風雨飄搖的海誓山盟——關於《數學，確定性的喪失》

田松教授

作者 田 松（本號主編，北京師範大學哲學學院教授）

責編 許小編 劉小編

熱戀中的情人必有海誓山盟。對於兩情相悅的甜蜜人來說，海誓山盟可能只是一種增加糖度的語言遊戲。但是，對於一個愛上了白馬王子的女孩子或者苦追白雪公主的小夥子來說，與白先生和白小姐的海誓山盟就極為重要。只有得到了這種承諾，內心才能感到塌實，對自己要做的事才感到有底氣。「冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢與君絕。」這個虛擬語氣反過來就是個假言命題：君若與我絕，那就等值於冬雷夏雪天地合。

每個手持遙控器的現代人都深信不疑，當他按下某一個按鈕，電視機就會更換一個頻道。如果問他信心何來，他也許會說出一些電磁理論，或者說，這是科學。如果我問出亞歷山大·蒲柏的問題：噢！上帝，為什麼二加二等於四？就會有人嗤之以鼻，這還用問嗎？作為茫茫宇宙之中渺小地球上的渺小生物，人類一直小心翼翼地求得上帝的歡心，企望獲得確定性的知識。科學就是人類從上帝哪裡討來的海誓山盟，這種海誓山盟所用的語言就是數學。

但是，我們怎麼能相信上帝不會背叛了它的諾言？我們怎麼能相信上帝的語言是沒有缺陷的語言？這個問題從休謨開始不停地被追問，問到本世紀，終於問出了大麻煩。

對於數學的信賴從畢達哥拉斯就開始了。老畢先生認為「萬物皆數」。弄明白了數，就弄明白了世上萬物。第一個完整的數學體系是歐幾里德的幾何學，在定義了基本概念之後，從幾個簡單的不言自明的基本公設出發，經演繹推理，構造出一個理論大廈。隨便給你一個三角形，你都可以根據這個體系宣稱，它的三個內角之和為180度。根本就不用去量！我中學時學過這個定理之後曾經拿著量角器跟一堆三角形較勁，每次相加我都沒有得到180度，但每次我都不敢懷疑幾何定理，只能自認手段不高，量錯了。歐氏幾何精製的邏輯構造不但讓凡人沒有懷疑的勇氣，連大哲學家康德也頂禮膜拜，稱之為先天綜合判斷，視之如刻在某個神廟中的神喻。

然而在康德還活著的時候，高斯就發現，存在與歐氏幾何在邏輯上等值同真的非歐幾何。在非歐幾何里，三角形的三內角之和可以大於或者小於180度。存在兩種以上的幾何已經讓數學家感到困惑了，更讓他們苦惱的是，竟然分不出來誰對誰錯。歐氏幾何並不絕對正確，而且也不是現實空間的唯一幾何。像高斯這樣大的數學家也覺得這種想法過於大膽，遲遲不敢拿出來發表——怕遭人恥笑，直到19世紀中期，非歐幾何被其他數學家發現。紙里終未包住火，所謂上帝的承諾，不過是單戀的幻覺。數學的先驗真理性遭到了一次巨大的打擊。

這個打擊使數學家開始反省各種數學門類的邏輯基礎，卻發現，已經在科學各領域取得重大成功的眾多數學分支，其邏輯基礎不是破敗不堪，就是根本沒有。甚至歐氏幾何學本身也充滿著不嚴謹。到了本世紀初，數學家已經不再奢望得到絕對真理，他們只希望為所有數學分支建立起以夢中的歐氏幾何為模本的自恰而完備的邏輯結構，進而把整個數學統一起來。然而數學的又一次劫難降臨：在集合論中發現了悖論。所謂悖論，就是自相矛盾的命題，根據其真能推出其假，根據其假又能推出其真，這個命題就真假難辯。在以精確嚴謹著稱的數學中竟然出現了這樣的陳述，上帝成了一個任性的小姑娘，剛剛還說說笑笑，一轉身就翻臉。

數學家一邊解決集合論中的悖論，一邊考察其它數學分支的自恰性問題。到了本世紀二、三十年代，物理學的各個分支已經成為一個統一的整體，其它門類的自然科學也在物理學的基礎上統一起來了。數學也見到了一絲曙光。集合論被證明可以成為一切數學的基礎。如若能夠得到一個自恰且完備的形式化集合論體系，數學的大廈就建成了。但是這時，哥德爾發表了後來以他的名字命名的著名定理。這個定理可以大致解釋如下：對於任何嚴密的邏輯體系，如果它完備，必不自恰；如果自恰，必不完備。這個定理對數學的打擊是毀滅性的。就如一棵枝繁葉茂的老樹，樹梢上的葉子們正起勁地往上長的時候，忽然被告知：樹根已經爛了。

如果數學的根爛了，我們該如何相信科學以及科學技術？

——欲知詳情，請讀M·克萊因《數學，確定性的喪失》。

M·克萊因是美國優秀的數學史大家。我在上大學時就曾翻過他的《古今數學思想》。事實上，對於數學家而言，從牛頓時代起，數學的絕對真理性就遭到了懷疑。但是這些事我的各級老師們從來沒有說過。中國老師的嘴太犟，總是說自己教的東西多麼多麼厲害，從來不說它們的毛病。既然他們不說，我只好再說：請讀克萊因。

本書的翻譯不錯。但仍讓我找到一點疑問，如托勒密天體結構模型中一直被譯為本輪與均輪的兩個概念被譯成周轉圓與從圓，不知典出何處。從出版的角度說，這本書提供了人名的中英對照（還夠不上書中所標稱的人名索引）和參考文獻，這是一個進步。但仍如其它「第一推動叢書」一樣，沒有主題索引——不知是原書沒有，還是只是中文版沒有。

M·克萊因，《數學，確定性的喪失》，李宏魁譯，湖南科技出版社，第一推動叢書

1998年9月2日

北京 稻香園

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