重新建立概率論和隨機數學。這就是說，把隨機事件中的數學變數像幾何和代數對象一樣對待，為它們建立基本的公理和邏輯體系，讓「隨機」這件事情可以得到「嚴格」的定義和計算。在此基礎上，對隨機物理過程的數學刻畫才變得可能。

也許我們應當看看伊藤清自己對這段歷史的描述，下面的文字摘譯自他的《我研究概率論的六十年》一文：

從我的學生時代開始，我就被看起來完全隨機的現象中存在客觀的統計規律這一事實所吸引。儘管我知道概率論可以用來描述隨機現象，但是我並不滿意當時的概率論，因為就連最基本的元素——隨機變數——也沒有得到很好的定義。那個時候，數學家們很少像看待微積分一樣把概率論看成真正的數學領域。通過十九世紀末人們對「實數」這一概念的精確定義，微積分已經成為完全嚴格意義上的數學。那個時候只有很少幾位數學家在研究概率論，其中包括俄國的柯爾莫哥洛夫和法國的Levi。

在那個時代人們一般都覺得Levi的工作極其晦澀難懂，因為作為一個新的數學領域的先鋒人物，他的工作基本上是基於數學直覺的。於是我開始試圖用柯爾莫哥洛夫的辦法來嚴格描述Levi的想法。最終，經過了艱難而孤獨的努力，我終於成功地建立了隨機微分方程的理論。那是我的第一篇論文。

我們可以從多個方面來理解伊藤清的這段回憶。首先，他的這篇劃時代的論文發表在1942年，這時他甚至還沒有拿到博士學位。注意這個日期，1942年，我們並不難想像那時一個日本的年輕數學家處於什麼樣的工作環境。（無獨有偶，也是在這個時期，與伊藤清差不多同齡的中國數學大師陳省身也在戰爭的另一側更加艱苦的環境里開始了自己最重要的研究工作。）

其次，伊藤清的這段回憶概括了一個數學發展史的一般規律，那就是數學雖然追求嚴謹，但是任何數學思想在一開始幾乎總是完全基於粗糙和模糊的直覺，然後才會在發展過程中逐漸被精確化。微積分的發展過程是如此，概率論的發展過程也是如此。而伊藤清有幸成為隨機數學的嚴格化過程中奠基性的人物，從而名垂青史。

中年時的伊藤清

伊藤清後來在美國居住並任教過一段時間，但是他的晚年也和陳省身先生一樣，幾乎完全在他的祖國度過。他於1987年獲得數學家的終身獎沃爾夫獎。他也在2006年的國際數學家大會上獲得了首屆高斯獎，這個新設立獎項的宗旨在於表彰「工作在數學外領域影響深遠的數學家」，這個稱號伊藤清當之無愧。

弔詭的是，正是因為伊藤清的貢獻直接啟發了人們對於期權定價等一系列金融問題的研究，才使得後來種種複雜的金融衍生工具的開發成為可能。隨著人們對於金融模型掌握得日漸得心應手，這些衍生工具在數學上越來越複雜精巧，也為金融大鱷們越來越隱蔽的貪婪和野心打開了方便之門，最終成為今年席捲全球的金融危機的罪魁禍首之一。因此有人認為，要不是伊藤清開啟了這個潘多拉的盒子，也許這一切本來都不會發生。

對於一個一生以純粹理論研究為職業的數學家來說，這當然是過於嚴苛的批評。複雜的現代數學工具在金融領域的大規模應用也許永遠都會是一個有爭議性的話題，但是從紛繁複雜的現實中提煉出抽象的理論規律，這本來就是科學家的莊嚴使命。也許人類在可預見的未來都不可能用數學完美的解釋和控制金融運作，特別是在其間摻雜了如此複雜的人性因素的情況下。但是伊藤清畢竟走出了歷史性的一步。在得知他的訃告之後，今年的諾貝爾經濟學獎得主Paul Krugman在自己的博客上這樣寫道：「伊藤的成就在金融理論中——也在我自己的某些工作中——扮演了舉足輕重的角色。我不是一個數學家，我也曾經一邊寫下那些刻畫金融活動的數學公式一邊半開玩笑地說，管它有什麼實際意義呢。但是事實上，它們管用，真的。」

還是用伊藤清自己的話來結束這篇文章好了，下面的文字還是摘譯自他的《我研究概率論的六十年》一文，他在這段文字里優美地描述了自己心目中的數學：

在精確地建立數學結構的過程中，數學家會發現某種美的存在，這種美也存在於迷人的音樂和莊嚴的建築之中。然而，偉大的數學和偉大的藝術畢竟不同。莫扎特的音樂可以讓不懂得音樂理論的人著迷，科隆大教堂可以讓不了解基督教的人讚歎，然而數學結構之美很難被不理解數學公式背後的邏輯的人們所欣賞。只有數學家才能讀懂數學公式的樂譜，然後在心裡演奏出音樂來。因此我一度覺得，沒有數學公式的幫助，我很難傳遞出我心裡的數學的旋律之美。

隨機微分方程，或者說，「伊藤公式」，今天被廣泛地應用於描述各種隨機現象。但是當我剛寫出這些論文的時候，它們完全沒有引起人們的注意。直到十年之後，別的數學家們才開始閱讀我的數學樂譜，然後用他們自己的樂器演奏出音樂來。在將我的原始樂譜發展為更精緻的音樂的過程中，這些研究者們也為伊藤公式做出了自己的貢獻。近年來，我發現這些音樂也在數學之外的許多不同的領域中演奏著。我從來沒有預料到我的音樂能為真實的世界做出貢獻，而它同時也增添了純粹數學之美。我想在此感謝我的前輩們，是他們不斷的鼓勵，才讓我能夠聽到我的「未完成交響曲」中，那些神秘而微妙的音符。

作者簡介

木遙，本文作者北京大學數學系本科畢業，美國加州大學洛杉磯分校數學博士。是本刊特約撰稿人。

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