希爾伯特旅館悖論

最新 05-26

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希爾伯特旅館悖論(Hilbert s paradox of the Grand Hotel)是一個與無限集合有關的數學悖論. 在上世紀 20 年代, 德國數學家大衛.希爾伯特提出了一個著名的思想實驗來向我們表明, 用人類的思維去把握"無窮/無限"這個概念究竟有多難.

假設有一個擁有可數無限多個房間的旅館，且所有的房間均已客滿。或許有人會認為此時這一旅館將無法再接納新的客人（如同有限個房間的情況），但事實上並非如此。

正文

來了有限個新客人

想像一家旅館有無窮多間客房, 還有一位非常勤奮的夜班經理. 一天晚上, 無限旅館徹底客滿, 已經被無限多位客人全部預定了. 一個男士走進了旅館並且要求一個房間。夜班經理並沒有拒絕他，而是決定給他一個房間。

怎麼可能？很簡單，他讓1號客房的客人搬到了2號客房，2號客房的客人搬到3號客房，以此類推。每個客人從"n"號房間搬入"n+1"號房間。

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因為旅館有無限個房間，所以總有第 n+1 個房間給每 n 個已入住的客人, 這樣的話 1號房間就留給了新的客人。

這個安排房間的方法可以被重複給任何有限個的新客人們。假設一個觀光大巴有 40 個乘客下車要找房間，那麼每個已在的客人只要從"n"號房間搬到"n+40"號房間，因此，就能有新的40個房間供入住。

來了無限個新客人

但是現在有一個無限長的巴士拉了可數的無限多位客人來訂房間。關鍵是可數無限個新客人。

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現在，這個無限長的巴士裡面搭乘的無限多客人一開始為難了夜店經理，但是他意識到有一個方法來安置每一個新人。他讓1號房間的客人搬到了2號房間。他然後讓2號房間的客人搬到了4號房間，3號房間的客人搬到6號房間，以此類推。讓每一個原先入住的客人從"n"號房間搬到了"2n"號房間，於是只有無限多的偶數號房間里住了人, 而空閑下來的無限多個奇數房間由新來的客人入住。

通過這樣安排，這輛無限長的巴士的乘客們將佔用這些奇數房間。皆大歡喜, 旅館的生意達到了空前的興隆, 人們從世界各地蜂擁而來。

無限個大巴且每個巴士有無限客人

一天晚上，發生了超乎想像的事情發生了。夜班經理看了外面並且看到了由無限多輛並且每一輛都是無限長的大巴們開到旅館門口，每個大巴都載著可數的無限多位的客人。

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如果當班經理不能給這些疲憊不堪的乘客找到房間住下來，這個旅館就要失去無限多的收入，並且他肯定會失去工作。幸運的是，他記得在公元300年前，Euclid 給出了質數有無窮多個的證明.

所以，為了完成這個看上去不可能實現的任務: 找到無限張床, 給無限輛的大巴上的無限位疲倦的旅客們. 夜店經理安排給每個原有的客人這樣調整一下房間.

把第一個質數 2 作為的底數, 原有客人當前的房間號為指數。譬如, 原先住在房間號為7的旅館客人, 就要搬到房間號為2的7次方的房間里，也就是128號房。

然後, 夜班經理這樣安排在第一個超級大巴上的客人, 以下一個質數 3 為底數, 以他們在大巴的座位號為指數來分配房間。

因此，座位號為7的第一輛大巴上的人到房間號為3的七次方即2187號房間去。這個過程持續給第一輛大巴上的所有人。

第二輛大巴上的乘客們被安排到了下一個質數 5 為底數.

接下的大巴以 7 為底的冪。每輛大巴如下：11的冪，13的冪，17的冪，等等。因為這些底數都是質數, 因此就房間號就不會重複, 也就利用了這種基於質數的獨特安置方案就能將所有大巴里乘客們散列分配到到各自房間.

這樣一來，夜班經理能夠安排每輛大巴的每位乘客入住。儘管，還有許多房間是空的，像是1, 6, 10, 12 號房因為不是任何質數的冪就閑置了起來。不過幸運的是，他的老闆數學不是很棒，所以的夜班經理的工作還是保住了。

夜班經理現在都是面對這些難題都只涉及到了最低級的無窮數，主要是可數的無限自然數1，2，3，4......等等。George Cantor稱這個等級的無限為阿列夫-零(Aleph-zero).

我們使用自然數為房間號, 同時也是使用自然數來對應大巴的座位號。如果我們處理更高級的無窮數，比如實數的無限情況, 前面這些結構策略就不行了, 因為我們沒有辦法系統地包含每一個數字。比如實數, 負數, 無理數這樣的場景, 都在提醒我們目前這樣相對有窮的思維, 如果想要掌握無窮數這樣的概念是有多麼困難. 或許你在希爾伯特旅館好好睡了一晚後能解決這些問題. 不過老實說，夜班經理可能需要你在凌晨2點換房間。

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