從簡單不等式的證題規律談數學的簡單推廣

（許興華數學）

首先，筆者聲明：本文屬於數學科普知識文章（或者高考數學輔導文章），不屬於「數學競賽輔導」，所以難度不大。因此，數學競賽的高手不必對本文進行大力的「吐槽」或攻擊哦！

昨天，《許興華數學》的文章《從兩個簡單的不等式的證明略談數學思考方法》上面，我們給出了下面兩個簡單不等式的證明：

此文在昨天的今日頭條發表後，收到了很多數學愛好者的熱議。現在我們就這兩個題目來進一步發揮與拓展一下，讓同學們從中稍微領略一下數學方法的「奇異美」及「規律美」！

【題1】除了上文中的證明方法以外，其實，還可以有以下的思考方法：

現在，我們提出疑問：能否將以上結論變為三個變數a、b、c的情形呢？

也就是說，以下結論是否成立？

其實，用上面的【法3】的方法，很容易證明這個問題。

【證法1】令f(a)=bca-a-b-c=(bc-1)a-(b+c),

因為a、b、c都是不小於3的正數,所以以a為自變數的函數f(a)在給定的區間內是增函數，故

好了，有了以上的證明，我們可以想像一下：能否進一步把以上結論推廣為n個正數的情形呢？也就是說，以下 結論是否成立？如何否定它或者證明它呢？

上面的結論也是正確的，用「數學歸納法」可以證明：

【證明】(數學歸納法).

(1)當n=2時,由上面可知,命題成立;

(2)假設n=k(k為不小於2的整數)時不等式成立,即

則n=k+1時，(注意到每個ai都不小於2，並利用【題1】的結論ab>=a+b)

即n=k+1時不等式也成立,

綜合（1）（2）知，原命題成立。

上面的【題2】的另外的證明方法：

【證明】

當然，本題也還可以用「柯西不等式」來證明。

大家可以探索一下：【題2】的一般規律是什麼呢？下面我們逐層展開：

親，從上面的方法中，你是否深深體會到數學思想方法與推理方法的「奇異美」和「規律美」了呢？

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