這個充滿魔性的學科：我的想像力被拓撲到四維空間去了
越想
越魔性
各位模友
請準備好你的想像力
拓撲學是一門很有魔性的學科，如果問我拓撲學對於我有什麼用，我會說「一、很好玩，二、幫我理解了四維圖形。
今天小編想說的，是我怎麼通過拓撲學理解四維空間的。實際上作為愚蠢的人類，我還是想像不出四維空間到底是個什麼樣。
拓撲學是一門與幾何非常相關的學科，而且，在某些問題上，拓撲學表現出超乎尋常的魔性。咱們從幾個拓撲學問題入手吧。
問題1：在一個輪胎的表面上打一個洞。能否通過連續變換，把這個輪胎的內表面翻到外面來？
問題2：能否把左圖連續地變形為右圖？
答案是：都可以！
問題1
首先，作出如下圖所示的連續變換。可以看到，一個表面有洞的輪胎本質上等於兩個粘在一起的紙圈！不過，注意紙圈 1 和紙圈 2 的地位不太一樣：一個是白色的面（即最初輪胎的內表面）沖外，一個是陰影面（即最初輪胎的外表面）沖外。現在，把紙圈 2 當成原來的紙圈 1 ，把紙圈 1 當成原來的紙圈 2 ，倒著把它們變回輪胎形，輪胎的內外表面也就顛倒過來了。
有趣的是，把輪胎的內表面翻出來之後，輪胎上的「經線」和「緯線」（姑且這麼叫吧）也將會顛倒過來：
Wikipedia 上有一個巨帥無比的動畫，直接展示出了把一個圓環面的內表面翻到外面來的過程。此動畫看著非常上癮，小心一看就是 10 分鐘！
問題2
答案是可以的。首先，作出如下圖所示的連續變換，於是就變成了問題 1 中的圖 (a) 。再利用問題 1 的辦法，即可變出我們想要的形狀來。
在拓撲學中，只要兩個物體，他們的連著的東西數量沒變，變換的時候沒有割開兩三塊，就是拓撲等價、拓撲變換。
舉個栗子
這意味著，假如人類的身體可以像橡膠人一樣任意變形，那麼用兩手的拇指和食指做成兩個套著的圓環之後，我們可以不放開手指，把圓環給解開來。 Algorithmic and Computer Methods for Three-Manifolds 一書里畫了一張非常漂亮的示意圖：
啥叫拓撲等價？ 拓撲變換？
在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
直白的說，就是只要是連著的東西數目、穿的孔數目不變，就是拓撲等價的，正方體四面體球體統統是拓撲等價的！（有一個穿孔的正方體跟有一個穿孔的棍子也是拓撲等價的）
只要不把原來的東西割開分離，就是拓撲變換。 拿上面的人做栗子，如果把他的手腕割開一圈，就不是拓撲變換。
比如說下面這些東西都是拓撲等價的
（那支鉛筆不算！）
跟四維空間的一毛錢關係
關於四維空間，小編是通過這兩張圖頓悟的，其實主要是類比和融會貫通。現在我在興緻勃勃地研究四維空間里的拓撲性質。
這張圖實際上是圍成這個圈的曲面繞著包圍的空間旋轉一周的情景！
因為是拓撲變換，所以實際上旋轉過後圍著的空間沒有改變！
這可以說是三位維空間的拓撲變換。
（注，上面這張圖主要表現面，請關注面包住的體積，我沒找到圖）
這是四維正方體旋轉的情形，實際上就是圍成這個四維圖形的正方體繞著他包圍的四維空間旋轉一周的情形！（我們的肉眼看到其實是投影）
這可以說是四維空間的拓撲變換。
有點感覺了嗎？
小編最初對四維空間的了解來自這張圖
我來解釋一下：其實上面這張圖裡的東西都不能很好解釋。
從一維空間到四維空間
假如我們以點作為空間的基本元素，那麼在二維空間里，至少兩個點規定了一個二維空間範圍，就是直線（曲線）。
至少三個直線（或曲線閉合）就規定了一個面（曲面）。
至少四個面（或曲面閉合），就規定了一個體。
那麼，至少五個體（或體閉合），就成了個超體。
在機器學習中，有個概念叫超平面，可以從這裡理解下，小編理解那個理解了很久
都是投影
實際上，在平面上看到的三維圖形和四維圖形都是二維投影（比如此時您在手機上看的都是投影）
二維圖形映射在二維圖形上能保留原來的形態（拓撲等價，不過大小可能變了）
三點陣圖形映射到二維平面上就只能通過透視效果感受了，你看到的是一個映像。
四維圖形映射到三位空間只能是這樣了（抱歉，我們沒有全息投影服務，這個圖形也是通過二維表現三維，不過您還是能想像出來的）
我曾經盯著這張圖發了整節課呆
關於拓撲和空間
小編又想起這張圖了。。。。
你可以把這個看作莫比烏斯環的三維推廣。
我決定了，我一定要跪著走完莫比烏斯環。
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資料來源於網路
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