讀吳文俊口述自傳——《走自己的路》，緬懷數學大師

編按：5月7日中國科學院數學與系統科學研究院發布訃告稱：中國共產黨優秀黨員、我國著名數學家、中國科學院院士、首屆國家最高科技獎獲得者、中國科學院數學與系統科學研究院研究員吳文俊先生因病醫治無效，於2017年5月7日7時21分在北京不幸逝世，享年98歲。 大師隕落，中國數學又少了一位大師級的人物，今天我們推送林開亮博士的這篇書評文章，以此緬懷這位已逝的數學大師。

林開亮（首都師範大學數學博士，目前任教於西北農林科技大學理學院）

本文最初發表在《中國數學會通訊》，感謝中國數學會通訊和中國數學會授權轉載！

最早聽說吳文俊先生的大名，是在上大學時，同學跟我講起，中科院數學所有個能人，能夠同時「左手畫圓，右手畫方」，而且出來的東西都是方方圓圓的。當時就覺得這人有點像左手與右手打架的老頑童。最近讀了他的口述自傳，更是印證了當時的想法，且看這一段：

還有一次，我們在美國西部，我跟皮特森說，我要好好玩一下，要一路坐「灰狗」，就是長途汽車，從西部一直玩到東部。聽我這麼說，他嚇壞了，馬上說：「不行不行，你年紀大了，身體吃不消的。」

《走自己的路——吳文俊口述自傳》，吳文俊口述，鄧若鴻、吳天驕訪問整理，湖南教育出版社2015年出版

這是在上世紀80年代初，當時吳文俊先生也就60出頭。而今吳老就要奔100了！

吳文俊1919年5月12日出生在上海的一個知識分子家庭。1936年在上海正始中學畢業，獲得學校資助，被指定報考上海交大數學系。在大三，武崇林老師的實變函數課，將他帶入了現代數學新天地。不過他主要是靠自學，他下功夫讀了集合論、點集拓撲和代數拓撲。

他將自己的學習方法概括為三部曲：「讀」、「學」、「懂」。「讀」就是跟著書本走，「學」是合上書，自己來一遍，包括默誦出概念和定理，自己推導證明，以及做大量的習題。而「懂」則有三個要求：1.理清概念與概念之間的關係；2.思考定理與定理之間的關係；3.領悟某個概念或定理所處的地位和發揮的作用，探索這些新概念和定理與其他數學分支的聯繫。

1940年，吳文俊畢業，其論文是用力學方法證明帕斯卡定理，這是他大一就開始嘗試研究的題目。若干年後，已經成名的吳文俊寫了一本科普書《力學在幾何中的一些應用》，收入在著名的「數學小叢書」中。據林群院士說，華羅庚曾講「這本書比十篇論文都好」。

大學畢業後，吳文俊本來有機會去日本深造或謀職，但他憎惡日本人，根本未加考慮。後來經朋友介紹到育英中學教數學。回憶起當時的教學，他很慚愧：

記得教負負得正，我始終沒有講好過。有一次，在初一課堂上，我正在講負負得正，忽然後排有一個大個子，大叫一聲「湊得數」，嚇我一跳，弄得我好下不了台。至於負負得正，我不知道現在中學老師怎麼講的，如果現在我講，我會這樣講：「減掉一個負數就相當於加上一個正數」，這是我現在的講法。也許我那時「害」了不少人。

1941年底珍珠港事件爆發，之後日軍進佔各租界，育英中學解散，吳文俊失業。1942年夏，吳文俊在另一所中學找到工作。在課餘，他花了大量精力研究初等幾何，不過沒有什麼目標，僅僅是自娛自樂。不過他因此對初等幾何有了精深的理解，為他多年以後的幾何定理機器證明的研究打下了堅實的基礎。

自21歲大學畢業，吳文俊有五年半的時間在中學教加減乘除。1945年8月，抗戰勝利，吳文俊也終於迎來了人生的轉機。1945年底，同學趙孟養把上海交大一個助教的位置讓給他，終於讓他從枯燥的中學教師生活中解脫出來。趙孟養還將吳文俊先後介紹給朱公瑾和周煒良。朱公瑾是德國哥廷根大學柯朗的博士，回國後寫過大量科普文章，吳文俊是「每篇必讀」。周煒良也是留德歸國的博士，當時已經是知名的代數幾何學家，但是為經濟所迫，已經中斷數學研究近十年。吳文俊曾拿自己的一篇論文給周煒良看，周煒良的評語是「殺雞焉用牛刀」，這讓吳文俊頗為震動。

決定性的見面是見陳省身先生，這也是趙孟養安排的。當時陳省身從普林斯頓高等研究所訪學回來，奉命在上海籌辦中央研究院數學研究所。吳文俊當時帶來一篇自認為不錯的論文給陳省身看，陳省身看了以後把稿子退給了吳文俊，告訴他「不對，你這個方向不對，你這個就只是邏輯推理，因為所以因為所以的，沒什麼意義。數學不應該這樣做。」吳文俊臨走時提出，希望能夠到中央研究院跟陳省身做研究。陳省身只是說：「你的事我會記在心上。」不多久，陳省身找到吳文俊，告訴他已經被接收到中央研究院數學所。

陳省身下大力氣，從各個大學招來優秀的畢業生，在數學所建立起一支年輕的拓撲隊伍。他親自講授代數拓撲，從最簡單的具體情形—曲面—講起，令吳文俊等茅塞頓開。不到一年，吳文俊就作出了他第一個研究工作，即惠特尼乘積公式（Whitney product Formula）的證明。陳省身非常欣賞吳文俊的這一工作，多次在著作和文章中提及吳文俊的這一貢獻。惠特尼見到吳文俊的論文後說：「我的證明可以扔進廢紙簍了。」惠特尼原本計劃就此證明寫一本專著的，吳文俊的工作一出來，他的書也就夭折了。吳文俊的證明只有幾頁。經後人處理，惠特尼乘積公式現在已作為示性類的公理，當然這也掩蓋了吳文俊的優美證明的光彩。

吳文俊在中央研究院只待了一年，1947年吳文俊收到教育部的錄取通知，考取了中法交換生項目，當年數學一共四個名額，吳文俊考了第一，其他三人是嚴志達、田方增和余家榮。10月，吳文俊登上了去歐洲的輪船，歷時一個多月抵達法國。陳省身原本安排他師從小嘉當（H. Cartan）攻讀博士學位，然而不巧當吳文俊抵達斯特拉斯堡（法德邊境的小城）大學時，小嘉當已經被召回巴黎。於是在陳省身先生的建議下，吳文俊跟隨斯特拉斯堡大學的埃瑞斯曼（C. Ehresmann），他是老嘉當（E. Cartan）的學生，研究方向跟陳省身基本類似，因此更適合吳文俊。嚴志達也在埃瑞斯曼門下學習。

自投入埃瑞斯曼門下一年多的時間裡，吳文俊在拓撲學領域接連得到了若干「驚人」的結果，甚至驚動了當時拓撲學界的大權威霍普夫（H. Hopf）。當時拓撲學界對惠特尼和龐特里亞金（Pontryagin）關於二維示性類分別給出的某個公式不能判斷誰對誰錯，而名不見經傳的吳文俊居然斷言三維示性類等於零。霍普夫就親自帶了在瑞士的幾個助手來找埃瑞斯曼「興師問罪」。埃瑞斯曼不敢怠慢，於是把吳文俊「交」了出來。吳文俊最終令霍普夫信服了，此二人的公式僅僅只有形式上的差別，其實質是一樣的。霍普夫非常高興，之後還邀請吳文俊訪問他。

1949年初，埃瑞斯曼認為吳文俊的工作已經足夠授予學位了。7月，吳文俊通過博士論文答辯，獲得了法國國家博士學位。同年秋，吳文俊前往巴黎，跟小嘉當做研究。

在斯特拉斯堡和巴黎，與吳文俊經常切磋琢磨的，有後來榮獲菲爾茲獎的托姆（R. Thom）。托姆獲獎主要是憑藉他所創立的配邊理論，而出發點則是吳文俊介紹給他的關於龐特里亞金示性類的一條重要性質——當一個流形是另一個流形的邊界時，其龐特里亞金示性類等於零。托姆也向吳文俊介紹了自己的強項，後來啟發吳文俊開創了示嵌類理論。吳文俊多次表達出對托姆的欽佩，例如，在推薦龔昇教授的簡明微積分時，吳文俊提到：

龔異教授強調指出，這一Stokes公式正好是單變數情形的Newton-Leibniz微積分基本公式在多變數情形的推廣。

認識這一點並非易事。

首先是定向的概念。法國著名的拓撲學家托姆教授，曾經對本人表達過這樣的意見：定向概念是幾何拓撲中最有深刻意義的偉大創造之一。對於托姆先生的卓識，本人深為欽服。

1950年春，吳文俊和托姆之前的討論開花結果，吳文俊在示性類方面取得了突破性成果，定義了後人命名的「吳示性類」、建立了兩個公式，揭開了示性類的神秘面紗，為示性類的應用鋪平了道路。成果出來後，小嘉當在討論班上點評道：「這簡直像變戲法，像魔術一樣。」他的博士導師埃瑞斯曼也特地從斯特拉斯堡趕到巴黎向吳文俊道喜。

法國的拓撲學原本一直落後於美國——以惠特尼、莫爾斯（M. Morse）、斯汀諾德（N. Steenrod）、萊夫謝茨（S. Lefschetz）等為代表——和蘇聯——以亞歷山大洛夫（P. S. Alexandrov）和龐特里亞金為首，1950年則一下子成為了拓撲中心了。除了吳文俊以外，當時還有幾位年輕新秀，分別是托姆、塞爾（J. P. Serre）和博萊爾（A. Borel，瑞士人，當時在Jean Leray門下讀博士）。托姆、塞爾當時是小嘉當的博士，吳文俊相當於是小嘉當的博士後。這四個人在拓撲學方面轟動性的工作，引發了數學界的「拓撲地震」。

在巴黎，吳文俊還參加了著名的布爾巴基（N. Bourbaki）討論班，小嘉當、埃瑞斯曼、塞爾和博萊爾都是其中的骨幹。1951年7月，吳文俊回國。1958年當他重訪法國時，朋友們對他說，你若是晚走幾個月，也許1954年的菲爾茲獎就給你了。事實上，那一年的菲爾茲獎給了塞爾和小平邦彥（Kunihiko Kodaira）。不過吳文俊認為，更可惜的是，當時在法國對一些重要工作已經有了頭緒，回國以後由於種種原因卻沒能完成。

回國後，吳文俊到北大任教，這是北大數學系主任江澤涵「預定」的。江澤涵是國內第一個拓撲學家，師從哈佛大學的莫爾斯。到北大不久，1952年春「思想改造運動」開始，其對象主要是知識分子，江澤涵成為重點批判對象，吳文俊處境尷尬，又加上他在北大講課不太成功，所以當中科院成立數學所時，他決定去借全國院系調整的機會，轉到數學所工作。

1952年12月，吳文俊正式調入數學所。數學所的負責人主要有兩位：華羅庚和關肇直。就個人交情而言，同是從法國留學歸來的關肇直對吳文俊更加照顧，關肇直對吳文俊的影響也更大。不過吳文俊對華羅庚有極高的評價，他說1：

我認為華羅庚對中國數學的發展是有功之臣，中國數學到現在這個地步，華羅庚先生是起了很大的作用。中國的近代數學有兩大功臣，當然其餘的也有，都是對中國數學起著一定推動作用的，不能漠視他們的功勞。但功勞最大的，是兩個人，一個陳省身，一個華羅庚。華先生不像陳省身，陳省身到美國去了，可以專心做數學，而華羅庚的環境很複雜，我覺得他很了不起。華先生有許多「眼光」，雖然有一些他沒有能夠完成，但他的眼光我很佩服。……我很是佩服華羅庚，陳省身對我個人的影響是沒有人能人比的。但陳省身和華羅庚兩個人比較起來，我更推崇華羅庚。陳省身在外國條件好，沒有那麼多麻煩，而華羅庚要困難得多。

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1.吳文俊在學術上追隨陳省身，可在是否回國這個人生選擇上，他與華羅庚做了同樣的決定。據王詩宬院士透露，（見「我心目中的吳文俊」，收入《吳文俊與中國數學》）早在1950年初，吳文俊就被普林斯頓大學聘為終身教授，但他在祖國的召喚下謝絕了。

若不是關肇直力挺吳文俊，也許吳文俊本人也會遭遇許多麻煩。進入數學所的頭5年（1953-1957）內，吳文俊潛心研究拓撲學，開創了示嵌類的研究。這一工作以及之前關於示性類的工作，使他獲得了1956年的國家自然科學獎一等獎（當時一等獎僅有三個，其他兩個得主是華羅庚和錢學森）。據說吳文俊的得獎，與蘇聯拓撲學家龐特里亞金的推薦有關。

1957年9月，吳文俊應邀到波蘭和法國訪問講學，1958年6月回國。此時「大躍進」運動已經開始了。在「左」的思潮的引領下，科技界提出了一些口號，如「任務帶動學科」，這樣，純理論的研究全部停了下來。華羅庚的多復變停了，吳文俊的拓撲學也不讓搞了。吳文俊轉向運籌學，開始研究博弈論。他選擇這個主題，估計還是因為，納什曾經用拓撲學中的一條不動點定理來研究博弈論。吳文俊對納什的非合作博弈，有自己的理解，看出了其重要性，於是把研究重點放在這裡，很快就出了成果。

1961年下半年，當吳文俊正準備繼續鑽研下去時，時局又有了變化，7月中央出了政策，要求重視基礎研究。吳文俊被允許重回拓撲，然而他開始猶豫，示嵌類的研究雖然由他所創，但幾年過去，國外現在已經遙遙領先。於是，他為自己選擇了一片新領域：奇點理論。奇點理論1955年由惠特尼所創，托姆在1956年作出了系統發展，在拓撲學中還算比較新的。吳文俊在接下來的兩三年里又作出了一些成果，對有奇點的代數簇定義了陳示性類，這是一個很基本的問題。然而1964年「四清」運動開始，1966年「文革」爆發，一切又停了下來。

1958年中科院創辦了中科大，目標之一是為中科院培養輸送優秀的本科生。科大數學系當時實行「一條龍教學」，第一屆（1958年入學，1963年畢業）學生由華羅庚負責，稱「華龍」，第二屆和第三屆分別由關肇直和吳文俊負責，稱「關龍」、「吳龍」。吳文俊為他那屆學生講了兩年課，一年半的微積分，半年的微分幾何。這時吳文俊講課已經相當成功了。回憶起當年科大的微積分教學，吳文俊曾特別提到一個叫王啟明的學生：

當時可能是講《高等微積分》, 我不記得了, 應該是在二年級。我是根據一個德國人寫的教材來講, 因為我的德文比較在行。有一次上課, 王啟明跟我講, 說你講的內容是不是根據那個德國人的, 我想這個學生了不起啊, 他懂德文。因為我沒講過,他知道我講的內容是根據什麼來的, 我大吃一驚。還有一次, 在講課的時候, 王啟明說有一個地方講錯了, 他指出來, 我印象特別深刻。到後來專門化的時候, 學校說我可以自己挑三個學生，我就把他吸引到班上來講幾何拓撲，並讓他推薦另外兩個學生。王啟明推薦了李邦河和彭家貴。可是在向學校報人名的時候，彭家貴的名字我一下子想不出來了，一下子憋住了，所以彭家貴就沒有到我的專門化班上，可惜了。

王啟明後來跟我到了科學院……可惜王啟明到美國去，1989年出了車禍……王啟明這個人很了不起，人品也很好，非常正派，真是可惜了，否則他成為中國數學界的領袖是不成問題的。

儘管周煒良早在上世紀30年代就在代數幾何領域做出了突出成績，但直到在上世紀60年代，國內代數幾何領域幾乎空白。從1962年起，吳文俊開始自學代數幾何，並在1963秋在科大開課。他學代數幾何有自己的一套，抓住了代數幾何的要點——母點（generic point）這是周煒良的博士導師範德瓦爾登（B. L. van der Waerden）引入的概念。吳文俊一邊教學一邊研究，其研究成果和思路，後來在機器證明中起了重要作用。吳文俊當時所採用的范德瓦爾登的《代數幾何引論》後來也被翻譯成中文，收入到科學出版社的「數學名著譯叢」。

從1964年「四清」直到1976年「文革」結束，在長達12年的時間裡，吳文俊的數學研究基本處於停滯狀態。不過，在「文革」後期，數學所的副所長關肇直給吳文俊出了個主意：研究中國古代數學。當時江青正獨領風騷搞復古，穿唐裝，關肇直藉機提倡研究中國古代數學史。在此情勢下，吳文俊從1974年開始認真學習中國古代數學史。他先讀了一些通俗的入門著作，如特別令他受益的，有錢寶琮的《中國數學史》，之後又讀了一些古籍如《九章算術》和《周髀算經》。1975年，他復原了三國時期吳國數學家趙爽的《日高圖》的證明，令他非常激動，此後他下決心要好好學習和研究中國古代數學。1975年，他取筆名「顧今用」（寓意為古為今用），發表了第一篇中國古代數學的文章《中國古代數學對世界文化的偉大貢獻》。這篇文章在1979年5月被台灣的《數學傳播》以吳俊雄的化名私下轉載了。

在研究中國古代數學的過程中，吳文俊一直在思考一個問題：中國古代數學與西方數學的核心差別在哪裡？吳文俊發現：

機械化，貫穿中國古代數學的思想是機械化，中國古代數學的特點就是構造性和機械化。中國古代數學是著重解決實際問題，它的方法是「機械」的，跟西方數學的證明不一樣，靈機一動什麼的。中國古代數學不講這個，沒有什麼靈機一動，都是死板的。

這是我的發現，這是我真正讀懂了中國古代數學。

簡單的說，中國古代數學的精髓在於「算術」的「術」（「術」實際上就是「法」，算術即「演算法」，即程序），這在吳文俊的文章《對中國傳統數學的再認識》一文中說得更明白：

大體說來，中國數學的古典著作大都以依據不同方法或不同類型分成章節的問題集的形式出現。每一個別問題又都分成若干個條目。條目一是「問」，提出有具體數值的問題。條目二是「答」，給出這一問題的具體數值解答。條目三稱為「術」，一般來說乃是解答與條目一同一類型問題的普遍方法，實際上就相當於現代計算機科學中的「演算法」，但有時也相當於一個公式或一個定理。條目四是「注」，說明「術」的依據或理由，實質上相當於一種證明。宋元以來，可能是由於印刷術的發達，往往加上條目五「草」，記述依據「術」得出答案的詳細計算過程。

這裡應特別提出條目三「術」的作用。然條目一、二中的問與答都以具體數值表達，有時甚至術文本身也是如此，但不難看出所有術文都具有普遍意義。術文中即使帶有具體數值，這些數值並不起重要作用。如果以其他同類型的數值來代替，術文也依然行之有效。條目四的「注」或即證明也是如此。論證的正確性完全不依賴於原設數值的特殊性。例如，《九章算術》第九章勾股的第一、二、三的三個問題，都是以勾三、股四、弦五為例，知其二求其第三者。求法名為勾股術，術文曰：「勾、股各自乘，並而開方除之，即弦。」顯然，這是從勾股求弦的一般方法，與具體數值三、四、五無關。勾股術的注或即證明也是如此。因此，問、答或術文中的具體數值只起著一種舉例說明的作用，同時也指出了術即一般方法的來歷或動機。

吳文俊先生在中國古代數學史方面的見解非常透闢，有許多都值得我們中小學數學教師學習，比如他曾特別提到，中國古代數學最偉大的發明是位值制（十進位在商朝就有了）。

進行算術運算，首先要有一個可以表示出任意大的整數的方法。在中國古代，就為此而創立了完整的10進位位值制。世界古代各個民族，都有不同形式不同程度的進位制記數法，如巴比倫的60進位制，埃及與希臘的10進位制以及中美與南美瑪雅民族的20進位制等。但是他們的進位制有時是不完全的，更談不上位值制。至於印度，至少在~6~世紀以前，其以位值制的記數法，還沒有發現過。……位值制的數字表示方法極其簡單，因此也掩蓋了它的偉大功績。它的重要作用與重要意義非但為一般人所不了解，甚至眾多數學家對它的重要性也熟視無睹。而法國的數學家拉普拉斯（Laplace）則獨具慧眼，提出位值制應在一切有用的發明中列於首位。中華民族是這一發明當之無愧的發明者。中華民族應以創造出這一發明而引以自豪。

「文革」時期，吳文俊學習《毛澤東選集》，從中受到很多啟發。毛澤東有句話叫「你打你的，我打我的」，在吳文俊那裡就被解讀為，你國外干你國外的數學，我在國內尋我自己的道路、方法。那時吳文俊在研究了一段中國古代數學史後已經得到了啟示：不必照西方的道路走，要開闢新的道路。1976年文革結束後，他選擇了做機器證明，也是有感於他1971年在北京無線電一廠首次見識到計算機的威力。他決定以幾何定理的機器證明作為突破口。

機器證明的想法始於波蘭數學家塔斯基（A. Tarski），他1948年提出這個想法時還很年輕，不過他的演算法太複雜了，未能實現。而後對此有貢獻的，是西南聯大畢業的王浩（本科是數學，後轉向哲學），「數學機械化」就是他首先提出來的。不過王浩做的是邏輯定理的機器證明，而吳文俊要做的是幾何定理的機器證明（為的是省去證明幾何定理時各種想破腦殼的技巧），困難是全新的。當時國外一般拿這個沒辦法，不過吳文俊有辦法，他的想法也很簡單：幾何證明難，我們不直接碰它，先通過引入坐標將它代數化，而代數問題是可以機械化的！這就是所謂的機器證明的「吳方法」的基本思路，簡單直接。

有了基本想法後，吳文俊開始動手驗證，由於他沒有計算機，只好人腦當電腦，用「吳氏計算機」手算。1977年春節期間，吳文俊首次用手算成功驗證了他的機器證明幾何定理的方法的可行性。他的第一篇關於機器證明的論文《初等幾何判定問題與機械化證明》同年發表於《中國科學》，吳文俊特地為此文寫了一個附註，闡明機械化思想的起源：

我們關於初等幾何定理機械化證明所用的演算法，主要牽涉到一些多項式的運用技術，例如算術運算與簡單消元法之類。應該指出，這些都是十二至十四世紀宋元時期中國數學家的創造, 在那時已有相當高度的發展.詳細介紹可參閱錢寶琮的著作。事實上，幾何問題的代數化與用代數方法系統求解，乃是當時中國數學家主要成就之一，其時間遠在十七世紀出現解析幾何之前。

1978年與1979年之交，吳文俊又把他的方法推廣到微分幾何的機器證明。

1979年初，國門開放後，吳文俊和陳景潤作為首批的中國數學家應邀訪問普林斯頓高等研究院，《人民日報》還為此發了消息。吳文俊在美國待了5個月，先後做了10次報告，分別涉及拓撲學、中國古代數學和機器證明。報告頗得好評，吳文俊在機器證明方面的工作尤其引起聽眾——包括米爾諾（J. W. Milnor）、斯梅爾（S. Smale）等著名的純數學家——的興趣。

吳文俊在機器證明方面的工作得到國際同行的認可，他想把這領域在中國發揚光大，從1983年起，他開始招研究生，以培養新人（一如早年陳省身在中央研究院發展拓撲學）。1990年，吳文俊及其學派的工作得到了上面的認可，獲得了100萬的經費（當時是個大數目），成立了「數學機械化中心」。2002年，吳文俊與袁隆平一起獲得了首屆國家最高科技獎，2006年，吳文俊又與芒福德（D. B. Mumford）一起分享了邵逸夫數學獎。袁隆平曾透露，吳文俊中學時居然也不懂負負得正，這對許多怕數學的人來說，無異於一個天大的鼓勵：

記得有一件十分有趣的事，就是這次到北京，中央電視台對我和吳文俊先生做一個專訪。這是我們兩人頭一次見面，但卻是一見如故，相談甚歡。……我說起小時候數學成績不好，初中時向老師提問為什麼「負負得正」，到現在還是沒有弄清楚。吳老聽後大笑起來。後來聽說，原來他老先生在中學時對「負負得正」也是很不理解的。結果呢，他知難而進，成了大數學家。

筆者以為，近代中國重要的數學人物，除華羅庚、陳省身以外，當屬吳文俊。了解吳文俊，他的《走自己的路——吳文俊口述自傳》是首選。

最後：筆者想指出該書中的三個小問題：第1，p.135倒數第7行，「施祥林是老數學家，是陳省身的前輩」有誤，施祥林(1911-1988)跟陳省身是同輩，施祥林、陳省身都是清華的研究生，施祥林原本跟江澤涵學拓撲，但不知何故肄業，後來到美國哈佛跟惠特尼念博士。第2，p.137倒數第7行，說「蓋爾范德當時還沒什麼名氣」恐疑有誤，當時是1956年，而蓋爾范德1939年發表賦范環論的工作時就已經名氣很大了。第3，p.371倒數第4行，吳文俊先生講「張克庭的統計做得好，張克庭的方向就是中國統計學的正確發展方向」，此處「張克庭」似為「張堯庭」之誤。

致謝：感謝陳關榮教授、羅懋康教授和張漢雄教授對初稿提出批評與建議。

參考文獻：

[1]吳文俊，中國古代數學對世界文化的偉大貢獻，收入《吳文俊文集》，山東教育出版社，1986年。

[2]吳文俊，對中國傳統數學的再認識，收入《吳文俊論數學機械化》，山東教育出版社 1996年。

[3]吳文俊，龔昇教授《簡明微積分》讀後感，《高等數學研究》，1999年第二卷第3 期。

[4]胡作玄、石赫，《吳文俊之路》，上海科學技術出版社，2002年。

[5]姜伯駒、李邦河、高小山、李文林主編，《吳文俊與中國數學》，上海交通大學出版社，2016年。

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