匠人精神：一輩子研究的自行車數學

此文原載於《自然》網站。

譯文作者：radium，哆嗒數學網翻譯組成員。

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Jim Papadopoulos 花了一輩子的時間琢磨自行車運動中蘊含的數學問題，現在他的工作已經發現了新的苗頭。

在波士頓馬薩諸塞州，七輛自行車倚靠在Jim Papadopoulos地下室的牆上，自行車上的油漆被擦掛過，輪胎也是扁的。作為婚禮禮物的手工框架覆蓋著一絲細塵。「在我搬家的時候，我把我大部分作為研究的自行車都扔掉了，」他說。而那些些保留下來的自行車對他來講都是意義非凡的。「這些都是我過去騎的。」

Papadopoulos，62歲，他十分痴迷於自行車，一生中大部分時間都在玩弄自行車，時常忽視掉其他事情。當他還是一個在大學讀書的少年時他就參加業餘比賽，他深陷於其中的樂趣。每一次在騎自行車時，他都在考慮自行車中蘊含的數學奧秘。其中最主要的是：在踩踏板時，到底是什麼看不見的力量使自行車保持平衡？為什麼一開始操縱向右轉自行車會向左方傾斜以及駛向左方？自行車在前進時是怎樣靠自己保持平衡而不依靠騎手？

在紐約的一個叫Ithaca的小鎮上時，作為一個在康奈爾大學的年輕工程師，他十分痴迷於研究這些問題。但是他並沒有發表他的大部分想法，並最終離開了學術界。到20世紀90年代末，他在一家企業操縱機械來製造衛生紙。「最後，如果從來沒有人發現你的工作，那它就是毫無意義的」他說。

但後來有人發現了他的工作。在2003年，他來自康奈爾的老朋友，也是他的合作者-----工程師Andy Ruina，給他打了一通電話。一個叫Arend Schwab的荷蘭科學家來到他的實驗室想重新開始他們這個團隊關於自行車穩定性的研究。

「Jim,你得成為這個團隊的一員。」Ruina對他說。

兩個車輪是合情理的

於是這些研究員們一起繼續破解一個長達世紀之久的爭論：是什麼讓沒有騎手的自行車靠自己保持平衡，並在《皇家學會會議錄》和《科學》上發表。他們試圖給500億美元的全球自行車產業——一個比純數學更加依賴直覺和經驗的產業——帶來新的科學高度。他們的研究成果可能會刺激一些必要的創新，如幫助設計師去創造一個新一代的踏板和電動車，使其乘坐起來更穩定，更安全。通過洞察自行車的原理也有轉移到其它領域的潛力，比如假肢和機器人的研究。

「每個人都知道如何騎自行車，但幾乎沒有人知道我們是怎樣騎自行車的。」一個在加利福利亞大學研究機械學的工程師Mont Hubbard說道，「純粹從智力角度來看，自行車的研究是非常有趣的。但它也有實際意義，因為他影響著身邊的每一個人。」

那些只會用牛頓運動三大定律來完成項目的工程師的理念是過時的，對於一個機械學家來講，自行車難題特別有誘惑力。「我們都被困在19世紀，那時數學、物理和工程之間沒有任何差異」，Ruina說「自行車僅僅是一個數學問題，只是它碰巧和你見到的某樣東西有關而已」。

第一個腳蹬車的專利，也是兩輪自行車的前生，要追溯到1818年。自行車的發展在試驗和錯誤中摸索前行，並在二十世紀初便有了它們今天的模樣。但是幾乎沒有人想過它們是怎樣工作的以及為什麼這樣工作。William Rankine，一個蘇格蘭工程師分析過蒸汽機，在1869年第一個談論』countersteering』現象，即騎手能通過簡單地扭轉手柄向右使自行車向左行駛，並讓自行車向左傾斜。

傾斜和駕駛之間的聯繫產生了自行車最奇怪的特徵：當自行車滑行時可以靠自己平衡。猛推一個沒人騎的自行車時，它會在搖擺中前行，但它通常會恢復它的前進軌跡。在1899年，英國數學家Francis Whipple導出了最早的也是持續時間最長的自行車的數學模型，這個模型可以用來探索自行車的自我穩定的原理。Whipple 模型中的自行車有4個剛體----兩個輪子，騎手的車架和前叉——被兩個軸和鉸鏈通過重力作用。

在自行車運動軌跡模型中插入一個對特定自行車的度量，就像逐幀放映的動畫。一個工程師可以使用一種稱為特徵值分析的技術來研究自行車的穩定性，因為這可能是一個飛機設計問題。1910年，依靠這樣的分析，數學家Felix Klein 和Fritz Noether參照了理論物理學家Arnold Sommerfeld的關於迴轉效應——車輪利用旋轉走勢抵抗傾斜——的貢獻。把自行車向左推這時快速旋轉的前輪將向左轉，自行車有可能保持直立。

1970年4月，化學家以及科普作家David Jones在《今日物理》的一篇文章上駁斥了這個理論。他諷刺道，騎在一系列理論上無法駕駛自行車。Jones 建了一輛在前端有一個反向旋轉車輪的自行車，可以有效地消除迴轉效應。但是在行駛中手不受約束這方面還有點疑問。

這一發現促使他尋找另一種可能存在的力。他對比了自行車的前輪和可以隨著運動方向移動的商場購物車的腳輪。自行車的前輪可以像腳輪一樣，因為車輪與地面之間的接觸點，位於操作軸後面5厘米至10厘米之前的任何地方（見《無人自行車保持直立嗎？》）。這段距離被稱為「前輪尾跡」。Jones發現如果一個自行車有太長的前輪尾跡將穩定到很難前進。然而，如果前輪尾跡是負的，將是一個「死亡陷阱」，他會在你釋放手把的時候的一瞬間讓你翻跟頭。

當一個自行車開始搖搖欲墜，他推斷，腳輪效應使前端在重心下降的情況下轉向，從而保持自行車豎直。對於Jones來說，腳輪的前輪尾跡是自行車自我穩定的唯一解釋。在他40年後出版的回憶錄中，他認為他的這個發現是他的偉大成就之一。「我現在被譽為現代自行車理論之父，」他說。

增速轉動

那篇文章將給一個在Corvallis Oregon的少年Jim Papadopoulos 留下了深刻的印象，他雖然擁有極高的天賦，但他的家庭生活卻支離破碎。在1967年，他的父親Michael,一個來自英國的應用數學家，開始在俄勒岡州立大學工作。但是 Michael Papadopoulos在抗議越南戰爭後被拒絕繼續任期並與該大學進行了長達十年之久的法律紛爭，這使他失去工作和家庭，只能在垃圾桶搜尋廢料。Jim的母親在20世紀70年代初自殺了，「就在我睜開眼看世界並決定我是誰時」 Papadopoulos 說，「我的家庭就支離破碎了。」

他在自行車上找到慰藉。他騎著Peugeot AO8(一款自行車)在城鎮中穿梭，頭髮披在肩上。他沒有再上課，成績也嚴重下滑。在他17歲時，他輟學，離開家。但是就在他放棄研究時，他的老師給了他Jones的一篇文章。

Papadopoulos發現它十分迷人，但又讓人困惑。「我得學習這玩意兒，」他想。他一個夏天都在加利福尼亞州伯克利閒蕩，並在空餘時間閱讀George Arfken的教材《物理學家的數學方法》。然後他在俄勒岡州的Eugene的膠合板廠工作，賺取足夠的錢購買傳奇的Schwinn Paramount牌自行車去參加每周的比賽。在1973年，他為在英國利物浦的框架製造商Harry Quinn工作，但他幹得糟糕，Harry Quinn辭退了他。

Papadopoulos於1975年返回俄勒岡，在州立大學度過了一年，然後在劍橋的麻省理工學院（MIT）開始機械工程本科的學習。他在學校乾的很好。石油公司艾克森後來支持他繼續在斷裂力學上攻讀博士學位。Michael Cleary作為Papadopoulos的顧問，認為他很適合做學術。「我認為Jim將會成為一名大學教授-------我們當然希望它會在麻省理工學院」，他告訴來自艾克森公司內部雜誌的一位作家。

Papadopoulos 有其他的想法，他一直在學習Whipple模型和Jones的文章。在一個夏天，他在加利福利亞州洛帕克的美國地質調查局實習，也是在那裡，他遇到了Andy Ruina。

他們兩個很快就成了朋友，當Ruina在康奈爾獲得工作時，他聘用Papadopoulos 作為博士後。「我們一直談論自行車，但我沒有意識到關於自行車他想做一件嚴肅而認真的事情。」Ruina說。

Papadopoulos 使Ruina相信那些自行車公司-----像石油公司-----可能有興趣支持學術研究。所以他開始籌款，為自行車製造商提供幫助。只要$5,000，他們成為康奈爾自行車研究項目的贊助人，一個雄心勃勃的計劃------研究在雨中剎車失靈時的各種形式下車輪的力量——開始滋生。

「每一個人都知道如何騎自行車，但沒有人知道我們怎樣騎得自行車。」

Papadopoulos的第一個目標是徹底明白是什麼使一輛自行車比另一輛更穩定。他坐在辦公室仔細翻閱了30個發表出來的試圖表達自行車運動的等式。但他對這樣的「偽科學」表示憎惡，他說：這些等式是如何處理連接自行車車架形狀和幾何的第一步。但是每一個新的模型對早期的工作很少提及或根本沒有提及。許多都充滿了錯誤，並且很難做對比。他需要從頭開始。

經過一年的工作，他手裡有了一個他相信是最終的方程組。現在，是它們該回應他的時候了。「每次我都盯著方程，在那兒坐幾個小時，試圖弄清它們的含義。」他說。

他首先就腳輪尾跡，重新寫了自行車方程，這是Jones 所主張的關鍵變數。他希望發現如果前輪尾跡是負的，自行車將不穩定。但是，他的計算結果則不然。在他當時準備的一份報告中，他簡述了一輛異乎尋常的自行車，自行車的重量突出在車把的前面。「一個足夠向前的質心可以補償一個微小的負向的前輪尾跡。」他寫到。沒有單變數，這似乎可以解釋自我穩定。

這個發現意味著這裡沒有簡單的經驗法則能保證這樣的自行車易於駕駛。對於Papadopoulos來說，前輪尾跡是有用的，迴轉效應是有用的，質心也應該是有用的，這都是具有啟發性的。最早的框架建造者只是偶然發現一個感覺不錯的設計，並在自行車蘊含的知識宇宙中只看到了冰山一角。但他們並沒有通過測試其中蘊含的幾何原理來改變自行車的設計。

崩潰

兩年後，Ruina不再支持Papadopoulos，除了自行車製造商Murray，就僅僅得到了兩個人，Dahon和Moulton的唯一的行業捐贈。他們是小輪自行車的製造商-----也許是因為這種自行車非常規的設計讓他們難以駕駛。Ruina 開玩笑說他應該改名為「摺疊自行車研究項目」。這是絞刑架下的幽默（面臨大難時的幽默）。

雖然Papadopoulos在自行車研究的數學方面取得進展，他作為第一作者只發表過一篇與該主題相關的論文。「我找到了很多令人愉快的新發現然後成功地發展其中的細節。詳細地寫出來卻很無聊。」他說。沒有錢和出版物，他在自行車研究中的時間大大減少了。在1989年，他把他的自行車放在一輛客貨車然後向西方行駛到伊利諾伊州，他當時的妻子在那裡有一份工作。他忍受了一系列教學和工業界的工作，這些都是他所討厭的。在他的業餘時間，他為自行車科學迷創立並主持了核心自行車科學電子郵箱列表，他也為現實版的電視節目「Junkyard Wars」組建了一輛可容納幾個手提箱的車

在2001年，MIT工程師也是第一台現代自行車發明者David Wilson邀請了Papadopoulos 合作了第三版的「自行車科學」。債務和家庭責任使Papadopoulos應接不暇。 他沒有把第一章發給 Wilson，也停止了回複電子郵件。 Wilson感覺被背叛了，「他是一個很聰明的傢伙，」 Wilson說，「但是他總是不能完完整整做完一件事。」Papadopoulos 說，他完整地完成了工作，但他多花費了兩年，部分是由於離婚帶來的過重的壓力。

重返自行車研究

在康奈爾， Ruina繼續前進。他將團隊對自行車的見解應用到了一個新的領域：機器人。如果自行車能夠在沒有控制系統的情況下表現出這種優雅的穩定性，他推斷，這有可能設計出一種拆卸式步行機來完成相同的事。在1998年，他與荷蘭代爾夫特理工大學Schwab的研究生Martijn Wisse合作，建立了一個雙足行走的機器人，可以在沒有電機的情況下沿著輕微的斜坡行走，並將能量存儲在搖擺臂中。只需添加一些電動機就產生了一個能夠在水平地面上行走的節能機器人。

在2002年，Schwab決定與 Ruina一起度過他的公休假，他們開始討論老式自行車的運行。那時 Ruina叫上了Papadopoulos並支付他來訪問的費用。「這是我第一次見到這個天才」Schwab 說。

「一旦你有自動自行車，你可以做很多瘋狂的實驗」

隨著越來越多的自行車行駛在路上，Schwab難以想像居然沒有人發表正確的自行車方程組，或者把方程應用到自行車的設計挑戰上。在一年內，他和現在在荷蘭的特文特大學的工程師Jaap Meijaard獨立得出了他們自己的方程，並發現與Papadopoulos的完全一致。他們在韓國的一個工程會議上提出了這些最佳的方程。四個合作者共同發表了這些公式。

現在的挑戰是證明它不僅僅是一個數學發現。Schwab和一個學生花了一年的時間製造了一個有著一個極小負向前輪尾跡，能夠自我穩定的自行車。看起來像剃鬚刀，滑板車和蹺蹺板的後代。他把重心斜置到前輪的前面，然後用一個反向旋轉的輪去抵消迴轉效應。在自行車靠慣性滑行的視頻中，你可以看見他傾斜然後猛然轉向右，但它又很快自己恢復平衡。實驗證明，Papadopoulos對於導致自行車穩定或不穩定因素的解釋是正確的。

然而，在等待了30年之後，他的發現才引起了大量讀者注意。Papadopoulos感到很氣餒。「它沒有按照我的想像改變任何事」他說。今年的自行車架看起來跟去年沒什麼兩樣。「人們仍然因循守舊，」他說。然而，其他的研究人員已經被拉進了該組織的軌道，引起了足夠大的勢頭，使他們得以在2010年發起一個自行車和摩托車動力學會議。來自世界各地的修補匠聚集到一起，其中一些人也建立了形狀怪異的自行車用來測試設計原理。

今年會議的組織者之一，加利福尼亞大學戴維斯分校的工程師Jason Moore試圖探索自行車車架幾何形狀與手把的客觀測量----它操作的容易性。這項工作的是受大量對飛行員的研究所啟發。Moore創造了一個仿人類控制的模型，通過在自行車轉向裝置的檢測器上裝備感測器，來執行在自行車上的各種傾斜和速度方面的演習。為了強迫自己平衡並且僅靠掌握方向盤運動來行駛（而不是靠改變他的重量），他不得不通過穿上剛性的上半身安全帶來把自己束縛在自行車上。這項研究確認了存在已久的假設------自行車的手把越穩定越好，這間接給框架建造者提供了一個方法來優化他們的設計。

它也帶來了一個謎題：轉向裝置轉矩所需的是Whipple自行車模型所預言的兩倍或三倍。這可能是由輪胎的摩擦和彎曲引起的，而這些在模型中並沒有考慮，但沒有人能肯定。為了進一步的測試，Moore和他的同事建立了一個可以平衡自己的機器人自行車。「一旦你有機器人自行車，你可以做很多瘋狂的實驗，而不必把實驗員推入危險之中。」他說。（他早期處理的實驗之一需要他用一根木條從一旁猛擊來重新保持平衡。）不像許多其他無人駕駛的自行車機器人，它不需使用內部陀螺儀來保持直立，但依賴於獨立的轉向裝置。Moore把這個問題丟給了Schwab進行進一步研究。

如今，Schwab擁有Papadopoulos一直夢想的那種實驗室，而Papadopoulos也很感激能夠合作。「這是你可以想像的最美妙的事情。」他說。Schwab的其他項目包括「線控轉向」自行車，能夠讓他分離操舵運動和平衡機制；「轉向輔助」自行車，可在低速保持穩定。他也發現了一個後方轉向的斜躺車（一種可躺卧蹬騎的自行車），顯示了自我穩定性，其中一部分利用了增大前輪來增強迴轉效應。後方轉向的斜躺車的主要優點是，它比標準的斜躺車擁有更短的鏈條，這將導致更高效的能量傳遞。「以前人們試圖建造它們，但它們無法駕駛。」Schwab說。

Papadopoulos現在在波斯頓東北大學有一個教職，他現在正重新適應學術界的生活。他與人合作，檢驗一些思索良久的想法，關於為什麼一些自行車在高速行駛中會擺動。他相信他可以用一個阻尼器通過「吸收」座椅中的震動來消除因為速度導致的擺動。他和他的新同事以及學生正在涉及其他類型的問題，並不是所有的問題都與自行車相關。

在他的地下室，Papadopoulos打開棕色文檔儲藏櫃的抽屜，開始瀏覽那些起皺的馬尼拉紙做的文件夾上的有標籤的注釋，如同「輪胎壓力」、「生物力學」和「康奈爾」。他拿出一本教科書「運動生理學？我從來沒有真正了解它。」他說，他把它拋到一邊。在抽屜的底部，他找到一個厚厚的有關自行車研究想法的文件夾，上面標記為「未完成」。

Papadopoulos思索了一秒，然後進行了修改：「大部分未完成」。

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