用數學的語言觀察與思考

在這個瞬息萬變的世界中，自主思考的能力必不可少。歐洲有「七藝」（Liberal Arts）的教育傳統，Liberal 原指「自由」，即「永不為奴」的意思。也就是說，Liberal Arts 是一種讓人自主掌握命運、成為自由之人的素養。不管是成為領導者之時，還是面臨預想之外的問題之時，都必須鍛煉自主思考解決問題的能力。在古羅馬時期，「七藝」為邏輯、語法、修辭、音樂、天文，還有算術和幾何。最開始的三項是為了磨鍊「論證」的語言技術，我認為這三項排在前面，是因為它們是語言成形的必要條件，只有學會使用語言，才能獲得思考的能力。

「七藝」之中的「算術」和「幾何」都屬於數學領域，我覺得很有趣。通常情況下，大家會認為語言領域的文學或外國語言文學屬於文科，數學屬於理科，但我認為數學是和語言學習一樣的東西。數學可以精準地描述事物，這種描述能力超越了英語、日語等自然語言的表現能力。所以如果理解數學，就能看到那些無形、不可見的東西，想出從未想到過的新創意。

——世界知名理論物理大家，大栗博司

這是我們所有人期待掌握的技能。先來看幾段文字，感受一下數學在生活中的應用。

辛普森審判

1994 年年在美國洛杉磯發生了歐·傑·辛普森謀殺案，知名橄欖球運動員辛普森的前妻妮科爾·布朗及其友人羅納德·古德曼被發現死於高曼的寓所外，辛普森被懷疑是殺害兩人的兇手。辛普森退役後以演員和喜劇演員的身份參加各類活動，並且深受人們喜愛。因此，這個案件在當時備受關注。來自美國各地的律師們組成了辛普森的辯護團，被人們稱為「夢之隊」。另一方面，檢察院也召集了最精明能幹的檢察官。甚至電視上還直播了這場「世紀審判」的審判情況。

檢察院提交了辛普森常年對布朗施暴的證據，試圖用家庭暴力證明其有殺人嫌疑。然而，辯護團中的一名律師、哈佛大學法學院的艾倫·德肖維茨教授引用了美國聯邦調查局的一個犯罪統計，即虐待妻子的2500 名丈夫中只有1 人殺害了自己的妻子，並且主張應該忽略家庭暴力這個證據。結果檢察院無力反駁，最終無法讓陪審員信服辛普森的施暴行為造成了殺人行為。但是，德肖維茨教授的主張純屬詭辯，完全可以用數學語言駁倒。

刑事審判追究的是有罪的「概率」。除非親眼看見犯罪，否則就不能百分之百地斷定有罪。檢察院的工作就是要證明無罪的概率極小，法律術語叫作「排除合理懷疑，判定有罪」。至於多小的概率才能排除合理懷疑，這是一道數學無法判斷的主觀問題。法官和陪審員的職責正是對此作出判斷。但是概率能用數字表達懷疑的程度，並通過這個數字來判斷是否存在合理懷疑。這就是數學的力量。用概率來講，德肖維茨教授的主張是有家庭暴力的丈夫殺害妻子的概率是1/2500，因為這個概率極小，所以作為證據並無意義。法官和陪審員在作判斷時，必須將所有相關信息考慮在內。實際上，德肖維茨教授忽略了一個重要的信息，即「妮科爾·布朗已經被殺害了」。如果把這個條件加進去的話，概率計算會出現完全不同的結果。

辯護團的德肖維茨教授主張有家庭暴力的丈夫殺害妻子的概率為1/2500，因為這個數字太小，所以作為證據提交並沒有意義。換言之，

但是，辛普森審判中最重要的問題是「有家庭暴力，而且妻子遇害時，丈夫殺害妻子的概率」。

據說在美國，已婚女性被丈夫以外的人殺害的概率為20 000 人中有1 個人。假設受到家庭暴力的妻子為100 000 人，其中有5 人遇害的原因與家庭暴力無關。另一方面，受到家庭暴力的妻子被丈夫殺害的概率為1/2500，即100 000 人有40 人被丈夫殺害。遇害的妻子總共為40 + 5 = 45 人，其中被丈夫殺害的妻子為40 人，所以受到家庭暴力的妻子被殺害時，丈夫是犯人的概率為

也就是說，只要能夠證明辛普森有家庭暴力，他殺害布朗的概率為90%。提出這個概率的話，想必就不能「排除合理懷疑」了。所以，顯然這是一個重要的證據。90% 的概率也足以用來反駁德肖維茨教授的主張。這就是數學的力量。

事件發生時兇手所使用的黑色皮手套最終決定了審判結果。在辛普森家中發現的手套中沾有兩人血液以及布朗的金色髮絲，同時還檢驗出了辛普森的DNA。檢察院提交了作為證物的手套，但是他們致命的失敗在於要求辛普森戴上手套。因為沾有血跡的皮手套收縮了一些，所以辛普森的大手難以戴上。而且，後來媒體曝光出發現這個皮手套的警官是一名種族歧視者，辯護團主張這位警官有可能捏造證據誣陷黑人辛普森。由於警方草率管理證據遭到曝光，持有合理懷疑的陪審員們討論後一致決定辛普森無罪。雖然數學起了一定的作用，但是僅靠數學也不一定能贏得審判。

純粹數學的精華

數學家弗蘭克·納爾遜·柯爾出生於1861 年，曾在哥倫比亞大學執教並擔任美國數學學會的秘書官長達25 年。退休時，他用收集的捐贈款設立了「柯爾獎」，這也是現在數學界最具權威性的獎項之一。1903 年10 月31 日，柯爾在紐約召開的美國數學學會總會上發表了題為「關於大數字的因數分解」的演講。柯爾用粉筆在會場大黑板的左邊寫下了「2」，接著計算2 的67 次方，用2的67方減去1（下面用代表n次方），得到

2 ? 1 = 147 573 952 589 676 412 927

然後又挪到黑板的右邊，寫下

193 707 721 × 761 838 257 287

在此期間，他一言不發，通過筆算計算出上述乘法運算的結果：

193 707 721 × 761 838 257 287 = 147 573 952 589 676 412 927

經過確認之後，與左邊的2? 1 用等號連接起來。柯爾依舊沉默著放下粉筆，走回座位。原本鴉雀無聲的會場里響起了雷鳴般的掌聲。

柯爾在黑板上寫的數屬於梅森數中的一個。17 世紀的法國數學家馬林·梅森對

做了大量的計算，推斷出在小於257 的自然數n 中，當n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時2 ? 1 是素數。素數指的是除了1 和它本身外，不能被其他自然數整除的數。例如n = 2、3、5、7 時，2 ? 1 = 3、7、31、127，這些數確實都屬於素數。

法國數學家愛德華·盧卡斯通過歷時19 年的筆算，終於在1876年證實了2 ? 1 是素數。這是當時發現的數值最大的素數。直到20世紀中期，人們在計算器的幫助下才發現了更大的素數，在那之前這個記錄一直沒被打破。盧卡斯證實了梅森所推斷的n = 127 時，2 ? 1是素數，同年他還證明了2 ? 1 不是素數。既然不是素數，那麼說明2 ? 1 可以表示為多個數的乘積。不過，盧卡斯所使用的證明方法無法推出這個數是哪些數的乘積。柯爾證明了這個數是193 707 721 和761 838 257 287 的乘積。據說他堅持在每個周日的下午認真計算，最終花了3 年時間終於找到這個分解方法。

研究整數性質的「數論」是純粹數學中的一個特殊存在。例如被譽為人類歷史上最偉大的數學家之一的高斯曾經說過：「數學是科學的女王, 而數論是數學的女王。」另外，19 世紀德國數學界的代表性人物利奧波德·克羅內克也有一句名言：「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作。」

無限世界

1976 年，美國的搖滾樂隊「老鷹樂隊」發行了一張專輯《加州旅館》（Hotel California）。這張專輯的主打歌是將南加州一家虛構的旅館作為故事的發生地。主人公在沙漠公路上駕駛，感覺疲勞的他走進了一家旅館。旅館門口的女服務員帶他穿過走廊時，裡面傳來了說話聲。

歡迎來到加州旅館！加州旅館擁有無窮間客房。您隨時都可以入住。

經理（以下稱為「經」）：歡迎來到加州旅館！我是經理戴維·希爾伯特。本旅館隨時都有空房，因為我們擁有無窮間客房。您看走廊的前方，每間客房都標有房號，1、2、3 · · · 永遠不會停止。您看起來很疲憊！我馬上讓客房部主管為您準備房間。

客房部主管（以下稱為「主」）：經理，請您不要再輕易許諾說有多餘房間了。今天客房已滿，無法為客人辦理入住。

經：你不用擔心，把室內廣播的話筒遞給我。（拿起話筒）「不好意思打擾各位休息了。請1 號房的客人搬到2 號房，2號房的客人搬到3 號房」。

主：1 號房就變成空房了。

經：那麼，就請這位客人入住1 號房。加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：駛來了一輛旅遊大巴，車身貼著「自然數旅行團」的標籤。

經：你數一下來了多少客人。

主：1、2、3 · · ·，怎麼也數不完。貌似所有自然數都來了，總共有無窮位客人。而且客房已滿，如果只來1 位或2 位還可以想想辦法。現在來了無窮位客人，客房肯定不夠了。

經：你不用擔心。又到了室內廣播的時間，「不好意思打擾各位休息了。現在麻煩各位搬到偶數房間。請1 號房的客人搬到2 號房，2 號房的客人搬到4 號房。3 號房的客人搬到6 號房。」

主：1 號房、3 號房、5 號房· · · 等奇數房間全部空出來了。

經：請大巴上的客人按順序入住。第一位客人入住1 號房、第2 為客人入住3 號房、第n 位客人入住(2n ? 1) 號房。這樣一來，就能幫乘坐大巴的所有自然數客人安排房間。加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：經理，又來了好幾輛自然數旅遊大巴。

經：你先數好大巴數。

主：1、2、3 · · · 怎麼也數不完。貌似來了無窮輛大巴。而且，每輛大巴內都坐著無窮位客人。客房肯定不夠了。

經：你不用擔心。按照到達旅館的先後順序給旅遊大巴編號，1、2、3 · · · 再播放與剛才相同的廣播內容。

主：和剛才一樣，奇數房間都空出來了。但是，也只夠一輛旅遊大巴的客人入住。

經：你不用擔心。旅遊大巴里的客人都有2 個號碼，一個是自己乘坐的大巴編號，一個是自己在大巴里的座號。例如，如果是3 號大巴的第5 名乘客，就記作(3, 5)。

主：不過經理，1 號大巴的客人全部入住後，客房就全滿了。

經：像你這樣安排的話當然會住不下。首先，請客人們按我說的排隊。

主：麻煩客人們排一下隊伍。請2 號大巴的客人後退一步，3 號大巴的客人後退2 步。

經：對了，等客人們排好隊後，給他們發放新的號碼牌。

主：請按從前到後，從左到右的順序傳遞號碼牌。

經：這樣一來，每位客人都能拿到號碼牌。然後我們只要按照新的號碼牌安排房間即可。剛才已經請之前入住的客人都搬到偶數房間，所以現在奇數房間都空出來了。那麼，請[1] 號客人入住1 號房，[2] 號客人入住3 號房，[n] 號客人入住(2n ? 1) 號房。

主：即使來了無窮多輛大巴的客人，也能完美地安排他們入住。

經：加州旅館的賣點就是保證您隨時都可以入住。

主：又來了一輛大巴，是有理數旅遊團。

經：你不用擔心。加州旅館隨時都有房間。

主：這次來的客人是分數。

經：所有的分數都來了嗎？

主：是的。僅1 和2 之間的分數就是無窮個，看起來比旅館的房間還要多，能住得下嗎？

經：你不用擔心。剛才拿著大巴編號和座位編號2 個數字的客人都已經順利入住了。

主：是的，給這些客人發放了新的號碼牌，例如(1, 2) 換成[2]，(2, 3) 換成[8]，然後讓他們按照新號碼牌先後辦理了入住。

經：只要把分數看成2 的數對就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，給他發放[2] 號，客人2/3 就是(2, 3)，換成[8]號。然後按照剛才的方法安排他們入住。

主：不過1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 號，而客人2/4 拿到的卻是[8] 號。說起來，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重複的客人太多了。

經：那就把重複的房間空出來。

主：這家旅館太厲害了。分數的客人全部成功入住，而且還有空房。

經：時間不早了，我先去休息了。剩下的就交給你處理了。

主：（原來如此！不管來多少客人，只要給他們分配號碼牌就可以了。如果我能處理好，經理一定會對我刮目相看。客人們快點來吧！）

導遊（以下稱為「導」）：這麼晚還來打攪你們，真是不好意思。我是實數旅行團的導遊。

。

。

。

【注】這段對話是1924 年希爾伯特在哥廷根大學講課時，為說明有限集合和無限集合的區別而使用的例子，被叫作「希爾伯特旅館」。

雖然說這是世界知名理論物理學家大栗博司先生寫給女兒的數學啟蒙書，我讀了讀竟然發現，它極其適合分享給每一位想了解數學的讀者。根據上面分享的內容，你應該能體會這本書有多棒了！

這本書趣味性、知識性兼備。書中以用「數學語言」解讀自然為線索，突破傳統數學教育的順序和教學方式，用歷史事件、生動故事以及比喻直接講解數學核心概念的原理與相關體系，並且講解了把數學作為一門「語言」、用數學探索自然不可見結構的思維方式，是重新認識和理解數學的科普佳作。

來源：本文摘選《用數學的語言看世界》一書 人民郵電出版社

轉自：演算法與數學之美

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