不要忽視反比例函數圖象另一支的存在

在反比例函數和一次函數綜合應用題中，有一種題型是：一次函數和反比例函數圖像的一支相交於兩點，而題目給出的圖形沒有畫出反比例函數圖像的另一支，致使學生和有的教師容易忽視反比例函數圖像另一支的存在，從而造成解題答案不周全的錯誤．

例1(中考·瀋陽)如圖1所示，已知直線與軸、軸分別交於點、，與雙曲線分別交於點、，且點坐標為.

（1）分別求直線與雙曲線的解析式；

（2）求出點的坐標；

（3）利用圖像直接寫出當在什麼範圍內取何值時，.

解答過程略，看看題目給出的參考答案吧：

【答案】（1）直線：雙曲線：；（2）；（3）

對於答案（1）、（2），筆者沒有異議，但是第（3）小題所給出的答案，筆者不敢苟同，個人認為是顯而易見的錯誤，筆者徵求了本校部分數學教師的意見，大家一致認為，第（3）小題的答案存在考慮問題不全面性的錯誤。

【錯誤原因】 在圖1中標出與交點、的橫坐標，由於要求，所以、的在軸上的橫坐標標記為空心（如圖1）；又因，對於而言，，所以在軸上的原點處也標記為空心（如圖1），可以看出，此時的軸被、兩點的橫坐標和原點O分成了四個範圍，從左向右依次是：，，，，依次觀察在這四個範圍中，的圖象在上方的很顯然的有，可是圖1中圖像在第四象限的一支沒有畫出來，但它確確實實存在，所以的圖象在上方的取值範圍還隱含了一個，也正是這個「隱藏」的答案，往往容易被學生和少部分教師所忽視。而且筆者發現，當一次函數和反比例函數圖像相交於兩點時，這兩個符合條件的取值範圍總是不能連續的，它們之間總是被一個不符合題意的取值範圍所隔開。

【變式】有的出題者為了把這類題目難度降低，將例1中雙曲線後面添加的條件改成，這樣再配合圖1，就將雙曲線圖像限制在第二象限的一支了，那麼例1的第（3）小題的答案又另當別論了。

多年來，筆者在講述這個內容時，注重對這個易錯點的提醒，加強對這個知識點的訓練。大部分學生掌握的較好，但是總有少部分學生在檢測時遇到此類題目還是容易出錯。筆者認為這個易錯點可以算是個難點吧。

例2（中考·河南，圖文有刪減）如圖2，直線與反比例函數的圖像交於兩點.

（1）求的值；

（2）直接寫出時的取值範圍.

【參考答案】（1）由題意知.

反比例函數的解析式為.

又在的圖像上，

直線過兩點，

解得的取值範圍是

【分析】對於例2所提供的第（2）小題的參考答案，筆者仍然持反對意見，它所犯錯誤與例1相同。筆者認為：從圖2中看出，反比例函數的一支位於第一象限，則必有另一支位於第三象限，只是題目沒有畫出來而已；直線與反比例函數的圖像的兩個交點的橫坐標和原點把軸分成了四個範圍，從左向右依次是：，，，；例2的第（2）小題要求，可變形為，即要求直線的圖像在反比例函數的圖像的上方。綜合以上分析，由圖2的圖象可知：當或時，

筆者基於以上兩次在書籍和報刊上遇到同類問題，加之學生和少數教師在這個問題上也易出錯，所以才提筆促成此文。

順便說一下，有少量老師可能會拿題目中的「如圖」二字與筆者反駁，筆者認為，「如圖」二字只能反映反比例函數圖像的一支位於的象限，它不能說明反比例函數圖像只有一支。

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