歐美小孩有乘法表和乘法口訣嗎？

【文/ 觀察者網專欄作者 潘攻愚?】

近日，觀察者網花邊欄目一則「沒有中國的九九乘法表，外國人是怎麼算乘法的？」一文引起了不少讀者的興趣。

大約在兩年前，筆者在國內某視頻網站上第一次瀏覽到這則視頻時，看了六七秒鐘就直接拉到屏幕下方看讀者評論，果不其然，吐槽者甚眾，無非是抨擊歪果仁喜歡「化簡為繁」，這些奇技淫巧的展示不但不能證明西方人的聰明，反而帶有呆傻愚笨氣；相比之下， 「九九乘法表」琅琅上口，形成了條件反射式的記憶，計算速率方面遠勝「畫線乘法」術。

不過這次筆者仔細留意並細細梳理了「畫線乘法（multiply numbers by drawing lines）」的來龍去脈，覺得確實比想像中有意思，完全不是惡搞或者歪果仁在「自污」他們的數學學習體系。

「畫線乘法」是怎麼來的？

這則視頻誕生於2014年的四五月份，作者名叫Presh Talwalkar（目前尚不知這是否為筆名），美國斯坦福大學的高材生，主修經濟和數學（Economics and Mathematics），現在畢業與否也不清楚。

Presh Talwalkar的著作單：《博弈論的樂趣》、《數學鬼點子》等等，都和數學有關，售價9到12美元不等

他在國外網購平台亞馬遜（Amazon）的圖書市場上有幾本著作，定價都不貴而且篇幅很小，屬於「小品書」的範疇，幾乎全部都與數學（諸如博弈論、計算竅門和技巧）相關。在網路上有關他的資料很有限，筆者還是搜到了他的照片。

看到他的照片時，筆者覺得他的臉能完美地和「畫線乘法」的視頻相契合。為什麼這麼說呢？因為這是一張典型的geek，nerd（書獃子）的臉：過於早慧導致脫髮嚴重索性剃成光頭，眼神看似散漫無光但又好像在盯著什麼深思，厚厚的眼鏡兩側，他肌肉鬆弛的雙頰好像在告訴你：別和我懟智商。

他在國外著名視頻網站Youtube的賬號是MindYourDecisions，「畫線乘法」的視頻推出後，不長的時間內居然有了上百萬的點擊量。下面的讀者有不停地在問問題的，如「這個視頻能解決xxx乘法嗎」；還有很多讚歎的「很棒！很厲害！」這也恰恰可以證明「畫線乘法」術對外國人本身來講也是很新奇、很怪異的，而不是像某些人炒作的那樣說是他們慣用的一個計算手法。

他製作的「畫線乘法」視頻點擊數目前超過了180萬

「畫線乘法」的基本原理在觀察者網的這則新聞下已經稍作了介紹，不過篇幅基本只限於百以內的兩數相乘（計算節點時，兩位數和兩位數相乘，劃分三個區域的節點，三位數和三位數相乘，則有五個區域的節點）。

除此之外，筆者介紹他所回答的兩種其他情況：

1 如果是三位數乘以兩位數，應該怎麼畫線？答案是兩位數前面補足一個0就可以了。比如234*12，就相當於234*012。0在畫線的時候還是要畫出來的，只不過要用不同顏色的筆來畫，而且最後數節點的時候，把0這條線的節點忽略不計就行了。

2 如果出現大的數字怎麼辦？比如59*98？難道要在紙上先畫5條線，再畫9條，然後其他方向畫9條，再畫8條？這豈不是很麻煩？早有國外的網友吐糟：俺也沒有這麼大的紙啊。

Presh Talwalkar對此是這樣解決的：用一條藍色的線代表5，那麼兩條藍色的線就是10，那麼9就是兩條藍色的線減去1,這個時候，用其他顏色（比如綠色）的線表示-1，那麼9就畫出來了：兩條藍色的線加一條綠色的線；同理，8就是兩條藍線加兩條綠線。59*98的計算如圖所示：

（要記住一條：節點的計算也是按照十進位的規則的，假如中間區域的節點數量超過了10，比如12，則把1遞加到相鄰區域中，只保留個位數2就可以。）

行文至此，讀者估計已經忍不住發問了：這不是蛋疼嗎？這有什麼用，簡直是庸人自擾嘛。真正要算乘法的結果我們有計算器啊，哪怕是心算，對於聰明人來說，算出來的速度也比這個「畫線乘法」法要快。

Presh Talwalkar發明的這個「畫線乘法」術，筆者覺得他的目的就是「玩」，以此為樂，很享受這個玩數學的過程。孔夫子有講過技藝的精進過程很經典：「……依於仁，游於藝。」這個Presh Talwalkar就在這個「游於藝」的階段，把數學計算當成一種「藝」在「遊玩」，他把純計算還原成直線的連接數，有一些類似於笛卡爾把代數和幾何相結合的味道。

所以他把「畫線乘法」的原理寫出來賣書，而且引了一幫同好相互唱合，很有類似古代文人「斗詩」，當代中老年一起「尬舞」的怡情之趣。

拋開這個書獃子的「畫線乘法」術，這裡還有一個問題，前文中也提到國人很是以我們的「乘法表」和「乘法口訣」而自豪，筆者承認它確實推動了國人在幼年階段的計算能力，尤其是其中一些口訣比如「一五一十、三七二十一」等變成了一種坊間俚語，更是強化了這種計算記憶。

那麼，歐美國家的孩子，有「乘法表」和「乘法口訣」嗎？

答案是有，而且大有特有。

觀網有讀者Melodie_im_Wald在評論中已經指出，德國小學生二年級開始背九九乘法表，二三十年前五年級時要背到25乘以25，這很可能是經驗之談。

以「乘法表」（Multiplikationstabellen）作為關鍵詞在某搜索引擎中搜索，可以搜到大量的德語版包括瑞典語版的乘法表。說實話，筆者小時候學乘法表和乘法口訣，只學了「九九乘法表」，並沒有涉及兩位數和兩位數相乘的內容。從這一點看，德國、英國和瑞典的同齡段的孩子的內容深度貌似已經超過了國內兒童。

英國教育部2016年1月3日推出新規：英格蘭地區小學生在畢業前（11歲左右學生）需參加12×12以內的乘法表考試

還有讀者說西方人確實有乘法表幫助背誦，但是沒有「乘法口訣」。這很可能和語言的發音體系有關，因為按照西方人設定的那種音節（Syllable）為標準，每個漢字的發音基本就是「一字一節」，而且漢語中「韻」（rhyme）天然地能和音節結合，琅琅上口很方便：比如「二十五」，漢語只有三個音節，那麼德語呢？fünfundzwanzig，是漢語音節的兩倍（如果不以教科書上那種必須以母音判定音節數的標準）。

在這裡筆者再以法語為例舉一個比較經典的例子。現代網球規則是法國人主導的，以局分來說，一球15分，連續兩次得分為30分，但是第三次得分為40。這裡，15,30,40根本不是等差數列，為什麼第三次得分不是45分呢？答案很簡單，法語45這個數字的發音實在是太長了，連報分員都覺得麻煩，索性用40代替。

那麼無論法語德語還是瑞典語，數字的發音做成「口訣」比起漢語來天然有劣勢，那就要想想辦法了：編成歌謠唱起來！

一旦編成了歌謠，那就不可避免地要加上一些除了數字之外的「廢話」，這樣的話就可以既保證「押韻」，也可以在句與句之間顯得整齊便於背誦（不至於其中某句子太長，某句子太短）。

所以西方的孩子小時候也許沒有乘法口訣，但有不少的「乘法歌謠」，儘管如此，還是不得不說，乘法歌謠比起口訣來，效率還是低多了，九九乘法表，從一一得一，到九九八十一，排比句如傾瀉而下的瀑布，一氣呵成。

讀者可以看一下，僅僅是8這個數字的乘法，德國人就需要單獨的一首歌來幫助記憶：

Jeden Tag geht Max zur Schule.

Mal hat er Lust, mal eher nicht.

Der Lehrer fragt ihn tausend Dinge

und schaut ihm mitten ins Gesicht.

Er starrt durch seine gro?e Brille

und will von ihm das 1 x 8.

Wie gut, dass Max zu Haus geübt hat,

denn Mathe ist sein Lieblingsfach.

1 x 8 ist 8, Herr Schmidt, und 2 x 8 ist 16,

3 x 8 ist 24 – sehn Sie, ich kann rechnen!

4 x 8 ist 32, 5 x 8 ist 40.

6 x 8 ist 48, Mathe ist so wichtig.

7 x 8 ist 56, gleich sind wir am Ende.

8 x 8 ist 64, klatscht mal in die H?nde.

9 x 8 ist 72, 10 x 8 ist 80.

Wenn du es beim ersten Mal nicht kannst,

dann sag ich dir: Das macht nichts.

這首歌的歌詞翻譯如下：

馬科斯每天去上學，他學習的興趣時有時無。老師盯著他的臉問了一千件事情，並且透過碩大的眼鏡教給他一八得八，太好了！馬科斯回家開始練習，數學成了他最喜歡的課程。一八得八，施密特老師，二八一十六，三八二十四，請看，我會算啦！四八三十二，五八四十！六八四十八，數學很重要哦！七八五十六，我們先到此為止。八八六十四，大家一起來拍手！八九七十二，八乘以十是八十。如果你第一次算不出來，我告訴你：這沒關係！

那麼，有「乘法表」和「乘法歌謠」德國小孩的數學水平現在到底怎麼樣？相當能反映一個國家基礎教育水平的PISA測試（國際學生能力評估計劃），2015年德國孩子的數學得分只排到了世界第20名：

順便說一下，2015年數學能力排第一的是上海學生，排第二的是香港學生。對此，德國媒體開始擔憂他們的數學基礎教育是不是出了什麼問題，也準備大張旗鼓地向中國取經。不管孩子們有沒有乘法表和乘法口訣，德國人要想辦法必須要把數學先賢的棺材板壓住了:畢竟他們的祖上出過高斯、黎曼等世界一流的數學家。

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