數學家的墓碑

阿基米德

這位數學全才生前的最後一句話響徹寰宇：「不要踩壞我的圓！」他的墓碑上面也正是遵照他早已明確的意思，刻著一個「圓柱容球」的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊。在該圖形中，球的體積是圓柱體積的2/3，並且球的表面積也是圓柱表面積的2/3，這是阿基米德最為滿意的一個數學發現。據說也是靠這個圖形識別出阿基米德之墓。

阿基米德之墓

阿基米德完善並發展了前人提出的「窮竭法」，窮竭法由古希臘的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究「化圓為方」問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積「窮竭」圓面積的思想。後來，古希臘數學家歐多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改進，將其定義為：在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重複這個過程，可以使剩下的量變得任意小。阿基米德進一步改進這種方法後，將其應用到對曲線、曲面以及不規則體的體積的研究和討論上，為現代積分學打開了一道隱隱的門。

他的著作《論球和圓柱》全篇以窮竭法為基礎，證明了許多的相關定理。其中命題 34 的陳述是：任一球的體積等於一圓錐體積的4倍，該圓錐以球的大圓為底，高為球的半徑。實際上，他的墓志銘就是這個命題的推論。

這個精力旺盛而長壽的天才還通過使用圓外接正多邊形和圓內接正多邊形逼近圓周率的真實值，他最終使用到了九十六邊形（因為 96 = 2 5 * 3 ，稍後我們會在後面發現這個多邊形正巧是可以通過尺規作圖做出來的），得到π的真實值在 3.14163 和 3.14286 之間。

丟番圖

丟番圖的出生日期不可考，但其墓碑上有一道數學題：

過路的人！

這兒埋葬著丟番圖。

請計算下列數目，

便可知他一生經過了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，

十二分之一是無憂無慮的少年。

再過去七分之一的年程，

他建立了幸福的家庭。

五年後兒子出生，

不料兒子竟先其父四年而終，

只活到父親歲數的一半。

晚年喪子老人真可憐，

悲痛之中度過了風燭殘年。

請你算一算，丟番活到多大，

才和死神見面？」

請你算一算，丟番圖到底活到多少歲？

解：設丟番x歲。

答：丟番圖的壽命為84歲。

古希臘的大數學家丟番圖（246—330），大約生活於公元246年到公元330年之間，距現在有二千年左右了。他對代數學的發展做出過巨大貢獻。

丟番圖被譽為代數學之父，著有《算術》一書，他對一次方程和二次方程做了深入的研究，其中還包括大量的不定方程。在現代，對於整數係數的不定方程，如果只考慮其整數解，那就把這類方程叫做丟番圖方程——因為這基本上正是丟番圖當年所研究的內容。古希臘數學家們崇尚幾何，認為所有的代數問題只有在一個幾何背景下才有意義。丟番圖將代數解放了出來，使之成為獨立的學科，而且引入了未知數的概念——他的墓志銘就是一道經典的解方程的題目。而那段話既是丟番圖一生僅有的傳記，也是對他一生成就的最高概括和褒獎。

丟番圖的工作在後人的努力下，得到了極大的擴充和發展。 20 世紀最牛數學家希爾伯特在 1900 年數學家大會上提出了 23 個著名的問題，其中的第十個就與丟番圖方程密切相關。

一個方程最基本的特徵之一就是它是否有解，丟番圖方程也不例外。例如經典的勾股定理對應的丟番圖方程：

就是有整數解的，而且有無窮多組解。而與此很像的是費馬大定理方程：

就不存在非平凡的整數解。

兩個長得如此之像的丟番圖方程結果居然完全不同，歷代數學家經過數百年的探索後，最終使用了當年的費馬不敢想像的數學工具才艱難地得以證明。在人們解決費馬大定理之前，希爾伯特提出了他的第十個問題：是否存在一種只有有限步驟的方法，使得我們能夠判斷任意一個丟番圖方程的可解性？

如果存在這樣的辦法，那對費馬大定理的證明就變成了很平凡的步驟，許許多多的數學問題也能巧妙地轉化成一個丟番圖方程進行解答了。因此，這個問題就相當於是在尋找數學中的一個「通法」，如果能找到，那麼全世界所有數學家都會去研究丟番圖方程和自己的研究領域的關係了，世界將是多麼的美好。然而，並不完美的世界還是給了我們一個不完美的答案。 1970 年，前蘇聯數學家 馬季亞謝維奇 給出了否定的答案，也就是說，不能在有限步內判斷任意丟番圖方程是否有解，更進一步地，我們甚至可以構造出一個無法證明其是否可解的丟番圖方程！實際上，數學家們在 1900 年對這個問題沒有任何的概念，直到在圖靈提出了他著名的 停機問題 後才對此有了初步的認識，在此之後，數理邏輯和計算機得到大力發展，最終解決了許多重大難題，丟番圖方程的不可解性就是其中之一。丟番圖先生當年做這些研究，可能想不到他手下的這些式子會延伸出如此多的奇妙變化吧。

魯道夫之墓

魯道夫·范·科伊倫（Ludolph van Ceulen,1540—1610）在 1600 年成為荷蘭萊頓大學的第一位數學教授，但其把主要精力全都放在了求解圓周率的更精確的值上。他選擇了簡單而繁瑣的阿基米德式方法對圓周率進行逼近，最後得到墓碑上結果，使用的多邊形達到262 條邊，把圓周率算到小數後35位，是當時世界上最精確的圓周率數值。對於這位數學家來說，一個數字足以給他的生命無與倫比的光環和榮耀。

π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88

是的，他墓碑上的主要內容就是一個 π 的精確到小數點後 35 位近似值——實際上，他這輩子的大部分時間都在算這個數字！

看來把一件事情做到極致，那就是偉大。魯道夫的這種精神無疑讓很多人佩服，以至於圓周率在德國被稱為魯道夫數。到今天，人們已經把魯道夫先生的工作向前推進了很多很多，計算圓周率也已經成為了考察計算機運算能力的一個方式。作為在這個道路上跨出堅實一步的人，魯道夫先生一定也含笑九泉的吧。

笛卡兒

中間那塊是笛卡兒的墓碑

笛卡爾安眠在聖日耳曼-德-普萊教堂，是巴黎最古老的教堂。笛卡爾的著作在生前被禁，其骨灰在死後一百多年才被遷葬到這座教堂。歷史上偉大的思想者常常是在死後才得到他應有的尊敬。

這種螺旋線是一種在自然界貝殼、動物（蜘蛛網）的角和花朵（向日葵的種子盤）常見的基本圖案。

等角螺旋線的作法如下：

以「斐波那契數」為邊長畫出一組正方形，由於數列中每項都是前二項之和，所以不論你停留在哪個斐波那契數，這些正方形都恰能轉著圈地碼成一個嚴絲合縫的「斐波那契矩形」：再連接著每個正方形的對角畫出四分之一圓周——螺殼就這樣誕生了。 等角螺線是自我相似的；這即是說，等角螺線經放大後可與原圖完全相同。

幾何學，這研究空間的和諧的科學幾乎統治著自然界的一切。在鐵杉果的鱗片的排列中以及蛛網的線條排列中，我們能找到它；在蝸牛的螺線中，我們能找到它；在行星的軌道上，我們也能找到它，它無處不在，無時不在，在原子的世界裡，在廣大的宇宙中，它的足跡遍布天下。

等角螺線是由笛卡兒在1683年發現的。雅各布．伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。

牛頓

牛頓之墓

牛頓之墓碑

牛頓之墓位於威斯敏斯特教堂的「科學家之角」。墓碑由威廉·肯特(1685—1748)設計，麥克爾·賴斯布拉克(1694—1770)雕做，所用材料為灰白相間的理石。石棺上鑲有圖板，描繪的是一群男孩在使用牛頓的數學儀器。石棺上方為牛頓斜卧姿態的塑像，他的右肘支靠處，繪列著他為人熟知的幾項創舉。他的左手指向一幅由兩個男孩持握的捲軸，卷面展解著一項數學設計。背景雕塑是一個圓球，球上畫有黃道十二宮和相關星座，還描繪著出現於1680年那顆彗星的運行軌跡。墓碑上的拉丁銘文為：

此地安葬的是艾撒克·牛頓勛爵，他用近乎神聖的心智和獨具特色的數學原則，探索出行星的運動和形狀、彗星的軌跡、海洋的潮汐、光線的不同譜調和由此而產生的其他學者以前所未能想像到的顏色的特性。以他在研究自然、古物和聖經中的勤奮、聰明和虔誠，他依據自己的哲學證明了至尊上帝的萬能，並以其個人的方式表述了福音書的簡明至理。人們為此欣喜：人類歷史上曾出現如此輝煌的榮耀。他生於1642年12月25日，卒於1726/7年3月20日。

雅各布

雅各布之墓

雅各布·伯努利就對等角螺線進行了許多研究，發現等角曲線在反演、求漸屈線、求垂足曲線、等比例放大等等變換後仍然是原先的等角曲線。對於這些性質伯努利感到十分驚訝，決定把等角曲線作為自己的墓志銘，還加上一句雙關語「Eadem mutata resurgo。」（我雖然變了，但卻和原來一樣）但為他雕刻墓碑的工匠也許是數學水平不高，也許就是嫌麻煩，最後給墓碑上雕刻的圖竟是毫不相關的阿基米德螺線。伯努利若九泉有知，怕是死不瞑目了。

高斯

高斯的墓碑樸實無華，僅鐫刻「高斯」二字。為紀念高斯，其故鄉布倫瑞克改名為高斯堡。哥廷根大學立了一個正十七稜柱為底座的紀念像。在慕尼黑博物館懸掛的高斯畫像上有這樣一首題詩：他的思想深入數學、空間、大自然的奧秘，他測量了星星的路徑、地球的形狀和自然力，他推動了數學的進展，直到下個世紀。

高斯（1777—1855），德國著名數學家。他研究的內容涉及數學的各個領域，是歷史上最偉大的數學家之一，被譽為「數學王子」。

在高斯十歲時，老師考了那道著名的「從一加到一百」：200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：

1+2+3+……+100=？

這時，其他同學正在埋頭苦算，10歲的高斯卻用下面的辦法迅速算出正確答案：

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050.

實際上解決了求等差數列前100項的和的問題

在他18歲時就有了堪稱數學史上最驚人的發現：他用代數方法得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件．解決了兩千年來懸而未決的難題：使用直尺和圓規作圓內接正十七邊形的方法。他為此而特別高興，並決定一生研究數學。

有趣的是，高斯不僅給出了做法，還證明了能夠通過尺規作圖做出的正多邊形需要滿足的條件是邊數目必須是 2 的非負整數次方和不同的費馬素數的積。這個費馬素數是什麼呢？

費馬是一個擁有著大師水準的業餘數學家，提出過許多的猜想和定理，很多都在他死後被證明是正確的，而「費馬素數」卻是他為數不多跌了跟頭的地方。費馬在 1640 年提出，所有的形如

的數字都是素數。這個數列的前 5 個數的值分別是 3, 5, 17, 257 和 65537 ——確實都是素數，看起來費馬先生要贏了。但歐拉卻指出 F( 5 ) = 641×6700417 不是一個素數，後來隨著計算機技術的發展，大家從 F( 5 ) 開始就再也沒有找到素數了。但誰也想不到的是，費馬的這個失誤意外地和尺規作圖聯繫到了一起。

根據高斯的結論，正多邊形邊數只有在 K = 2 n × ( 2 ?m + 1 ) ，其中 n，m= 0，1，2，… 時才能通過尺規畫出來。將正 n 邊形的每一條邊對應的圓弧二等分，我們可以輕易地做出正 2n 邊形。因此，「正 F( m ) 邊形」可以說是產生所有這些可被作圖正多邊形的「因子」。這是一個延綿了兩千多年的尺規作圖難題，較其同類們十分幸運地在高斯手中得到了一個肯定的回答。在高斯之後，也有人陸續給出了正 257 邊形和正 65537 邊形的尺規作圖過程。其中正 65537 邊形的作圖過程十分繁瑣，單單做圖方法的計算手稿就有 200 頁，完整的過程更是裝滿了一個皮箱，現在被收藏於高斯的母校哥廷根大學。在 這裡 我們可以圍觀維基百科上的正 65537 邊形（ 需要SVG Viewer等軟體 ）。

高斯去世後，按照他的意願，在他的墓碑上刻了一個正十七邊形，以紀念他少年時最重要的發現。

陳省身

陳省身之墓

陳省身的墓碑由兩塊石頭組成，一塊是漢白玉，另一塊是貼在白色漢白玉上的黑色花崗岩。墓碑整體橫截面為曲邊三角形，象徵數學史上著名的高斯－邦內－陳（Gauss-Bonnet-Chern）公式的最簡單的情形。墓碑的正面猶如一塊黑板，上半部寫有數學符號和公式，那是墓碑的主人之一國際數學大師陳省身先生在美國任教時手書講義中的高斯－邦內－陳公式，整個素樸的墓園猶如一個開放的露天教室，隨時歡迎人們來這裡自由自在地辯論。

陳省身生於1911年，漢族，美籍華人，國際數學大師、著名教育家、中國科學院外籍院士，「走進美妙的數學花園」創始人，20世紀世界級的幾何學家, 是第一位獲得數學界最高榮譽「沃爾夫數學獎」的華人，被國際數學界譽為「微分幾何之父」。少年時代即顯露數學才華，在其數學生涯中，幾經抉擇，努力攀登，終成輝煌。他在整體微分幾何上的卓越貢獻，影響了整個數學的發展，被楊振寧譽為繼歐幾里德、高斯、黎曼、嘉當之後又一里程碑式的人物。曾先後主持、創辦了三大數學研究所，造就了一批世界知名的數學家。

他本人也獲得了許多榮譽和獎勵，例如1975年獲美國總統頒發的美國國家科學獎，1983年獲美國數學會「全體成就」靳蒂爾獎，1984年獲沃爾夫獎．2004年11月2日，經國際天文學聯合會下屬的小天體命名委員會討論通過，國際小行星中心正式發布第52733號《小行星公報》通知國際社會，將一顆永久編號為1998CS2號的小行星命名為「陳省身星」，以表彰他的貢獻。2009年６月２日電國際數學聯盟及陳省身獎基金會２日在香港宣布成立全球數學大獎「陳省身獎」，以表彰終身成就卓越的數學家，並紀念已故國際數學泰斗陳省身教授。獲獎者除獲得獎章外，還將得到50萬美元獎金。

陳省身的外孫、建築師朱俊傑為他設計的墓地樸素簡潔。「黑板」為墓碑，公式為墓誌。「黑板」上以白字刻著陳省身當年證明高斯邦內公式的手跡，正是這項工作使他開創了數學的新時代。陳省身葬在河邊一處綠樹掩映的斜坡上。高2.1米的墓碑是一面凹、一面凸、一面平的三面體，近似於陳省身代表性論文中的幾何圖案。正面以黑色花崗岩為「黑板」，上部為數學公式，下部刻著陳省身夫婦的姓名，此外別無他物。這是為了體現數學家「簡樸的生平」。陳省身喜歡黑板，九旬高齡時仍為南開學生開課講授「數學之美」。他多次表示，自己願與夫人鄭士寧合葬在南開校園，喪事從簡，不要墳頭，不立墓碑，墓前栽上幾株小樹，再掛一面黑板，供人演算數學。

來源：徐傳勝科學網博客，人教網董雄傑《數學家的墓碑和墓志銘》，果殼網嚴酷的魔王作品

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2017年8月18—8月20日 深圳

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