如何學習數學？

數學是什麼？

數學有什麼用？

數學家是怎樣的一類人？

他們如何開展研究？

數學是心靈的產物，但不屈從於人類意志。

它的有趣和美麗，是一種獨特看待世界的方式。

每個人看到的彩虹都是不同的

當我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對陽光的影響，它將白色的日光還原為構成日光的色彩成分。彩虹的形狀和亮度需要解釋：為何是圓弧狀？為何光線如此之亮？為何數以萬計的雨滴折射產生的數以萬計有色光線，不會重疊並模糊掉呢？

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答案在於彩虹的幾何學。當光線在雨滴內部進行反射，雨滴的球狀形體導致光線聚焦於某一特定方向，每一滴雨發射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成的圓錐體角度稍有不同。當我們望向彩虹，我們的眼睛只能偵測到位於特定方向的圓錐體，每一種顏色的方向在天空形成一個圓弧。所以我們看到許多同心圓，每種顏色形成一個同心圓。

你所見的彩虹和我所見的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位於不同的位置，所以我們偵測到有不同的雨滴所產生的不同圓錐體。

彩虹是個人經驗。

鳥兒需要個人空間

沿著布雷斯支流散步時，我看到，每隔一段距離，就有道路和電話線橫越布雷斯支流，許多鳥類就停駐在電話線上。從遠方觀看，它們像是樂譜，是水平線上的一對肥肥的小圓點。它們似乎喜歡停駐在特別的地方，我並不清楚為何會這樣，不過唯一可以肯定的是，如果有一大群鳥類停駐在同一條線上，則最後必定是呈均勻分布。

均勻分布是一個數學模式。我不相信鳥兒「知道」它們應該均勻分布，但因為每一隻鳥兒都想要有自己的「個人空間」，所以當其他鳥兒靠得太近，它會向另一側挪移，除非有其他鳥兒正從另一側向它擠過來。「人口壓力」會使它們均勻散開，位於密度較高區域邊緣的鳥兒會被擠向密度較低的區域，最終在電話線上形成等間距離。

這是一個「鳥的晶體」。這不是一個模糊的比喻，創造一般實驗或方解石結晶的數學過程，與此沒有差別。讓鳥兒均勻分布的相同過程，也讓固體中的原子排列形成一個重複的晶格。原子也有一個「個人空間」：如果彼此太接近則相互排斥。「鳥的晶格」是一維晶格，一維晶格包含等距離的點。

小狗的四拍音符

當狗行走時，存在某種特殊的模式。左後腳、左前腳、右後腳和右前腳，如同一小節四拍的音符，以相同時間間距輪流踏向地面。當狗加快速度小跑時，左後腿和右後腿先一起踏向地面，然後是另外兩隻腿，如同一小節兩拍的節奏，交替而行。如果兩人一前一後，披上牛的戲裝，腳步完全不配合而行，就形成了牛的小跑步。

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狗的步伐是數學的具體化，不知不覺成了步態分析的一個範例。它在醫藥上有重要應用：人類經常無法正常移動自己的腿，特別是嬰兒和老年人。分析如何移動能夠顯露問題的本質，可能有助於治療。

如果我們能了解腿部的移動，就可以設計出可靠的機器人去拆除老舊的電廠、找出未爆彈和地雷和探索遙遠的星球。

如果我們學會再次發明腿，一切都將改變。

如何學習數學

1.繼續讀下去：

許多學生認為，一旦碰到讀不明白的內容，就應該停止繼續讀下去。我常告訴我的學生，如果你遇到了困難，不要裝作若無其事，繼續讀下去，通常下一句話或是下一段話就會解決你的問題。

2.向助教或老師求助：

通過嘗試自己解決問題，你將讓你的心靈活動起來，這很像龐加萊研究的「孕育」階段。但如果你勇敢地繼續研讀下去，卻仍然無法理解，就應該向專業人士請教。

3.將洞見注入自己的思考：

這整個過程和解決迷宮的一般方法很像——計算機科學家稱此方法為「深度優先搜尋法（depth-first search）」。如果可能，儘可能深入迷宮， 如果卡住，就回到有分岔的前一地點，然後走另一條路，絕對不要重複已走過的路，這個規則將引導你安然走出任何迷宮。這方法應用於學習上，雖然不能保證一定行得通，但仍然是個良好的技巧。

4.閱讀和主體相關的書籍：

去圖書館找到幾本同樣主題或相似主題的書，以非常輕鬆的態度去研讀，跳過那些太難或太無聊的東西，集中在那些吸引你注意力的內容上。你會非常驚訝地發現：你所閱讀的內容到了下星期或明年將變得很有用。在這期間，潛意識都在運作，它已經在印象里創造出某種秩序，只需等待少數的簡單線索，就能形成一致的圖像。

2017新年快樂

HAPPY NEW YEAR

以上內容選自《給年青數學人的信》