在人類數學史中 被定義的大數、大函數、大無窮一覽

大函數表，越下面的表示增長越快，不要問我，鏈式鍵號法之下的定義我也不懂。

大數表，越下面的表示數越大，後面的數大到只能用符號表示。

即使是上一張圖最大的數字也不過是自然數子集中的渺小的一個，數學家將整個自然數集定義為第一個無窮，也是最小的無窮，因為無窮大之間根據定義範圍的不同一樣能比較大小，所以關於絕對無窮是一個行動中的狀態，還是真實存在，數學上依舊有爭論。

那麼這些東西有什麼用？

一、可以幫助我們更好地了解世界

宇宙當前直徑460億光年換算成米咧——就是4.35乘以10的26次方，這麼多米

而我們認為的最小可能長度是普朗克長度，即1.62乘以10負35次方，單位也是米。所以可觀測宇宙應該可以被分成大約好多個普朗克長度為邊長的立方體空間

4.35乘以10的26次方，除以『1.62乘以10負35次方』這個數，然後再平方的話……錯了，是立方，因為是三維空間，當然我們的宇宙不止是三維，但在這個範圍內還是近似三維的，前面兩個數除下來就是2.68乘以10的61次方，而這個數字再立方的話，就是1.94乘以10的184次方，你看也就是有這麼多的立方體空間

那麼把這些空間全部打亂重排可以有……我寫出來好了，你們看，就是『(1.94X10^184)!』種可能的組合形式。這裡的感嘆號是階乘，常用來統計排列組合的所有可能性，比如5個人不管站一列還是圍一圈，只要構成一個形狀就有『5！』種排法，等於『1乘2乘3乘4乘5』等於120，再比如70階乘的話，就大於10的100次方了！

同樣，這1.94乘以10的184次方個立方體，就構成了我們所知的宇宙空間，前面說了因為近似三維，所以組成的東西當做一個大立方體

非常粗糙地說，從我們可以感知到的時代起到現在，宇宙一共歷經了1.32乘以10的51次方的普朗克時間，可觀測宇宙到現在為止可能出現的物質組合形態的上限大約就是……我還是寫出來，比較容易看吧！『((1X10^185)!)^(1.32X10^51)』

這個計算的結果數學家測定大約是10^(10^238)，這個數字在物理學中基本可以作為上限了，但在數學中在超-6運算中「23」就遠大於這個數，更不要說後面的那些變態了。

二、探索人類大腦的潛力上限。

好吧，如果說物理是通過觀察來解釋客觀世界，那麼純數學就是通過定義來創造主觀世界，雖然人類小小的大腦卻想出了許多遠大於常識意義的數字，但很多的定義本身看來就像耍流氓。

比如通過正常的有意義運算（除以0，tan90°這種無意義的運算撇開不談），哪怕你創造了再快的函數，我們也永遠無法達到「∞」，所以數學家們就乾脆直接用集合來定義，把所有的自然數當成一個東西，然後定義出範圍更大的東西。

這其實就跟一維、二維、三維、四維一樣，一條線上有無窮的點（當然是指數學的定義，物理是有最小的單位的），但一個面就是比一條線包含的內容多，雖然它們都有無窮的點

然後我們發現自己又陷入了另一個死循環——無限維度！那麼有沒有比無限維度包含更多的東西呢？有啊，數學家又進行了定義：序列

序列再進行迭代增長呢？依然會撞到天花板，然後再把序列里的東西分離出來再按一維、二維、三維、四維……重新排列，又到了無限維度，就變成了大集合！

大集合再往上跳躍，然後數學家發現已經沒有東西可以拿來定義了，於是乾脆就創造了一個「不可達基數」

然後隨著數學家的腦洞越來越大，數學上升到了玄學的層面，然後我們就看到了第三張圖的那些東西，但這不就很像耍流氓么？

就算你能跳出這種循環，把無盡的循環本身定義為一個東西，在證明絕對無限之前，依然跳不出這個怪圈，也就是說，數學家不過是在機械式地不斷定義，屬於高級體力勞動，但依然是體力勞動，並不能讓我們因此變得更聰明。

三、驗證計算機運行的穩定性。

這個也是扯的，雖然現在電腦可以對比物理常識大得多的數字進行運算，但你就是把天河二號般過來，他也算不出「23」的科學表達式，並且我悲觀地認為就算以後搞出量子計算機，對於這個數字也是徒然，如果你從我前面的例子中了解了這個數字的定義，你會贊同我的。

四、用來裝B。

很多人小時候都跟小夥伴玩過一種爭論，就是說XXXXX誰厲害。然後就會發展成一方說「我的比你厲害一千倍！」然後對方說「我的比你厲害一萬倍！」「一億倍！」「一兆倍！」「一億萬兆倍！

如此下去沒完沒了，直到有一方學會了次方，還知道了N表示一個很大的數，然後就是「我比你多N次方。」「我比你多NNNNNNNN次方」這樣子

然後又沒完沒了，直到他們學會了定義：「不管你有多少，我都比你大一億倍！」「我也不管你有多少，我都比你大NNNNNNN次方倍！

最後？最後他們都長大了，再也不玩這種沒意義的遊戲了？

確實如此嗎？

其實有些數學家或愛好者，也愛玩這種遊戲，只不過是用比較高端的方式。但是你即使學到了這些大數、大函數、大無窮的表達方式也並不能幫你裝逼，因為你裝的逼基本沒人看得懂——

「對方不想跟你說話，還丟過來了一個『胡編亂造』的帽子。」

五、證明某個大數的正規性。

什麼叫正規性的數？就是一個大數值的一長串數字中，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數字出現的期望值無限接近，比如有數學家統計了，圓周率的前一萬億位數，發現這個看似雜亂無章的無理數，居然每個數字出現的頻率都差不多！

同樣那些超級大數，雖然我們不知道到底有多少位數，但是有辦法求出它們的末尾若干位，就如同圓周率小數點後多少位一樣，所以同樣可以驗證這些大數的正規性。

為什麼一個數的正規性很重要？因為這個數字可以幫我們形成一個隨機模擬器，因為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9出現的幾率均為10%的話，那麼數字串11、87這些出現的幾率是不是1%呢？

然後藉由這些隨機數，就能幫我們模擬很多事情，只要數字夠多，你甚至能在其中找到你和朋友的生日乃至身份證號碼，是不是很神奇？

不過嘛！大部分人可能也不是很在乎吧！

有人可能看不懂第一張圖：

a+b為什麼大於f0(n)

a*b為什麼大於f1(n)

這裡解釋一下：

fw(0)的 w 表示這個函數的增長率。

a+1+1+1……是一個函數，但其增長是平坦沒波澤的，所以增長率為0

a+b也是一個函數，但就開始有增長率了，根據b的不同不確定，但大於0

a*b還是一個函數，並且數學家講乘法的增長能力定為最小的戰鬥單位，增長率略大於1。

以此類推，左邊是運算方式，而右邊則是評價這種運算方式的增長能力。

六、可以幫助我們更好將世界數據化（進階放大版）。

前面我說了一個460億光年的宇宙在150億年當中，現行物理定律之下的排列總數，那有人肯定就不服了

宇宙不能更大么？時間不能更長么？不是還有多元宇宙么？其他宇宙的最小單位不能更細化么？

沒錯，我們的物理學對於客觀世界的理解還有很多未知領域，就單個宇宙來說，如果曲率封閉，那麼將會不停重複「爆炸——膨脹——坍縮」這一流程，而曲率開放，那麼宇宙就會一直膨脹下去，哪怕原子都衰減了，哪怕波都消散了，能量還會自發地由高往低流動，直到每一處空間的溫度都變為一樣……以上這兩種狀態似乎都有著無盡的時間

還有維度呢，每多一個維度，空間方格的總量就會隨著變長提高一個次方

而多元宇宙更是模稜兩可的東西了，誰能說出超膜上有多少個宇宙？如果按照人擇理論，說明絕大多數的宇宙的物理常數都是亂七八糟的形式，這種巨大的隨機性帶來了更多的可能，其他宇宙的最小尺度就更無法估計了，10的負100次方？10的負一億次方？10的負古戈爾次方？

那麼這將是一個無法想像的總數吧？

是的，普通人根本無法想像，但對此，我只想說……然並卵！

哪怕我們假設宇宙的數量趨向無窮，時間的長度趨向無窮，空間的廣度趨向無窮，維度的種類趨向於無窮，最小的尺度趨向於無窮分之一，就算這些都是真的又能怎樣呢

它們的一切可能性，也不過是一個函數而已，這個函數的表達式，不過是超冪運算加上階乘的組合而已，你再把超膜的數量趨向於無窮吧，隨便你再加什麼物理猜想進去，也不過是將這個函數進行了一次很低級的遞歸或迭代。

你想要讓這個總數超過葛立恆數，所要定義的宇宙的數量、時間的長度、空間的廣度、維度的種類、最小的尺度、超膜的數量，或者你隨便再加什麼元素，如果只用科學計數法或指數冪塔，你這輩子也是不可能寫得完的，這數字根本用不到四個以上的鏈式鍵號，更不要說後面那些了，因為物理世界的增長速度對於數學家的腦洞而言實在是太緩慢了啊

而數學家所創造的超級函數，早就不用遞歸或迭代這麼低級的方式了，直接用「∞」？不，「∞」不是一個數，而是一類數，哪怕一切物理常量達到無窮，所得到的也不過是一個實數集合，這也只不過是數學定義中的第二小的無窮，比自然數集合大那麼「一丁丁」（當然是與後面定義的增長速度相比）。

這一切不是我自己在吹牛，而是真實可查的，總有一天，數學家會不會定義了太多的東西，包括連矛盾的東西也算進去了？有一天，我們會不會解決連續統假設呢？但即便如此，還是看不到證明絕對無窮的那一天，也難怪康托最後會瘋掉，因為他把絕對無窮當做神，但是又真真切切地經歷過心中的神不可能存在的絕望。

就像這種流氓函數：

Rayo函數的增長率大得連FGH （即fw(x)）都沒有足夠大的序數來表示。Rayo開玩笑地提出這個函數,Rayo(n)定義為「大於在一階邏輯中用不超過n 個符號能表示的任何數的最小正整數」

而「大於在一階邏輯中用不超過10^100個符號能表示的任何數的最小正整數」，即Rayo(10^100),稱作Rayo數。

對於較小的n，Rayo(n)的實際大小可能很小，但是，我們知道,增長率是要看n趨向無窮時的大小的。

至於之前的你們可以百度一下大數入門的文庫。

截取幾頁，其餘的百度文庫可查。

古人的大數腦洞基本就是次方了（自己乘以自己），現在讓我們來看看現代數學家的腦洞

現代人的腦洞之一：

次方疊次

腦洞之二：冪集塔

腦洞之三：冪集歸遞法

腦洞之四：

矩陣迭代

問大家一個哲學問題，你們覺得世界應該是有限的還是無限的？

首先先拋開我們現有的物理學認知吧！否則那會束縛你的。

比如說科學家普遍認為宇宙再大，還是有限的，之後還有平行宇宙，但平行宇宙的本質是將所含的東西隨機打亂重組，然後又形成一個個宇宙。

所以如果宇宙是有限的，那麼即使含再多的東西，打亂之後所形成的所有可能的情況，依然是有限的。

不信？比如目前尺度最大到450億光年的宇宙觀測直徑，存在時間按140億年算，然後空間與時間最小到普朗克尺度與普朗克時間，按三維來算，把空間全部打亂重排可以有(1.94X10^184)！種可能性，這裡感嘆號是階乘不是感嘆……

然後總共經歷了(1.32X10^51)個普朗克時間——所有的可能，所有的可能，就是(1X10^185)!)^(1.32X10^51)，結果約為10^(1.85X10^187)這個數量級，什麼概念？

10^18500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

覺得這個數字很大么？畢竟10^80就已經是我們宇宙中的原子大致數量了，上面那個數字，一個原子存一個位元組，不用科學計數法表示的話，需要100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000個宇宙才寫得下。

但即使宇宙不止450億光年，即使我們的宇宙有十幾個維度，即使組成其他平行宇宙的東西比我們多得多，那麼世界的總量依然是有限的。

而平行宇宙之外呢？物理學沒法繼續講了。

比如很多人有過我們的宇宙是巨人體內的原子這種想法，然後巨人的宇宙又是巨巨人體內的原子，無限循環。

不過如果世界真的只能靠這樣簡單的嵌套來達到無限的話，會不會太無趣了？人只要就靠一百多的智商就能猜出世界的構成了？

在物理學無能為力之後，我們又想起了數學，這裡先不爭論數學到底是工具還是科學。

但有一點要說明的是，數學雖然最早用來指代客觀物理世界，但幾百年前就超脫於物理世界了，經常就出現各種「研究這個到底有什麼屁用」的問題來。

但隨著物理學的進步，人們卻又發現新的物理理論，與一些之前看上去毫無卵用的數學理論卻有驚人的相似性。

比如我前面說，數字10^80或者10^100就夠用了呀！還有什麼比宇宙中的原子，或者夸克還要多的么？但如果哪一天真的需要研究平行宇宙問題，我們就需要用上例如(1.94X10^184)！中的那個感嘆號。

但是我們窮盡所有物理學中的腦洞，得出10^(1.85X10^187)這樣一個數字，在數學領域的研究中很大么？

額，如果單指數論的研究，其實並不大，以前介紹過一種符號，2 2 = 2^(2^(2^(2^(2^(2^(2))))))=2^(2^(2^(2^(2^4)))))=2^(2^(2^(2^16))))=2^(2^(2^(65536))))=2^(2^(10^19728)))=2^(10^(3X10^19727))=……

好了，最後一步讓天河二號都算不出來了，但光是10^(3X10^19727)倒數第二步得出的數字，就遠遠大於10^(1.85X10^187)了。

然後有人就會說了，數學不也是通過這樣簡單的重複嵌套來得到無窮的么？與物理世界區別何在呢？我們都知道形容增長速度超快，往往用指數增長來形容，但實際上數學家發明了無數個遠遠高於冪次增長速度的很多函數，上面的冪次塔，還有下面這個變色運算，還只是非常粗淺的古董而已。

而數學問題所定義的各種大數字，大到難以置信，各種連科學技術法，科學計數法的科學計數法，科學計數法的科學計數的科學計數法……都表達不出來的大數，如果你們有興趣了解的話，可以百度搜一下《大數入門》、《從0到無窮大》。

有興趣可以再看B站視頻《怎樣數到無限之後？》視頻號4369007

好了那麼問題來了，這些到底有什麼卵用？

別忘了我前面說的，數學在自然科學中有著驚人的相似性。

那麼，我們已經把數學搞出這麼多腦洞了，將來真的會有都用上的那一天么？

而回到自然當中後，再想，怎麼會有無限的東西呢？

對函數列表和無窮列表做出一定修正。