三體里天體力學的基本模型

你真的懂「三體」嗎？

出品：科普中國

製作：超導與航天新戰隊徐明研究團隊

監製：中國科學院計算機網路信息中心

2015年8月23日，被譽為「中國科幻第一人」的劉慈欣憑藉其科幻小說《三體》獲得「雨果獎」最佳長篇小說獎，這是亞洲人首次獲得雨果獎，也是中國科幻第一次獲得世界級的認可。

在小說中，三體叛軍通過《三體》遊戲向社會傳播三體文化，遊戲玩家們建立了各種模型來躲避亂紀元、預測恆紀元的到來。在遊戲第一關中，一個文明在「三日凌空」中毀滅，玩家哥白尼成功揭示出宇宙的基本結構；遊戲第二關，另一個文明毀滅，它最終證明了三體問題無解，人們放棄了徒勞的努力，並確定出全新的走向。至此，遊戲的終極目標發生變化，調整為飛向宇宙，尋找新的家園。

《三體》三部曲中有無數讓人腦洞大開的經典創意，而它們的創作基礎就是天體力學中基本的三體模型。那究竟什麼是三體呢，下面我們就來揭開神秘科幻面紗下的科學真相。

1900年，數學家希爾伯特在他著名的演講中提出了23個困難的數學問題以及兩個典型例子，第一個是費爾馬猜想，第二個就是所要介紹的N體問題的特例——三體問題。對於20世紀數學的整體發展，這兩個例子所起的作用要比23個問題中的任何一個都更加巨大。最終，費爾馬猜想在1994年被美國的懷爾斯解決，而三體問題卻仍然是數學大廈上的一朵烏雲，揮之不去。

三體問題是天體力學中的基本模型，即探究三個質量、初始位置和初始速度都為任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律。如下圖所示，它們有無數種可能的運動軌跡。最簡單的例子就是太陽系中太陽，地球和月球的運動。

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套用小說中數學家魏成的描述：三體問題的真正解決，是建立一種數學模型，使得在已知任何一個時間斷面的初始運動矢量時，能夠精確預測三體系統以後的所有運動狀態。一般的三體問題，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下，其運動方程都可以表示成6個一階的常微分方程。因此，一般三體問題的運動方程為十八階方程，必須得到18個積分才能得到完全解。然而，現階段還只能得到三體問題的10個初積分，遠遠不足以解決三體問題。

我們常說的「三體問題無解」，準確地來說，是無解析解，意思是三體問題沒有規律性答案，不能用解析式表達出來，只能算數值解，沒有辦法得出精確值。然而對於三體問題的數值解，時間會無限放大初始的微小誤差，因此數值法幾乎沒有辦法預測當時間趨於無窮時，三體軌道的最終命運。而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，就被稱為「混沌」現象。

此圖為藝術家描繪從「三星系統」中一顆行星的衛星上看到的情景。這種恆星系統處於極不穩定的混沌運動狀態。

三個物體在空間中的分布可以有無窮多種情況，由於混沌現象的存在，通常情況下三體問題的解是非周期性的。尋找三體問題的通解是枉費力氣，但在特殊條件下，一些特解是存在的。必須找到合適的初始條件：位置、速度等等，才能使系統在運動一段時間之後能夠回到初始狀態，即進行周期性的運動。在「三體問題」被提出的三百年內，僅僅三種類型的解被發現。而在1993年，兩個物理學家又發現了13類新解。

(1). 8字型族——三個物體在一條8字形的軌道上互相追逐。

(2). 拉格朗日-歐拉族——三星成三角形，圍繞三角形中心旋轉。

(3). 布魯克-赫農族——軌跡複雜，兩個物體在裡層來返往複，第三個物體在外層旋轉。

(4). 塞爾維亞物理學家Milovan ?uvakov和VeljkoDmitra?inovi?發現新的13族特解，三個天體在空間中的排列組合有無限種，他們利用計算機模擬，從現有的特解出發，調整初始條件直到新類型的軌道被發現。

其實，三體運動已經是對實際物理簡化得很厲害了，比如說對質點，球體自轉、形狀已經統統不考慮了。然而即使是這樣，牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、龐加萊等等大師們為這個問題窮盡精力，也未能將它攻克。科學發展到現在，三體問題的求解和應用其實就是一部心酸的簡化史。

目前三體問題的研究主要集中在限制性三體問題上。

1772年，拉格朗日在「平面限制性三體問題」條件下找到了5個特解，也就是著名的拉格朗日點。在該點上，小天體在兩個大天體的引力作用下能基本保持靜止。

比如上面這張圖上，地球和太陽連線上有L1，L2，L3三個拉格朗日點，而在地球軌道上則有L4，L5兩個點，它們和太陽以及地球構成等邊三角形。L1，L2，L3是不穩定的，如果小天體離開這三個點，就會越跑越遠，無法在穩定的軌道上運行。而L4，L5是穩定的。L4，L5的穩定解在太陽系裡確實存在實例，木星的L4和L5點上各有一群小行星，就是著名的特洛伊群和希臘群小行星。

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拉格朗日點在深空探測中具有很高的科研價值，主要體現在兩個方面：科學觀測的極佳位置和深空探測的中轉站。位於L4和L5的航天器能與兩個天體保持相對靜止，這樣非常有利於一些長期的科學觀測。而共線拉格朗日點存在著穩定流形與不穩定流形，使得航天器在其上運動時，可不需耗費任何能量地趨近或遠離周期軌道，利用這一點，可以為設計行星間的轉移軌道提供巨大的幫助。

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