大雅之美：數學物理學家心中的十大方程（上）

數學物理學家心中的十大方程

來源：中國數學會通訊

編輯：Gemini

「你認為最美的數學、物理方程是什麼？」當代十位大數學家、物理學家給出了他們自己的回答。這些回答構成了大雅之美（The Concinitas Project）的十篇文章。我們將分上下兩期，為讀者帶來這些大師對自己眼中最美方程的精彩解讀。

在本文中，你將讀到：

當代數學界的領袖阿蒂亞（Atiyah）爵士提供的答案是他與合作者發現的指標公式（最簡單的版本），並以建築之美來形容數學之美。

阿蒂亞的高足唐納森（Donaldson）則認為，描述電磁學的安培定律令他陶醉。他藉以成名的工作，則與安培定律之推廣——楊(振寧)-米爾斯方程有關。

以拓撲學的研究而成名的斯梅爾（Smale）對多項式求根的牛頓迭代法情有獨鍾，可以想見，當他得知30多年前他提出的猜想在2016年被解決時一定非常欣喜。

計算機科學家卡普（Karp）感興趣的，是著名的P=NP是否成立的問題，這是「理論計算機領域最核心的公開問題，是所有數學分支中最難的問題之一，因其難解而聞名於世。」

應用數學家拉克斯（Lax）提出的是支配流體運動的守恆律，「守恆思想之美，在於其基本性。」

你心中最美的方程是哪個？歡迎在評論區留言，給出你的選擇與理由，點贊數最高的3位將獲贈球禮。

1

指標定理

撰文 阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah）

翻譯 邵紅亮（重慶大學數學與統計學院）

校譯 林開亮

數學既是一門藝術，也是一門科學，而美在其中扮演至關重要的角色，這是數學家眾所周知的事實。偉大的德國數學家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）是我心目中的英雄。他說：「我的工作總是試圖將真和美統一起來，如果我必須做出抉擇，我常常選擇美。」我覺得他講得非常好。

數學是最精準的科學，它致力於發現真理，外爾的話似乎有些荒誕，甚至帶有挑釁的感覺——似乎只是一句半開玩笑的話。但是我相信，外爾講這句話時是非常認真的。在外爾的話中有一個明顯的悖論，我們尋求的雖然是客觀真理，可是任何時候，真理都是不確定的，是暫時的。然而美是一種主觀體驗，「情人眼裡出西施」，我們相信，美是指引我們找到真理的光亮。

何為數學之美？是否與藝術之美、音樂之美、詩歌之美類似？維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）表面上是一個嚴肅的分析學家，卻曾經說過：「如果沒有一顆詩人般的靈魂，就不可能成為完全的數學家。」

對門外漢而言，這樣的表達是難以理解的，然而我也曾經說過，著名的歐拉公式

極其簡潔且極具深度，無異於哈姆雷特的著名問題，「活下去還是不活……」

也許最可與數學比肩的一種藝術形式就是建築了，其中有充滿精美細節的宏觀視野，實體基礎和功能效用都是其本質組成。

我選擇這樣一個方程來闡釋我自己的工作美妙之處，它宏偉壯觀，富有歷史，與數學的許多分支有多重聯繫，包括：拓撲、幾何、分析。但是其表述之微妙，其簡潔性，使人們忽略了掩於其中的深度，只有真正領會的學者方能明白。

就像一座有三層塔的建築，這個方程有三項，這三項各自屬於數學的不同部分，卻以一種驚人的方式聯繫在一起。就像偉大的建築一樣，它也有自己的特徵，可以追根溯源至很久以前，展現了當今最先進的技術，同時又指向未來。

這個方程的前身與歷史上許多主流問題都有聯繫：歐拉的柯尼斯堡七橋問題、黎曼素數計數以及高斯測地。這些故事充滿詩意，然而未來與歷史同樣重要。許多主流分支已經消失，只有少數綿延至今。

大約四十年前，我發現了這個方程，自那時起，人們就發現它在基礎物理中有的令人神魂顛倒的驚人應用，這一點外爾應該是理解的，並且會很欣賞。事實上，其中許多關鍵的想法，都可以追溯到外爾本人的工作。

就我個人而言，我的方程體現了我與諸多同事的深入合作，包括：波恩的赫茲布魯赫（Fritz Hirzebruch），哈佛的博特（Raoul Bott），MIT的辛格（Is Singer）和孟買的帕托迪（Vijay Patodi），像許多天才詩人一樣，帕托迪也英年早逝。美是一種人生體驗，最美不過與朋友共賞。

邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah），英國數學家，菲爾茲獎和阿貝爾數學獎得主，曾任皇家學會主席，劍橋大學三一學院院長。他與伊薩多·辛格合作證明了著名的阿蒂亞-辛格指標定理。此定理在微分方程、復幾何、泛函分析以及理論物理學中均有深遠的應用，公認為20世紀最重要的數學成果之一。

2

安培定律

撰文 唐納森（Simon Donaldson）

翻譯 來米加（上海交通大學數學科學學院）

校譯 林開亮

我的很多研究工作涉及微分幾何中和數學物理相關的一些課題與四維空間拓撲的交叉。黑板上的內容，是想部分地通過與三維空間類比，來闡明其中的一些想法。

圖示的主題是電磁學的安培定律，這圖大概跟讀者在標準物理課本中所見的類似。左上用粗體白線表示電流J流過一個封閉線圈。小的箭頭則表示電流所產生的磁場B。在二維，這對應於將鐵屑散落在一張紙上所形成的圖樣。磁場在每點都有定義，因此我們應該想像，每一點都有一個小箭頭表示磁場，只不過在圖示時我們只畫出一些作示意。上圖中這個基本的物理現象，用普通的語言來陳述就是，電流產生的磁場方向「環繞」線圈，安培定律則對此給出了一個精確的定量刻畫。

向量場這個概念，比如磁場（或者電流，看作被局限為沿著線圈），是19世紀早期數學物理中一個非常重要的觀念進展。它為描述電、磁、重力等提供了一個統一的框架。這其中有一個重要的概念是，向量場通過某一曲面的通量。數學上，這個定義由曲面積分給出；而直觀上，可以把向量場想像成某個流體在每點的流速，那麼通量就是流體流過該曲面的流速。

安培定律的 「積分形式」可表述為：由電流產生的磁場繞一曲面的邊界曲線的環量，等於電流通過該曲面的通量。黑板中心橫穿線圈的小圓盤給出了這樣一個曲面的示意。安培定律的「微分形式」，就是黑板右下方的一組方程：電流在空間坐標x,y,z下的三個分量，可以分別表為磁場在空間坐標x,y,z下的三個分量的導數之組合。

我想用黑板上的內容傳達出，我所認為的數學中的一些非常美妙的方面。左邊是圖片和文字，右邊是一組方程。他們是同一個事物的不同描述，引發不同角度的理解：圖形的和符號的。更進一步，這個圖示代表一個具體的物體——真實世界中的一個帶電流的銅線圈。數學家畫類似的示意圖，但是它可以不僅僅代表一個在三維空間中的一維線圈。通過想像，它也可以代表一個在七維空間中的三維對象，甚至是在無窮維空間中的對象。這種從我們物理直覺到抽象情形的拓展，具有顯著的有效性。在頭腦中，這種直覺的、圖形的、符號的和抽象的交互思維，非常美妙且令人愉悅。

所有這些和拓撲學（一種研究對象在連續形變下保持不變的性質的學科）又有什麼關係呢？示意圖中，打結的閉合線圈暗示著這種聯繫。一個扭結就是一個封閉線圈，但你無法通過連續形變（即不允許剪開和粘合）把它變為標準的圓圈。這是一種我們憑經驗可以理解、但在數學上不容易講清楚的概念。很容易想見，這樣的扭結可以極其複雜，從而使得拓撲學變得相當微妙。具體來說，存在一種扭結到四維空間的聯繫：扭結自身暗含了一種信息，它指明如何按一定的方式將標準四維空間構建粘合成一個新的四維空間。

黑板所示當然更多地側重於思想而非背後精確的數學。它想傳遞的思想是，研究一個扭結閉合電路產生的磁場，是與扭結以及四維空間的拓撲有關聯的。在過去的三十年間，確有許許多多契合這種思想的研究進展，儘管其細節不盡相同。例如，這些發展涉及將電磁場論推廣到「楊－米爾斯場」，以及與量子力學、量子場論建立聯繫。這一點用左下角的磁場通過一個小圓盤的通量來示意。（就作者所知）這個量在經典的電磁學中沒有什麼意義，但在磁場與電子的「波函數」相互作用的量子理論里是核心。

三維和四維有什麼特殊之處呢？這在拓撲學中是個深刻的問題。結果表明，維數大於4的空間在許多方面都更容易理解。我們甚至無需搞清楚問題的具體含義，就可以通過所展示的方程式來體會三維的特殊性。右邊後兩個方程可以由循環重排頭一個方程的三個坐標x,y,z依次得到。這依賴於x,y,z中恰有三個對：(xy),(yz),(zx)。我們可以把電磁學形式地推廣到高維，但這樣磁場就不再是一個向量場，而是一個更複雜的對象。三維的特殊性就在於，磁場和電場同樣都是向量場。四維中有類似的推廣，也是基於四維特殊的拓撲性質。從本質上理解這些，是一個極迷人的問題，而我們目前大概也只是看到了最終真理的一些影子罷了。在這裡，我們還從中發現了數學的另一個美妙所在：不同領域之間產生的令人驚訝而神秘的聯繫，以及交織在那些看似簡單並充分理解中的完全未知的存在。

西蒙·唐納森（Simon Donaldson），英國數學家、倫敦帝國學院教授。他是菲爾茲獎得主，並獲得了邵逸夫獎和數學突破獎。他找到了四維流形的系列不變數，進而發現特定的四維流形容許無窮多個微分結構。

3

牛頓法

撰文 史蒂文·斯梅爾（Stephen Smale )

譯者 崔繼峰（內蒙古工業大學理學院）

校譯 賈挺傑、邵美悅

上圖中的表達式是牛頓法的一個數學描述。

早在牛頓之前，希臘人就用這一想法來求一個正數的平方根。自牛頓以後，人們常常用它迭代以求出方程f(x)=0的近似解。在我的早期數學生涯中，一個令我非常著迷的問題是：這個迭代法何以如此快速和有效，它的局限性又是什麼？

在f是一個多項式的特殊情況下，代數基本定理斷定方程f(x)=0有解。其解x可能是一個實數或者是一個虛數。在19世紀早期，高斯給出了上述定理的的一個基於演算法的證明，該演算法可以通過多次應用牛頓法來完成（不過他的證明有一處漏洞）。我1981年的文章《代數學基本定理和複雜性理論》（The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory）就是基於牛頓方法，並與高斯的想法有關聯。

複雜度（的計算）理論也許是計算機科學中的中心議題；在該理論中，稱某個問題是可馴服的（tractable），就是說，存在一個能求解此問題的多項式時間演算法，這裡的多項式時間是指，用比特來衡量的運算數目可以被輸入的數據的數目的一個多項式控制。一方面，我覺得複雜度的觀念很有啟發性；而另一方面，我發現，用這個框架並不能分析牛頓法的複雜度。

在上面提到的文章中，我用算術運算的數目以取代比特運算的數目，來度量牛頓法的複雜度。此外，數值分析中「條件數」的概念，在我對代數學基本定理的演算法分析中，發揮了重要作用。在這個新觀點下，我證明了牛頓法是可馴服的。

尋找一個多項式零點的問題，可以自然地推廣到一個多項式方程組的求解問題。在處理這個一般問題時，我與邁克·沙勃（Mike Shub）合作，發表了《貝祖定理的複雜性》（Complexity of Bezout s Theorem）的系列論文。我們的目標是，通過找到一種能在多項式時間內求出近似解的演算法，使該問題可馴服。遺憾的是，我們的努力以失敗告終，直到今天，它仍然是一個重要的公開問題。然而，彼得·比爾吉斯爾（Peter Burgisser）和菲利普·卡克（Felipe Cucker）最近發表於《數學年刊》（Annals of Mathematics）的文章，已經很接近該問題的解1。研究中，他們借鑒了卡洛斯·貝爾特蘭（Carlos Beltran）和路易斯·帕爾多（Luis Pardo）的研究思路，同時，牛頓法在他們的工作中無疑發揮了重要作用。

蘭諾·布萊姆（Lenore Blum）加入了我和邁克·沙勃的團隊，我們一起將計算機科學的圖靈機一般化，給予求零點研究以基本支持。我們的三人項目的相關實數演算法已根植於多項式時間，NP-完全性，可馴服性的環境，這一切非常有意義。最終，菲利普·卡克與我們合作撰寫了著作《複雜性與實計算》（Complexity and Real Computation）。對此，一個參考文獻是我的論文集第3卷（共650頁）。

約翰·濟慈（John Keats）寫道，「美即真，真即美……」他還寫道「美的東西永遠是賞心悅目的。」我在此補充一點，美是簡潔和深刻的。我希望，我的片言隻語會使你相信，牛頓法是大美的體現。

史蒂文·斯梅爾（Stephen Smale )，美國數學家，菲爾茲獎和沃爾夫獎得主。他成功解決了微分拓撲學中的高維龐加萊猜想，並創立了現代微分動力系統理論。

1.譯者註：這個問題是斯梅爾1998年提出的18個問題（Smale s problems，見維基百科）中的一個，在2016年已經解決（而不是像前面說的「未解決」），見Lairez, Pierre , A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time, Found Comput Math (2016)，1-28.

4

P=NP？

撰文 理查德·卡普（Richard M.Karp）

翻譯 龍暘靖（上海交通大學數學科學學院）

計算複雜度理論是理論計算機科學的一個分支，它主要關心機器計算效率的極限。計算複雜度理論主要研究需要大量的計算步驟來求解的問題。這些問題的輸入和輸出取自有限字母表中的字元串；輸入的長度不受限制。研究一個計算問題的核心是將其所需的計算步驟表達為以輸入的長度為自變數的函數。

有些計算問題的步數的增長速度非常快。以獨立集問題為例。該問題中圖是由一些點和線構成的對象，其中點稱之為頂點，線稱之為邊。對於一個給定的圖，如果某個由其部分頂點構成的集合中不存在有邊相連的兩個頂點，我們稱這個頂點集是獨立的。獨立集問題即給定一個圖和一個正整數n，判定這個圖是否包含大小為n的獨立集。所有已知的解決獨立集問題的演算法都有「組合爆炸」現象，即所需要的計算步數以圖的大小的指數級函數增長。另一方面，給定的頂點集是否是給定圖的獨立集卻很容易檢查。有很多問題都有這樣的二分性：即很難判定一個給定結構類型是否存在（存在性問題），卻很容易判定給定的結構是否為所求的類型（驗證性問題）。

解決存在性問題比解決其對應的驗證性問題困難是一個共識。例如，似乎很難決定一個拼圖是否可解。但是給定拼圖塊的順序，很容易驗證其是否為一解。同樣，數獨問題似乎很難解，但是很容易驗證給定的解。計算複雜度理論中給出了P和NP的精確定義：P問題是容易解決的存在性問題類，而NP問題 是容易驗證解的存在性問題類。人們一般認為驗證解比給出解要容易，因此似乎NP類真包含P類。但是這個論斷還沒有證明。P=NP是否成立是理論計算機領域核心的未解決問題2，並且是所有數學分支中最難的問題之一3，因其難解而聞名於世。

1972年我在一篇題為「組合問題之間的互約性」的文章中提出了一種數學技術，用它能證明成千上萬個從數學、科學、工程、商業和日常生活中產生的計算問題是等價的。這裡等價是指其中一個問題的有效的演算法能生成其他所有NP問題的有效演算法，因此如果P=NP，則問題完全解決，相反，如果P不等於NP，那麼這些問題都不容易解決。這類問題被稱為NP完全問題。NP完全是一個廣泛發生的現象，大多數應用中產生的組合問題屬於NP完全類，因此，它們極有可能很難解決。

我提出的這一數學技術源於多倫多大學的庫克（Stephen Cook）在1971年的一篇文章，這篇文章中證明了一個特定的問題，即命題邏輯中的限制性滿足問題（記為Sat）是NP完全的。他證明了任何NP類中的問題可以有效規約到Sat，即對於任意NP問題A，存在一個有效演算法可以把A中的任何實例轉化成一個Sat中等價的實例。因此，如果Sat容易解決，則每一個NP問題都容易解決。差不多同時，當時在蘇聯，現在是波士頓大學教授的萊文 （Leonid Levin）也證明了一個類似的結果。

在一篇1972年的文章中，我用有效規約樹來證明21個經典問題是NP完全的，從而證實了NP完全問題的普遍存在。主題圖通過規約樹展示了其中的13個問題之間的規約。規約樹的每一個的節點上標記一個NP問題，每一條邊表明上面的問題可以有效規約到下面的問題，要是下面的問題容易解決，則上面的問題也容易。如果這棵樹上的所有問題都是容易解決的，那麼Sat問題就是容易解決的，因此，由庫克的開創性結果可知，任何NP類中的問題都是容易解決的。

複雜度理論學家中比較盛行（並非全體接受）的看法是，P不等於NP，但是目前還沒有證明或者反證。也許某些聰明的年輕人受這篇論文的啟發，會找到攻克N和NP難題的辦法。

數學之美存在於多個層面：在對稱而精妙的數學曲線中、在曲面和組合結構中，也在邏輯微妙的數學證明中，抑或，如NP完全一例中，發現隱藏在看似無關的數學現象背後的單一準則，也美妙非凡。

理查德·卡普（Richard M.Karp），計算機科學家，圖靈獎得主，加利福尼亞大學伯克利分校教授。他在演算法方面有許多貢獻，尤其是「NP-完全」問題。

2.原文為open question,在數學上也譯為「公開問題」或者「開放問題」。有公開徵集解的含義。

3.理論計算機領域被認為是數學領域的一個分支。

5

守恆律

撰文 拉克斯（Peter Lax）

翻譯 龍暘靖（上海交通大學數學科學學院）

校譯 劉雲朋

守恆律是指某物理量(如質量、動量、能量等)在任何區域中的總量的增長率都等於單位時間內從該區域的邊界流入的或者產生的這種物理量的多少。這個思想因其基本而美。一旦將其細節具體化，就會得到很多不同的現象。支配流體的流的定律就是守恆律。

守恆律是理解衝擊波的關鍵。我於1945年在部隊的時候開始接觸衝擊波。當時我被派去Los Alamos參與（美國）原子彈計劃，而沒有去太平洋參與入侵日本，因為原子彈免去了入侵日本的必要。原子彈不能通過試錯的辦法來製造，所以算出炸彈引爆時產生的流極其重要。馮·諾依曼（Von Neumann）意識到這種計算非依賴計算機不可，這是他支持計算機的最初動力。當然他也意識到計算機在設計原子武器外的其他方面的重要性。

馮·諾依曼在數值計算中把衝擊波看作流體的一部分，而非其邊界，這是一個美妙而原創的想法。這樣處理帶有衝擊波的流既有力又簡單。許多人不知道，馮·諾依曼不僅僅是20世紀的理論數學家，而且是一位頂尖的應用數學家。

彼得·拉克斯（Peter Lax），匈牙利裔美國數學家，阿貝爾獎得主，在可積系統、流體動力學和激波、孤波物理學、雙曲守恆律等領域都取得了重大成就。

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