幾何學的前世今生：這幾位大師功不可沒

天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。

——1975年楊振寧先生為陳省身先生作

人類首先系統化和公理化地研究幾何學，還要追溯到古希臘歐幾里得的時代（公元前300年）。歐幾里得在他的《幾何原本》中，總結了幾何學的幾條公理和公設。在此後的近2000年里，歐幾里得的公理和公設，一直成為平面幾何的基本規則和基礎。我們中學學習的平面幾何，就源於歐幾里得的公理系統。

在歐幾里得的公設中，有一條第五公設（又被稱為平行公設）：通過已知直線外一點，能作且僅能作一條直線與已知直線平行。正是這條公設導出了三角形的內角和為180度。它是一條根據日常經驗總結出的公設，在千百年來很少被人質疑。但到了19世紀早期，偏偏有兩個愛吃螃蟹的人——高斯和羅巴切夫斯基——懷疑起平行公設來，他們反覆論證後發現，歐幾里得的平行公設並不是邏輯上必須的，它是一個人為附加的限制條件。

高斯

羅巴切夫斯基

他們設想存在一類曲面，在這類曲面上平行公設並不成立，三角形的內角和也不是180度。由此構建起來的新幾何學便稱為非歐幾何學。高斯和羅巴切夫斯基的非歐幾何學影響深遠，它突破了歐幾里得舊公理的限制，大大地解放了幾何學，具有跨時代的意義。這樣，原來的歐幾里得幾何學便成了新的非歐幾何學的一個特例，非歐幾何學可被應用於球面和馬鞍面上，為後來出現的微分幾何奠定了基礎。

非歐幾何學通常又被稱為羅巴切夫斯基幾何學，這是為了紀念它偉大的創始人羅巴切夫斯基。有時候，它又被稱作是高斯-羅巴切夫斯基幾何學。為何一代「數學王子」高斯竟然會屈居羅巴切夫斯基之後呢？事實上，高斯研究非歐幾何學要比羅巴切夫斯基早幾年，早在羅巴切夫斯基發表他的著作之前，高斯就已經深入地研究了非歐幾何學，並且已經有了相當高的成熟度，獲得了很多重要成果。但「數學王子」一直沒有發表他的成果，直到羅巴切夫斯基發表之後，高斯才公布了自己的一些結果。

在此後的一些年裡，高斯本人也從來沒有爭奪過非歐幾何學的發現權，他總是將非歐幾何學歸功於羅巴切夫斯基。不少人據此說高斯高風亮節，一代「數學王子」果然氣度非凡。這或許是部分原因，但更多的原因是，已經中年的高斯太過保守，擔心發表非歐幾何學這樣轟動的結果會遭到數學保守派的攻擊。而羅巴切夫斯基當時正是一個愣頭小伙，天不怕地不怕，便把結果發表了出去。果不其然，羅巴切夫斯基受到了「正統數學家」的漠視、嘲諷、排擠和攻擊，一生遭遇不公正對待，精神差點崩潰，成為了一代悲情英雄。

早在非歐幾何學構建之前，還有一個偉大的跨越。17世紀笛卡爾將坐標系引進了幾何學，從而將代數學與幾何學巧妙地聯繫在一起，創立了解析幾何學。在解析幾何方法的幫助之下，射影幾何在19世紀走向了成熟。在解析幾何、射影幾何和非歐幾何學成熟之後，現代幾何學的集大成者——微分幾何便應運而生了。

微分幾何是利用微積分的方法，通過研究空間的局部來探索出空間的幾何性質。提到這，就不得不提黎曼。黎曼不僅開啟了微分幾何的新紀元，還用它研究了一類彎曲空間，它在局部相似於尋常的歐幾里得空間，而在大尺度的非局域上又有不同於歐幾里得空間的空間彎曲性質。這一類空間又被稱為「黎曼流形」，愛因斯坦的廣義相對論便是以「黎曼流形」作為數學基礎。

黎曼

微分幾何的出現，建立了彎曲空間局部和歐幾里得平直空間的對應，使得我們可以用解析幾何和數學分析的方法從空間的每一個局部來研究彎曲的非歐幾何空間，這在之前是不可能辦到的。

微分幾何的出現不但是幾何學的新紀元，也是整個數學史上的新篇章。它使坐標系和代數學被引入之後，將分析的方法也引入了幾何之中。從此，19世紀數學的三大塊（俗稱「老三高」）——幾何學、代數學和數學分析學成為一個整體。毫不誇張地說，微分幾何開創了二十世紀數學由分散向統一發展的新篇章。

20世紀之前的數學分為三大塊——幾何學、代數學和數學分析學（與之相對應的數學專業三門主幹課程，數學分析、線性代數和解析幾何又常被數學系的人稱為「老三高」）。而進入二十世紀之後，數學又有了新的發展，從前的分支交叉融合，新的思想湧現出來，構成了新的分支。抽象代數（包括群論、環論、域論）、泛函分析和拓撲學出現了（這三樣也被數學系的人稱為「新三高」）。二十世紀初期，「老三高」與「新三高」的交織和碰撞，擦出了數學史上炫麗的火花。

嘉當

在20世紀伊始，當「新三高」出現之後，幾何學也取得了新的進步。這一時期，嘉當（法國數學家）深入研究了微分幾何流形上的分析學，建立起了外微分的概念。他研究了流形中的聯絡，提出一般聯絡的微分幾何學。除此之外，嘉當還仔細研究了李群和流形的對應關係，將李群引入「黎曼流形」之中。由於李群同時又可被看做是一種「拓撲空間」或「拓撲群」，嘉當的工作為日後拓撲學在幾何學中的自由發展奠定了基礎，也是後來誕生的整體微分幾何的萌芽。

20世紀，以微分幾何為代表的現代幾何學將物理學帶入了新的高度，而20世紀前中期物理學的蓬勃發展也為幾何學推波助瀾。若論二十世紀中葉的幾何學大家，首屈一指的便是陳省身。

陳省身先生

陳省身是公認的整體微分幾何的開創者和推廣者。黎曼時期的微分幾何，主要是通過研究彎曲空間的每個局部來研究整個彎曲空間，而彎曲空間的整體性質，則不容易直接獲得。如果忽略局部而從大範圍分析，則是拓撲學的強項。1946年陳省身與美國的斯丁路特和法國的艾勒斯曼共同提出纖維叢的理論，將拓撲學和大範圍分析引入幾何之中。纖維從理論具有巨大的威力，不但方便了幾何學，還方便了物理學。可以證明，纖維從理論與物理學中的規範場有著千絲萬縷的關係。在二十世紀後半葉，以陳省身的纖維從理論為代表和以大範圍分析為主導思想的整體微分幾何推動著現代幾何學滾滾向前。

1975年，楊振寧先生曾為陳省身先生作了一首小詩：「天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。」詩的最後兩句「千古寸心事，歐高黎嘉陳」概括了在千年的幾何學發展中的五位大師——歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當、陳省身。的確，他們的名字本身就是幾何學發展的寫照。也許，在我看來，還應加上笛卡爾和羅巴切夫斯基。

出品：科普中國

製作：小曲

監製：中國科學院計算機網路信息中心

「科普中國」是中國科協攜同社會各方利用信息化手段開展科學傳播的科學權威品牌。

本文由科普中國融合創作出品，轉載請註明出處。