追尋數學大國的歷史脈絡——數學史專家李文林談中國數學發展

李文林把中國數學史稱為波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章。在李文林的娓娓敘述中，中國數學對於世界的卓越貢獻，如盛開著的中國文明之花，一朵朵展現開來。

古代數學領跑世界

中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多傑出數學家，取得了很多輝煌成就。

中國數學的起源與早期發展，在古代著作《世本》中就已提到黃帝使「隸首作算數」，但這只是傳說。在殷商甲骨文記錄中，中國已經使用完整的十進位記數。至遲到春秋戰國時代，又開始出現嚴格的十進位制籌算記數。籌算作為中國古代的計算工具，是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。

關於幾何學，《史記》「夏本紀」記載說：夏禹治水，「左規矩，右準繩」。「規」是圓規，「矩」是直角尺，「準繩」則是確定鉛垂方向的器械。這些都說明了早期幾何學的應用。從戰國時代的著作《考工記》中也可以看到與手工業製作有關的實用幾何知識。

戰國(公元前475年～前221年)諸子百家與希臘雅典學派時代相當。「百家」就是多種不同的學派，其中的「墨家」與「名家」，其著作包含有理論數學的萌芽。如《墨經》(約公元前4世紀著作)中討論了某些形式邏輯的法則，並在此基礎上提出了一系列數學概念的抽象定義。

《周髀算經》

在現存的中國古代數學著作中，《周髀算經》是最早的一部。《周髀算經》成書年代據考應不晚於公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數學、天文知識，有的可以追溯到西周(公元前11世紀～前8世紀)。從數學上看，《周髀算經》主要的成就是分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關於勾股定理的論述最為突出。

《九章算術》是中國古典數學最重要的著作。這部著作的成書年代，根據考證，至遲在公元前1世紀，但其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。《周禮》記載西周貴族子弟必學的六門課程「六藝」中有一門是「九數」。劉徽《九章算術注》「序」中就稱《九章算術》是由「九數」發展而來，並經過西漢張蒼、耿壽昌等人刪補。

《九章算術》採用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數學成就是豐富和多方面的。算術方面，「方田」章給出了完整的分數加、減、乘、除以及約分和通分運演算法則，「粟米」、「衰分」、「均輸」諸章集中討論比例問題，「盈不足」術是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設來求繁難算術問題的解的方法。代數方面，《九章算術》的成就是具有世界意義的，「方程術」即線性聯立方程組的解法；「正負術」是《九章算術》在代數方面的另一項突出貢獻，即負數的引進；「開方術」即「少廣」章的「開方術」和「開立方術」，給出了開平方和開立方的演算法；在幾何方面，「方田」、「商功」和「勾股」三章處理幾何問題，其中「方田」章討論面積計算，「商功」章討論體積計算，「勾股」章則是關於勾股定理的應用。

《九章算術》的幾何部分主要是實用幾何。但稍後的魏晉南北朝，卻出現了證明《九章算術》中那些演算法的努力，從而引發了中國古典幾何中最閃亮的篇章。

《九章算術》

從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，但同時也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學之後，學術界思辯之風再起。在數學上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現，實質是要尋求這兩部著作中一些重要結論的數學證明。這方面的先鋒，最傑出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數學史上一個獨特而豐產的時期。

《隋書》「律曆志」中提到「魏陳留王景元四年劉徽注九章」，由此知道劉徽是公元3世紀魏晉時人，並於公元263年撰《九章算術注》。《九章算術注》包含了劉徽本人的許多創造，完全可以看成是獨立的著作，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位。

劉徽

劉徽數學成就中最突出的是「割圓術」和體積理論。劉徽在《九章算術》方田章「圓田術」注中，提出割圓術作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來推算圓周率的數學家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力於面積與體積公式的推證，並取得了超越時代的成果。

劉徽的數學思想和方法，到南北朝時期被祖沖之和他的兒子推進和發展了。

祖沖之(公元429年—500年)活躍於南朝宋、齊兩代，曾做過南徐州(今鎮江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數很少能名列正史的數學家之一。《南齊史》「祖沖之傳」說他「探異今古」，「革新變舊」。

祖沖之

球體積的推導和圓周率的計算是祖沖之引以為榮的兩大數學成就。祖沖之關於圓周率的貢獻記載在《隋書》中。祖沖之算出了圓周率數值的上下限：3.1415926

之後的大唐盛世是中國封建社會最繁榮的時代，可是在數學方面，整個唐代卻沒有產生出能夠與其前的魏晉南北朝和其後的宋元時期相媲美的數學大家。

中國古典數學的下一個高潮宋元數學，是創造演算法的英雄時代。

到了宋代，雕版印書的發達特別是活字印刷的發明，則給數學著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期(公元960年—1368年)，重新統一了的中國封建社會發生了一系列有利於數學發展的變化。這一時期湧現的優秀數學家中最卓越的代表，如通常稱「宋元四大家」的楊輝、秦九韶、李冶、朱世傑等，在世界數學史上佔有光輝的地位；而這一時期印刷出版、 記載著中國古典數學最高成就的宋元算書，也是世界文化的重要遺產。

賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術細草》著作，原書丟失，但其主要內容被南宋數學家楊輝著《詳解九章演算法 》(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開方法，是一個非常有效和高度機械化的演算法，可適用於開任意高次方。

秦九韶(約公元1202年—1261年)在他的代表著作《數書九章》中，將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為「正負開方術」。秦九韶還有「大衍總數術」，即一次同餘式的一般解法。這兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上佔有突出的地位。

秦九韶的大衍總數術，是《孫子算經》中「物不知數」題演算法的推廣。從「孫子問題」到「大衍總數術」關於一次同餘式求解的研究，形成了中國古典數學中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文曆法問題的推動。中國古典數學的發展與天文曆法有特殊的聯繫，另一個突出的例子是內插法的發展。

古代天算家由於編製曆法而需要確定日月五星等天體的視運動，當他們觀察出天體運動的不均勻性時，內插法便應運產生。早在東漢時期，劉洪《乾象曆》就使用了一次內插公式來計算月行度數。公元600年劉焊在《皇極曆》中使用了二次內插公式來推算日月五星的經行度數。公元727年，僧一行又在他的《大衍曆》中將劉焊的公式推廣到自變數不等間距的情形。但由於天體運動的加速度也不均勻，二次內插仍不夠精密。隨著曆法的進步，對數學工具也提出了更高的要求。到了宋元時代，便出現了高次內插法。

最先獲得一般高次內插公式的數學家是朱世傑(公元1300年前後)。朱世傑的代表著作有《算學啟蒙》(1299年)和《四元玉鑒》(1303年)。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標誌，其中最突出的數學創造有「招差術」(即高次內插法)，「垛積術」(高階等差級數求和)以及「四元術」(多元高次聯立方程組與消元解法)等。

（元）朱世傑

宋元數學發展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是「天元術」和「四元術」的發明。天元術和四元術都是用專門的記號來表示未知數，從而列方程、解方程的方法，它們是代數學的重要進步。

中國古代數學以計算為中心、具有程序性和機械性的演算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特徵的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。

近代數學日漸勢微

《四元玉鑒》可以說是宋元數學的絕唱。元末以後，中國傳統數學驟轉衰落。整個明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產生出能與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學傑作，而且在清中葉乾嘉學派重新發掘研究以前，「天元術」、「四元術」這樣一些宋元數學的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達三百餘年的時期內，除了珠算的發展及與之相關的著作(如程大位《演算法統宗》，1592年)的出現，中國傳統數學研究不僅沒有新的創造，反而倒退了。

中國傳統數學自元末以後落後的原因是多方面的。皇朝更迭的漫長的封建社會，在晚期表現出日趨嚴重的停滯性與腐朽性，數學發展缺乏社會動力和思想刺激。元代以後，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數學社會地位低下，研究數學者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。

同時，中國傳統數學本身也存在著弱點。籌算系統使用的十進位值記數制是對世界文明的一大貢獻，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內發展起來的半符號代數「天元術」與「四元術」，就不能突破籌算的限制演進為徹底的符號代數。籌式方程運算不僅笨拙累贅，而且對有五個以上未知量的方程組無能為力。另一方面，演算法創造是數學進步的必要因素，但缺乏演繹論證的演算法傾向與缺乏演算法創造的演繹傾向同樣難以升華為現代數學。而無論是籌算數學還是演繹幾何，在中國的傳播都由於「天朝帝國」的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀，當近代數學在歐洲蓬勃興起以後，中國數學就更明顯地落後了。

從17世紀初到19世紀末大約三百年時間，是中國傳統數學滯緩發展和西方數學逐漸傳入的過渡時期，這期間出現了兩次西方數學傳播的高潮。

歐幾里得《原本》

第一次是從17世紀初到18世紀初，標誌性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。1606年，中國學者徐光啟(1562年—1633年)與義大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci)合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，並於翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數學名詞「幾何」由此而來。

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。除了初等數學，這一時期還傳入了包括解析幾何、微積分、無窮級數論、概率論等近代數學知識。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成起了一定的作用，但由於當時整個社會環境與科學基礎的限制，總的來說其功效並不顯著。清末數學教育的改革仍以初等數學為主，即使在所謂「大學堂」中，數學教學的內容也沒有超出初等微積分的範圍，並且多半被轉化為傳統的語言來講授。中國現代數學的真正開拓，是在辛亥革命以後，興辦高等數學教育是重要標誌。

現代數學迎頭趕上

自鴉片戰爭以後，西方列強的軍艦與大炮使中國朝野看到了科學與教育的重要，部分有識之士還逐步認識到數學對於富國強兵的意義，從而竭力主張改革國內數學教育，同時派遣留學生出國學習西方數學。辛亥革命以後，這兩條途徑得到了較好的結合，有力地推動了中國現代高等數學教育的建制。

20世紀初，在科學與民主的高漲聲中，中國數學家們踏上了學習並趕超西方先進數學的光榮而艱難的歷程。1912年，中國第一個大學數學系——北京大學數學系成立(當時叫「數學門」，1918年改「門」稱「系」)，這是中國現代高等數學教育的開端。

20世紀20年代，是中國現代數學發展道路上的關鍵時期。在這一時期，全國各地大學紛紛創辦數學系，數學人才培養開始著眼於國內。除了北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學，在這一時期成立數學系的還有東南大學(1921年)、北京師範大學(1922年)、武漢大學(1922年)、廈門大學(1923年)、四川大學(1924年)等等。

伴隨著中國現代數學教育的形成，現代數學研究也在中國悄然興起。中國現代數學的開拓者們，在發展現代數學教育的同時，努力拚搏，追趕世界數學前沿，至1920年末和1930年，已開始出現一批符合國際水平的研究工作。

陳建功

1928年，留學日本的陳建功在日本《帝國科學院院報》上發表論文《關於具有絕對收斂Fourier級數的函數類》，中心結果是證明了一條關於三角級數在區間上絕對收斂的充要條件。幾乎同時，G.哈代和J.李特爾伍德在德文雜誌《數學時報》上也發表了同樣的結果，因而西方文獻中常稱此結果為「陳-哈代-李特爾伍德定理」。這標誌中國數學家已能生產國際一流水平的研究成果。

差不多同時，蘇步青、江澤涵、熊慶來、曾炯之等也在各自領域裡作出令國際同行矚目的成果。1928—1930年間，蘇步青在當時處於國際熱門的仿射微分幾何方面引進並決定了仿射鑄曲面和旋轉曲面。他在這個領域的另一個美妙發現後被命名為「蘇錐面」。

數學系師生合影（前右6為蘇步青、右5為陳建功、右4為徐瑞雲、右2為朱良璧）(1934年,杭州)

江澤涵是將拓撲學引進中國的第一人，他本人在拓撲學領域中最有影響的工作是關於不動點理論的研究，這在他1930年的研究中已有端倪。江澤涵從1934年起出任北京大學數學系主任。熊慶來「大器晚成」，1931年，已經身居清華大學算學系主任的熊慶來，再度赴法國龐加萊研究所，兩年後取得法國國家博士學位。其博士論文《關於無窮級整函數與亞純函數》、引進後以他的名字命名的「熊氏無窮級」等，將博雷爾有窮級整函數論推廣為無窮級情形。

（左）江澤涵

從20世紀初第一批學習現代數學的中國留學生跨出國門，到1930年中國數學家的名字在現代數學熱門領域的前沿屢屢出現，前後不過30餘年，這反映了中國現代數學的先驅者們高度的民族自強精神和卓越的科學創造能力。

這一點，在1930年至1940年中的時期里有更強烈的體現。這一時期的大部分時間，中國是處在抗日戰爭的烽火之中，時局動蕩，生活艱苦。當時一些主要的大學都遷移到了敵後內地。在極端動蕩、艱苦的戰時環境下，師生們卻表現出抵禦外侮、發展民族科學的高昂熱情。他們在空襲炸彈的威脅下，照常上課，並舉行各種討論班，同時堅持深入的科學研究。這一時期產生了一系列先進的數學成果，其中最有代表性的是華羅庚、陳省身、許寶的工作。

到40年代後期，又有一批優秀的青年數學家成長起來，走向國際數學的前沿並作出先進的成果，其中最有代表性的是吳文俊的工作。吳文俊1940年畢業於上海交通大學，1947年赴法國留學。吳文俊在留學期間就提出了後來以他的名字命名的「吳示性類」和「吳公式」，有力地推動了示性類理論與代數拓撲學的發展。

吳文俊

經過老一輩數學家們披荊斬棘的努力，中國現代數學從無到有地發展起來，從1930年開始，不僅有了達到一定水平的隊伍，而且有了全國性的學術性組織和發表成果的雜誌，現代數學研究初具規模，並呈現上升之勢。

1949年中華人民共和國成立之後，中國現代數學的發展進入了一個新的階段。新中國的數學事業經歷了曲折的道路而獲得了巨大的進步。這種進步主要表現在：建立並完善了獨立自主的現代數學科研與教育體制；形成了一支研究門類齊全、並擁有一批學術帶頭人的實力雄厚的數學研究隊伍；取得了豐富的和先進的學術成果，其中達到國際先進水平的成果比例不斷提高。改革開放以來，中國數學更是進入了前所未有的良好的發展時期，特別是湧現了一批優秀的、活躍於國際數學前沿的青年數學家。

改革開放以來的20多年是我國數學事業空前發展的繁榮時期。中國數學的研究隊伍迅速擴大，研究論文和專著成十倍地增長，研究領域和方向發生了深刻的變化。我國數學家不僅在傳統的領域內繼續作出了成績，而且在許多重要的過去空缺的方向以及當今世界研究前沿都有重要的貢獻。在世界各地許多大學的數學系裡都有中國人任教，特別是在美國，中國數學家還在大多數名校佔有重要教職。在許多高水平的國際學術會議上都能見到作特邀報告的中國學者。在重要的數學期刊上，不僅中國人的論著屢見不鮮，而且在引文中，中國人的名字亦頻頻出現。在一些有影響的國際獎項中，中國人也開始嶄露頭角。

這一切表明，我國的數學研究水平比過去有了很大提高，與世界先進水平的差距明顯地縮小了，在許多重要分支上都湧現出了一批優秀的成果和學術帶頭人。中國人在國際數學界的地位空前提高了。

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