數學突破獎：告訴你一個真實的數學研究

科學是目前人類探知客觀世界最好的方式。儘管投入科學不能一蹴而就地得到切實有用的成果，但長遠來看卻是技術發展最好的動力源。與技術開發不同，對科學的投入更像是公益活動，因為科學研究得到的成果屬於全人類。而數學作為科學的「語言」，也有著類似的性質。

在目前富豪爭相投身公益事業的社會潮流下，我們能聽到的科學獎項也越來越多。除去老牌的菲爾茲獎、諾貝爾獎以外，我們時不時還能聽到一些新的獎項。2014年，又有一個新的獎項橫空出世，它名為「數學突破獎」，它的目標是「認可本領域內的重要進展，向最好的數學家授予榮譽，支持他們未來的科研事業，以及向一般公眾傳達數學激動人心之處」。

這個獎項引人注目的原因之一是它的獎金來源：Facebook的創始人扎克伯格以及數碼天空科技的創始人之一米爾諾。此前他們還設立了「基礎物理突破獎」與「生命科學突破獎」，合作者更包括Google創始人之一布林以及阿里巴巴的創始人馬雲。他們都是互聯網造就的新貴，大概也正因如此，他們更理解科學的重要性：正是科學的飛速發展，帶來了日新月異的信息技術，才給他們帶來了龐大的財富。

另一個引人注目之處則是高昂的獎金：300萬美元，這是諾貝爾獎的2.5倍有餘，與解決3個克雷研究所千年難題所能獲得的金額相同。這是目前科學獎項最高的獎金，它很好地完成了吸引公眾眼球的任務。

數學家需要什麼？成噸草稿紙和幾面很大的牆。這些面牆現在可價值不菲。圖片來源：果殼死理性派小組

那麼，這次的獲獎者都有哪些呢？他們的貢獻又是什麼呢？

西蒙·唐納森（Simon Donaldson），來自石溪大學以及倫敦帝國學院，他因「四維流形革命性的新不變數，以及在叢以及法諾簇兩方面，對其中代數幾何與全局微分幾何中穩定性之間聯繫的研究」而獲獎。

馬克西姆·孔采維奇（Maxim Kontsevich），來自法國高等科學研究院，他因「在包括代數幾何、形變理論、辛拓撲、同調代數以及動力系統等在數學眾多領域中產生深刻影響的工作」而獲獎。

雅各布·勞瑞（Jacob Lurie），來自哈佛大學，他因「有關高階範疇論和導出代數幾何方面基礎性的工作，對全擴展拓撲量子場論的分類，以及對橢圓上同調的參模理論解釋」而獲獎。

陶哲軒（Terence Tao），來自加州大學洛杉磯分校，他因「在調和分析、組合學、偏微分方程以及解析數論中的眾多突破性貢獻」而獲獎。

理查德·泰勒（Richard Taylor），來自普林斯頓高等研究院，他因「在自守形式理論方面的多項突破性工作，包括谷山-韋伊猜想、一般線性群上的局部郎蘭茲猜想以及佐藤-泰特猜想」而獲獎。

看著這些簡介，你現在的腦海里一定充滿了各種「這些字每一個我都認識，但是合起來是啥」又或者「哇好厲害啊好高深啊他們乾的到底是啥」之類的念頭。不要急，先讓我帶大家分析他們的主要貢獻。

理查德·泰勒：代數數論

我們從理查德·泰勒開始。他的名字可能不太為人熟知，但如果說起費馬大定理以及安德烈·懷爾斯，大部分人可能都略有耳聞。泰勒是懷爾斯的學生。在當年懷爾斯證明費馬大定理的故事中有一個小插曲，懷爾斯最初發布的證明其實是不正確的，其中存在一個漏洞。大家一開始看不出來，但隨著數學界慢慢審視這項重要的工作，漏洞很快就被發現了。懷爾斯花了一年的時間找到了繞過漏洞的方法，而與他一起完成這項工作的，就是泰勒。

在代數數論中，j不變數是一個具有基礎地位的模形式。圖片來源：wikipedia

泰勒主要研究的領域是自守形式理論，這是代數數論——用代數結構研究自然數的一門數學分支——的一個重要部分。要理解自守形式，最好先從模形式開始。模形式是一種特殊的復值函數，它定義在複平面的上半部分，滿足一定的增長條件，而最重要的是它有著高度的對稱性，在一個被稱為「模群」的特殊變換群的各種變換下仍然保持不變。這個群中的元素都是所謂的「默比烏斯變換」：

這裡的a,b,c,d都是整數，也正因如此，模形式與數論天生就具有密不可分的關係。許多數論中的問題，甚至最耀眼的黎曼猜想，都能在模形式中找到聯繫，特別是一類被稱為「橢圓曲線」的特殊曲線，與之關係更為密切，而這正是泰勒與他的合作者證明的谷山-韋伊猜想（現在又被稱為模性定理）的內容。不僅是費馬大定理，許多形式類似的方程解是否存在的問題，最終也能歸結到有關某類橢圓曲線與模形式之間的關係，經過谷山-韋伊猜想指示的聯繫，從而得到解決。（有關群論與模形式理論的另一個聯繫，請參見科學松鼠會文章《有限單群：一段百年征程》）

除此之外，橢圓曲線除了是代數數論研究的軸心之一，也是計算數論中重要的研究對象，從而在實際生活中的應用佔據著一席之地，特別是與每個人密切相關的密碼學。與橢圓曲線有關的不對稱加密協議，已經成為密碼學的重要分支之一。這類加密協議雖然速度較慢，但在相同的密鑰長度下，可以提供更可靠的保護。而這些加密協議的有效性以及具體應用，反過來又與橢圓曲線的理論研究息息相關。有許多加密時使用的工具，比如說泰特配對，就來源於理論研究。另外，橢圓曲線本身就能用於整數的因子分解，這也是RSA密碼體系的命門。

至於泰勒研究的自守形式，則是模形式的一種推廣，而橢圓曲線的對應推廣又被稱為超橢圓曲線。對於這些「升級版」的研究可以說根·本·停·不·下·來。它們結構之精緻、地位之重要、內涵之豐富，再加上應用的潛力，實在使數學家們欲罷不能。

陶哲軒：解析數論、調和分析

對於陶哲軒，我們熟悉得多。他是華裔，也是神童，研究的領域之一——解析數論——也早已經由陳景潤與哥德巴赫猜想而在中國家喻戶曉。

同樣研究自然數，陶哲軒的路子跟泰勒相去甚遠。泰勒研究的代數數論，是嘗試通過代數結構來理解自然數；而陶哲軒研究的解析數論，則是嘗試通過函數的解析性質（例如有關上下界的估計）來進行探索。

在解析數論中，能用到的工具很多。除了經典的微積分（也就是高數中能學到的東西），還涉及更複雜的調和分析、代數數論以及組合中的一些工具。解析數論中的兩大方法，篩法與圓法，前者可以看成組合學中容斥原理的巧妙應用，後者則是複分析與調和分析的集大成者。

解析數論中的圓法。圖片來源：wikipedia

陶哲軒在解析數論領域的重要貢獻之一，就是引入了新的工具與技巧。他與本·格林證明了，存在任意長（而不是無限長）的等差數列，其中的每一項都是素數。在這個證明之中，他們用圓法拓展了組合中一個由斯澤梅雷迪發現的深刻定理，利用了有關加性組合的新思想解決解析數論的問題。這也使人們更多關於有關加性組合的研究。

除此之外，陶哲軒在調和分析、偏微分方程方面也有重要的貢獻，這兩個領域對實際應用的影響更大。在工程中經常使用的小波分析，其實就是調和分析的一種應用。而陶哲軒對調和分析的研究，也直接催生了一門新的技術——壓縮感知。

壓縮感知，其實就是如果我們知道信號的某些特殊性質，那麼即使只進行少量的測量，在合適的情況下仍然能大體還原整個信號。在工程學中，我們經常需要測量某些信號，比如在攝影中，測量就是照相，而信號就是要成像的物體。利用這種方法，已經有人製作了只需單個像素感光元件的照相機，效果還不錯，而需要記錄的數據量則大大降低。這項技術在醫療診斷、人臉識別等廣泛的領域都有重要的應用。

陶哲軒在組合學方面的工作，除了與解析數論有關的加性組合以外，還有代數組合。他與艾倫·克努森（Allen Knutson）發現的蜂窩模型給出了李特爾伍德-理查森係數的又一個組合解釋，這些係數與一般線性群的表示論以及格拉斯曼簇的上同調有關，他也藉此解決了代數組合中的一些猜想。

更廣闊的數學

還有剩下三位的工作又是什麼呢？

剩下的這三位，我僅僅知道他們研究的領域都與「代數幾何」這一數學分支有關。雖然代數和幾何大家都很熟悉，但「代數幾何」作為一個整體，聽說過的人可說是寥寥無幾。代數幾何奠基於希爾伯特的零點定理，之後經過格羅滕迪克之手一發不可收拾，目前已經發展數學中一門非常重要而又高度抽象的分支，與數學的其他分支有著各種各樣深刻的聯繫。我雖然也有做代數幾何的朋友，但是聊天的時候從來沒有聽懂過他的工作。

代數幾何，陶里亞蒂曲面是一個五階代數曲面，圖為其中的一個實軌跡。圖片來源：wikipedia

所以說到他們具體的研究內容，很遺憾，我也不清楚。

先不要急著用皮鞋追打我，也不要揭穿我各種打小廣告的行為，我這樣捉急，也是有原因的：

1、數學的專門性

數學的跨度實在太廣了，而每個領域都太深奧了，現在，即使窮盡一個人的一生，也難以涉獵數學的所有領域，而這些專家的所有工作橫跨各種各樣的領域，要一一詳細解釋更是難上加難。即使是數學系學生，對於很多沒有鑽研過的領域的理解，也只是「聽說過大概是那麼一回事」的程度而已。實際上，現在整個科學體系經過數百年的不斷積累，已經發展為一個龐大的整體。

在牛頓的時代，一人可以跨越數個不同的學科同時有所建樹；

在居里夫人的時代，一人最多只能在一個學科的許多領域都有貢獻；

在現代，一人最多只能在一個學科的幾個領域得到重大的成果，而絕大部分的研究者熟悉的僅僅是他們主攻的一兩個領域。

學科的細分前所未有，這也是一種必然，科學體系經過一代又一代研究者成年累月的積累，遲早會突破個人能掌握的極限，即使是天才。專業化、細分化，這是唯一的出路。而數學研究領域之廣闊，研究對象之豐富，研究方法之多樣，更是其他學科中少見的。這也造成了數學分支之間前所未有的隔膜。

2、數學的抽象性

除了專門化之外，數學還有一個其他學科少有的特點：高度的抽象化。

在歐拉的時代，數學表現成那種人人熟悉的數學式子；

在希爾伯特的時代，數學家們已不滿足於這種略顯簡單的抽象，決意利用更為抽象的語言將數學精確化，於是誕生了公理集合論；

在代數拓撲與代數幾何興起的時代，隨著代數拓撲與代數幾何的發展，公理集合論已經略顯繁瑣，數學家們引入更抽象的範疇，推廣出高階範疇（即使是無比複雜的結構，也被抽象為點與箭頭、箭頭之間的箭頭、箭頭之間的箭頭之間的箭頭，層次永無止盡）；

到了現在，興起了對一種名為「拓撲斯」的特殊而又更為抽象的範疇，某些數學家甚至希望用它來代替公理集合論作為數學的基礎。

數學的這種高度的抽象性決定了它很難被普通大眾所理解，有時甚至包括領域不相同的其他數學家們。

研究量子群論的數學家，絲毫不會擔心公理集合論中不可達基數的存在性會不會影響他的研究；埋頭苦幹納維-斯托克斯偏微分方程的研究生，多半也永遠不會用到範疇論中有關自伴逆變運算元的結論；即使是代數幾何的大拿，如果被問起隨機冪律圖的直徑分布，大概也只能搖搖頭。

正因如此，數學中跨領域的合作彌足珍貴，一個領域的數學工具如果能用在另一個領域中，常常也會帶來意想不到的驚喜。

3、數學的傳播困難

由於數學的專門性和抽象性，向一般大眾傳播有關數學的新知，常見的結局無非兩種：傳達的信息正確無誤，但讀者只能不明覺厲；傳達的信息過度簡化甚至歪曲，讀者讀得高興，自以為理解，實際上卻是謬種流傳。而在科技日新月異的今天，即使是身邊的技術，其中的包含的數學也早已非一般人能夠掌握。

對於現代的數學研究而言，高中數學不過是玩具，而大學中傳說掛了無數人的高數，也只不過是基礎中的基礎。但對於絕大多數人來說，高數已經遠遠超過他們所需要掌握的數學。在保持正確性的前提下，現代的數學研究即使經過高度簡化也難以為大眾所理解，這也是非常正常的事情。如何逾越這個障壁，將數學的美、數學的作用以及研究數學的樂趣向大眾傳達，走出新的道路，這是一個難題，也是一個必須思考的問題。

互聯網新貴們設立這個數學巨獎來獎勵數學家，也是這種數學傳播的一種嘗試。他們希望能將公眾的注意力吸引到數學研究上，讓更多的人關注數學、喜歡數學，從而間接地鼓勵未來的數學研究，還有未來的科技發展。

（本期責編：王芳）

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