產生任意三維摺紙結構的摺疊模式

在一個1999年的論文中，Erik Demaine——現在的麻省理工學院電子工程和計算機科學教授，那時的滑鐵盧大學博士研究生，描述了一種能決定如何將一張紙折為任何可想像到的三維形狀的方法。

在計算摺紙研究領域那是一篇劃時代的論文，但這種方法並沒有得出非常實用的摺疊模式。本質上，這需要非常長的一條紙帶，將其做成期望的形狀。得到的結構一般會有大量的縫合處，所以並不是很牢固。

credit: 煎蛋畫師BC

在7月舉行的計算幾何學討論會上， Demaine和東京大學的Tomohiro Tachi將宣布由這篇論文衍生出來的完全版本：一個通用的摺疊摺紙形狀的方法，保證了最少的縫合線。

Demaine說道：「在1999年，我們證實你可以折出任意多面體，但我們演示的方法卻非常低效。如果最開始的紙非常細長那麼是高效的。但如果從一張方形紙開始，那麼以前的那個方法基本上會將這張方形紙折為薄薄的紙帶，浪費大部分材料。新的研究成果保證更加高效。在如何折成多面體方面使用的是完全不同的策略。」

Demaine和Tachi正在實現這一演算法，開發新版本的軟體 Origamizer。這是一個免費軟體，能產生摺紙摺痕模式，最初版本由Tachi在2008年放出。

保持邊界

研究者的方法為產生任意多面體設計了摺痕模式，即由很多平坦表面塊構成的三維表面。比如計算機圖形軟體就把三維物體建模為由大量微小三角形組成的多面體。Demaine解釋道：「利用大量的小型扁平表面塊就可近似任意彎曲形狀。」

從技術上講，新的摺疊技術會得到最少的縫合線這一保證意味著這能保留原始摺紙的「邊界」。例如，假設你有一張圓形的紙，想把它折為一個杯子。那麼你可以在紙張中心留下一個較小的圓，然後把周邊束攏到一起形成褶皺的杯子。實際上，某些水冷卻杯子就是按照這種設計加工出來的。

在這種情況下，杯子的邊界——邊緣就與未摺疊圓的一樣了，即外邊緣。但Demaine和他的同事早先的方法得到的產物卻不是這樣的。早先的方法中，杯子會由一條薄紙帶像纏線圈那樣一圈一圈纏出來，並且可能無法盛水。

Demaine說道：「新方法會給你更好更實際的摺疊方法。我們不知道如何從數學上進行精確量化，但實際看起來的效果就是好得多。不過我們也有能明顯區分兩種方法的數學性質。新方法會將原始摺紙的邊界保持為你試圖折成的表面的邊界。我們將這稱為水密性。」

一個封閉曲面，比如球體，沒有邊界，所以這種曲面的近似就會要求邊界相接之處需要縫合。「但使用者能選擇在哪個地方設置這個邊界。你無法得到一個水密性的完全封閉曲面，因為某處必然會存在邊界，但你可以選擇邊界的位置。」

點火

這一方法最開始將目標多面體的表面塊繪製到扁平表面上。雖然當摺疊完成時這些表面塊會相互接觸，但在平坦表面上時相互之間可能相距很遠。「把所有多餘材料都摺疊起來，將多面體的表面塊結合到一起。」

將多餘材料摺疊起來是一個非常複雜的過程。將幾個表面塊摺合到一起可能會涉及數十個甚至上百個單獨的摺痕。

設計一種自動計算這些摺痕模式的方法需要大量不同的見解，但最中心的一個是他們可以由沃羅諾伊圖近似。為了理解這個概念，想像一個草原。有很多地方都同時著火，並且都以相同的速度向所有方向蔓延。以19世紀烏克蘭數學家Gyorgy Voronoi而命名的沃羅諾伊圖描述了起火的地點和火勢相接的邊界。在Demaine和Tachi的方法中，沃羅諾伊圖的邊界就定義了摺紙的摺痕。

Demaine說道：「在我們的設置中必須稍微變形一下。我們還想像在多面體的整個多邊形中同時點火，並且火勢從那裡出發。但這一概念很有用。挑戰在於在哪裡點火才能使得到的沃羅諾伊圖具有我們想要的所有性質。」

完成探索

計算機摺紙的先驅之一、美國數學協會成員、在2001年放棄光學工程方面的成功事業轉為全職摺紙愛好者的Robert Lang說道：「好厲害。這完成了我20多年前開始的追求：將一張紙有效折為任意形狀的計算方法。在這個追求的途中，也出現了幾種能解決一部分問題的方法：能折任何形狀，但並不高效；有效折為特定類別的形狀如樹形形狀，但並不形成曲面；能折為樹形和曲面形，但並不是所有形狀。但這個方法覆蓋了一切！這個方法驚人的複雜，但這是由其綜合性引起的。這真正涵蓋了所有可能性。並且這還不僅是一個抽象的證明，而是計算上可實現的。」

本文譯自 techxplore，由譯者 CliffBao 基於創作共用協議(BY-NC)發布。

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