關於數獨的文化史和一些數學問題

數獨（Sudoku），一種起源於日本、流行於歐美的數字遊戲。雖然進入中國內地的時間不久，但已經佔據了很多媒體的遊戲版面，吸引越來越多的玩家投身數字的迷宮。不過數獨愛好者們可能不知道，這個小遊戲的雛形，卻是一個讓數學家傷透腦筋的問題。即使在今天，還有眾多研究人員為弄清楚數獨背後的規律而絞盡腦汁。

即使是天使也會為數學問題苦思冥想。德國名畫家丟勒的這幅木刻畫《憂鬱症》（Melencolia）描述的就是一個因為數學患上憂鬱症的天使。讓畫中天使牽掛的就是牆上掛著的數字迷宮，橫向、縱向、對角線數字的和都是34，在最下面一行的中間兩格，畫家自娛地留下了創作年代1514。

1歐拉與拉丁方

作為數學史上最傳奇、最多產的大師之一，瑞士數學家歐拉（LeonardEuler，1707—1783）在18世紀研究了一種有趣的數字方陣：考慮一個階數（亦即行數和列數）為n的方陣，在小格里填入n種符號或數字，在每一行/列中，每一個符號出現且僅出現一次。這種方陣源自中世紀的格盤遊戲，其求解過程可歸結為「染色問題」——一個數學中最古老的問題之一。因為最初隨手填入方陣內的是一個個拉丁字母，歐拉將這樣的方陣命名為拉丁方（Latin Square）。拉丁方在實驗設計、數據檢驗和幻方構造等領域應用極廣。

很容易發現，數獨其實正是一種特殊的拉丁方。惟一不同的是，數獨加上了一個額外的條件：在每個小九宮格的區域內，每個數字同樣出現且只出現一次。

2終盤的可能性

通常將一個完成了的數獨題目稱為終盤。在數獨遊戲風行後，人們很快便希望知道這個遊戲究竟存在多少個終盤形式。對此，德國數學家BertramFelgenhauer在2005年給出了答案：數獨的最大可能終盤數為6，670，903，752，021，072，936，960種。

Felgenhauer的算式為9！×722×27×27，704，267，971，最後的數字是一個大質數。雖然這個天文數字已經足夠驚人，但考慮到作為一種特殊限制的拉丁方，數獨終盤的可能性只是可能存在的九階拉丁方數目的0.00012%！

另一個方面，考慮到數獨遊戲的初始數字對稱要求，以上結果可能有相當程度的重複，亦即其終盤結果會出現大量的雷同。據此，英國數學家FrazerJarvis和EdRussell給出了更準確的不同終盤數：5，472，730，538。這樣一來，有志於破解所有數獨題目的玩家又看到了希望的曙光，擔心遊戲被窮盡而沒有遊戲可玩的愛好者也不必焦慮：畢竟這個數目和地球人口一樣多。

3最小初盤問題

與終盤相對應，一個數獨遊戲給出的初始條件稱為初盤。

一般常見的初盤數字個數在22—28之間，而數獨愛好者們常問的一個問題是：最少給出多少個數字，數獨遊戲才確保有惟一解？具體地說：最少需要在初盤中給出多少個數字，使得移除其中任何一個數字該數獨遊戲便沒有惟一解。

事實上，這個問題是數獨中最有數學趣味的問題之一，並且長時間以來未得到解決。但當時數學家們估計，這個數字很可能是17。17個數字的最小惟一解初盤是由一名日本數獨愛好者提出的。澳大利亞數學家GordonRoyle已經收集了36628個17個數字的惟一解初盤，而愛爾蘭數學家Gary McGuire則致力於尋找16個數字的惟一解初盤，但至今仍無發現。部分數學家開始退而求其次，轉而尋找只有兩個解的16個數字初盤。

統計學家根據一個統計學原理曾隨機地構造了大量17個數字的初盤，發現其中有惟一解的初盤只有數個未被GordonRoyle教授發現，這意味著，最小惟一解初盤問題的最終答案可能正是17。因為從理論上說，如果16個數字的惟一解終盤存在，那麼每一個必將引起65個17個數字惟一解終盤的增加，而在研究中至今沒有觀察到這一效應。

2012年一位愛爾蘭數學家利用一套極為複雜的運演算法則以及數億小時的「超級計算」，解決了數獨運算中的一個重要的開放問題。

都柏林大學學院的GaryMcGuire於1月1日在互聯網上貼出了自己的證明——完成一次數獨所需的最小提示數（或起始數）是17；而16個或更少的線索則無法得到唯一解。

在1月7日於美國波士頓市召開的一次會議上，數學家們就此達成了共識，McGuire的證明很可能是有效的，並且是發展中的數獨領域的一項重要進展。

弗吉尼亞州哈里森堡詹姆斯?麥迪遜大學的數學家Jason Rosenhouse是一本即將出版的數獨演算法書籍《嚴肅看待數獨：全球最流行的鉛筆遊戲背後的數學》的作者之一，他認為：「這一方法是合理的，並且似乎是可靠的。對此我持謹慎樂觀的態度。」

McGuire和他的研究小組花了兩年時間來測試這一演算法——他們在都柏林的愛爾蘭高端計算中心耗費了約700萬個CPU小時，利用「打集合演算法」來尋找可能的方格。同樣利用不同演算法證明17個線索的數獨的佩斯市西澳大利亞大學的數學家Gordon Royle表示：「做到這一點的唯一現實辦法就是這種強力的方法……這是一個極具挑戰性的問題，它可以激發人們將計算與數學方法推向極限，就像在攀登最高的山峰。」

McGuire表示，他的方法還可能在其他領域產生作用。這種「打集合演算法」已經被用於基因測序分析和蜂窩網路的論文中，McGuire期待它能夠被更多的研究人員所利用。他說：「希望這種演算法能夠激發更多的興趣。」

4最大初盤問題

與最小初盤問題相反，人們還可以提出最大初盤問題。

也就是說：在一個數獨初盤中，最多能給出多少個數字，使得再增加一個數字該問題便只有惟一解。

相對於最小初盤問題，最大初盤問題容易解決得多。採用倒推法，在初始數字為80的情況下無需說明，缺啥補啥即可；在初始數字為79的初盤中也大約如此，因為考慮到必須滿足每一個小九宮格內每個數字出現且僅出現一次，這意味著所缺少的數字都必須出現在同一個九宮格內，考慮到這個情況，還可以依次推出78的初盤也有惟一解。但當初盤中給定數字變為77的時候，該數獨遊戲便會出現兩解的情況。

5數字遊戲傳播史

「數獨」可以被定義為一種邏輯智力拚圖遊戲，也可以被稱為「數字遊戲」。顧名思義，「數獨」可以理解為一組獨立的數字，將這組數字以一定的規則組合在一定區域內，便是數獨遊戲的主要內容。

具體地說，拼圖是大九宮格（即3格寬×3格高）的正方形狀，由9個小九宮格組

成。遊戲的目標是在每一個小九宮格中，不重複地填上1至9的數字，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重複。一般而言，一條數獨題會給出1/3左右的數字作為初始條件，剩下的2/3空白處由讀者完成。

也許正是因為規則簡單，所以數獨才能迅速風靡世界。既然玩數獨遊戲無需數學運算或證明，似乎完全可以將其稱為「數字遊戲」。

Nikoli是所有數獨愛好者需要感謝的第一個名字。

數獨遊戲在1979年前後已經在美國Dell雜誌上刊登，但在眾多填字遊戲中並未引起特別注意。直到1984年，日本的填字遊戲出版商Nikoli公司的煅治真起從美國發現了這個遊戲，決定引入日本並將其命名為Sudoku，意思是「每個數字只能出現一次」。

隨著Sudoku遊戲在日本國內大受歡迎，Nikoli公司在1986年對其進行了兩項改良：其一是題目中給出的初始數字限定在32個以內，其二是給出數字的分布採用對稱形式。這就是今天我們看到的數獨遊戲的面貌。

很難解釋為何在此後的十多年裡，數獨遊戲一直只在日本國內流行。但可以肯定的是，將數獨遊戲重新發現並推廣到國際市場的，是一名香港高等法院退休法官、紐西蘭人高樂德。他在1997年一次日本旅行中，在書店內發現數獨遊戲，立刻被其吸引住。此後高樂德花了六年時間開發數獨出題程序，並向英國《泰晤士報》等報社出售其編寫的數獨題目。英國市場反應極佳，數獨開始風行全球，而高樂德本人也因此獲得巨額收入。

經過兩年的迅速發展，數獨遊戲已經「侵入」了幾乎一切公共傳播領域：數以千計的報紙提供數獨遊戲，數十種數獨刊物，全球各地分別成立了數獨愛好者團體，電視上已經出現了數獨節目，而第一屆數獨世界錦標賽也在今年的3月舉行，捷克一名女會計師奪冠。

*來源自陳岑77新浪博客

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