為什麼0.1＋0.2不等於0.3？

在python的控制台也是輸出這個數：

在C裡面運行以下代碼，指定輸出小數位為57位：

printf("%.57f", 0.1 + 0.2);

將得到：

0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500000

那我們的問題來了，為什麼計算機計算的0.1加0.2會不等於0.3？

首先我們來看一下JS能夠表示最大數是多少，如下所示，列印Number.MAX_SAFE_INTEGER和Number.MAX_VALUE：

JS能表示的最大整數為9e16，能表示的最大正數為1.79e308，這兩個數是怎麼得來的呢？先來看一下整數在計算機的存儲方式。

我們知道計算機是使用二進位存儲數據的，整數也是同樣的道理，整數可以分成短整型、基本型、長整型，佔用的存儲空間分別為16位、32位、64位，如果操作系統是32位的，那麼使用長整型將會慢於短整型，因為一個數它需要分兩次取，而在64位的操作系統，一次就可以取到8個位元組或64位的數據，所以使用長整型不會有性能問題。另外，32位的操作系統內存只能識別到2 ^ 32 = 4G，而現在的電腦內存動不動就是8G、16G，所以現在的電腦基本都是64位的，不比前幾年。

32位有符號整型的存儲方式如下圖所示：

第一位0表示正數，1表示負數，剩下的31位表示數值，所以32位有符號整數最大值為：

即21億多，如果要表示全球人口，那麼32位整型是不夠的。同理，64位有符號整型能表示的最大值為：

這是一個19位數，mysql資料庫的id欄位就經常用長整型表示，那為什麼JS能表示的最大整數只有16位，而不是19位呢？這個要先說一下浮點型在計算機的存儲方式。

現在浮點型的存儲實現基本按IEEE754標準，符點數分為單精度和雙精度，單精度為32位，雙精度為64位。

在十進位裡面，一個小數如0.75可以表示成7.5 * 10 ^ -1，同樣地在二進位裡面，0.75可以表示成：

0.75 = 1.1 * 2 ^ -1

即0.75 = (1 + 1 * 2 ^ -1) * 2 ^ -1，其中冪次方-1用階碼錶示，而1.1由於二進位整數部分都是1，所以去掉1留下0.1作為尾數部分（因為都是1點多的形式，所以這個1就沒必要存了）。因此0.75在單精度浮點數是這樣表示的：

注意階碼要加上一個基數，這個基數為2 ^ (n – 1) – 1，n為階碼的位數，32位的階碼為8位，所以這個基數為127，8位階碼能表示的最小整數為0，最大整數為255，所以能表示的指數範圍為：(0 – 127) ~ (255 – 127)即-127~128，上面要表示指數為-1，需要加上基數127，就變成126，如上圖所示。

而尾數為0.1，所以尾數的最高位為1，後面的值填充0.

反過來，如果知道一個二進位的存儲方式，同樣地可以轉換成10進位，如上圖的計算結果應為：

(1 + 1 * 2 ^ – 1) * 2 ^ (126 – 127) = 1.5 * 2 ^ -1 = 0.75

那麼0.1又該如何表示成一個二進位呢？

由於0.75 = 1 * 2 ^ -1 + 1 * 2 ^ -2，剛好可以被二進位精確表示，那0.1呢？沒辦法了，0.1無法被表示成這種形式，只能是用另外一個數儘可能地接近0.1（同理1/3無法在10進位精確表示，但是可以在3進位精確表示，只是我們習慣了10進位）。

我們可以用一小段C代碼來研究一下0.1被存儲成什麼了，如下代碼所示：

因為C可以讀取到原始的內存內容，所以可以列印每位的數據是什麼。如上代碼列印的結果如下：

雙精度浮點數用11位表示階碼，52位表示尾數，如下圖所示：

尾數約為0.6：

由於這個精度不夠，我們要找一個高精度的計算器，如筆者找的這個：

有了這個尾數之後，再讓它乘以指數，得到結果為：

也就是說0.1的實際存儲要比0.1大，大概大了5.5e-17.

注意到，0.2和0.1的區別在於0.2比0.1的階碼大了1，其它的完全一樣。所以，0.2也是偏大了：

兩個數相加的結果為：

但是注意到0.1 + 0.2並不是上面的結果，要比上面的大：

這又是為什麼呢？因為浮點數相加，需要先比較階碼是否一致，如果一致則尾數直接相加，如果不一致，需要先對階，小階往大階看齊，即把小階的指數調成和大階的一樣大，然後把它的尾數向右移相應的位數。如上面的0.1是小階，需要對它進行處理，如下：

需要把0.1的小數點向右移一位變成：

向右移一位導致尾數需要進行截斷，由於最後一位剛好是0，所以這裡直接捨棄，如果是1，那麼尾數加1，類似於十進位的四捨五入，避免誤差累積。現在0.1和0.2的階碼一樣了，尾數可以進行相加減了，如下把它們倆的尾數相加：

可以看到，發生了進位，變成了53位，已經超過了尾數52位的範圍，所以需要把階碼進一位，即指數加1，兩數和的尾數右移一位，即除以2，由於尾數的最後一位是1，進行「四捨五入」，即捨棄最後一位後再加上1，最後尾數變成了如下圖所示：

而指數加1，變成了-2，所以最後的計算結果為：

這個就和控制台的輸出一致了，並且和C的輸出完全一致。到此，我們就回答了為什麼0.1加0.2不等於0.3了。上面還提出了兩個問題，其中一個是：為什麼JS的最大正數是1.79e308呢？這個數其實就是雙精度浮點數所能表示最大正值，如下使用python的輸出：

那為什麼JS的最大正整數不是正常的64位的長整型所能表示的19位呢？因為JS的正整數是用的尾數的長度表示的，由於尾數是52位，加上整數的一位，它所能表示的最大的整數為：

為什麼JS要用這種方式呢？因為JS的整型和浮點型在計算過程中可以隨時自動切換，應該是考慮到了這個原因，所以才拿浮點型的大小限制來做整型大小的限制。

由於後端的資料庫的ID欄位可能會大於這個值，如果傳來了一個很大的數，在調JSON.parse的時候將會丟失精度，ID就不對了，所以如果出現這種情況，應該讓後端把ID當成字元串的方式傳給你。

但是會有一種情況精度要求很高，15位精度會不夠用，例如計算天體運算。那怎麼辦呢？有一種絕對精準的方式就是用分數表示，例如0.1 + 0.2 = 3/10，計算的過程和最後的結果都用分數表示，分數的結果，你需要精確到多少位都可以取到。這個在matlab/maple等科學計算軟體都有實現。

最後怎麼判斷兩個小數是否相等呢？用等號肯定是不行的了，判斷兩個小數是否相等要用它們的差值和一個很小的小數進行比較，如果小於這個小數，則認為兩者相等，ES6新增了一個Math.EPSILON屬性，如比較0.1 + 0.2是否等0.3應該這麼操作：

作者：會編程的銀豬

原文：http://www.renfed.com/2017/05/13/float-number/

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