一道小學數學題，放網上2年沒人做出來，你試試看？

小學六年級

原題：1/60是哪兩個分數單位之差？有多少種？寫出所有的答案。

數學描述：1/60=1/()-1/()

以下為老蟬的小學生解答：

分解質因數方法的一般思路:

60=1*2*2*3*5 (這個1不能省略,否則,又變回特殊的思考方法了)

=1*60=2*30=3*20=4*15=5*12=6*10

能被60整除的數:

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60;

將以上沒有公約數的兩兩相減(大減小),可得:

重新排列一下得表一:

為了表達方便，我們用以下式子表示（其中字元x，y，x』，y』等並不涉及解方程,只是為了表達方便,演算法都是小學生會的加減乘除）：

1/60=1/x-1/y=(y-x)/xy=(x』-y』)/z=(x』-y』)/60*(x』-y』)

以

5-2,15-2;

5-3,10-3,20-3;

15-4;

12-5;

這一組為例，可以列出表二：

這一組的答案是：

24 40

35 84

36 90

42 140

44 165

51 340

52 390

同理可得表一中第一列的答案為：

10 12

12 15

15 20

20 30

30 60

表一中第一行(除去2-1)的答案為：

40 120

45 180

48 240

50 300

54 540

55 660

56 840

57 1140

58 1740

59 3540

下面是李駿先生提供的一般解

關於任意自然數倒數表為兩個自然數倒數差的解集

作者：李駿

引理1 設任意自然數n，1/n = 1/a – 1/b(1)（其中a，b為自然數）的解集為N；而n的互素的因子對的集合為M，則|N| = |M|。

證明：設a,b為1/n = 1/a – 1/b的一個自然數對解，a,b的最大公約數（a,b）= r，令

a=r*a1，b=r*b1

則1/n = 1/r(1/a1– 1/b1) 或 n = r*a1*b1/(b1-a1)（2）

因為b1-a1不能整除a1*b1 否則

因(a1,b1)=1，則有（b1-a1）|a1 or (b1-a1|)|b1這都將與(a1,b1)=1矛盾

所以必有(b1-a1)|r 從而（2）式可表為 n = k*a1*b1 , k=r/(b1-a1)

因而 a1,b1是n的因子，而且（a1,b1）= 1 ,所以 a1,b1 屬於 M

就是說，N中的任意一個a,b都可以找到一個對應的 a1,b1 屬於M

另一方面，對於任意的 a1,b1 屬於M，我們可以構造一個(1)的解。

a1,b1最小公倍數[a1,b1] = a1*b1/(a1,b1)=a1*b1 ，而顯然n是a1,b1的一個公倍數，所以有a1*b1|n

不放假設 b1>a1，令k=(b1-a1)*n/(a1*b1)，a=k*a1, b=k*b1，則有

1/a-/1/b = (b1-a1)/(k*a1*b1)=1/n

這樣a,b屬於N

綜上，N與M之間是一一對應關係，所以|N| = |M|

引理2 設自然數n 的因子分解式為p1r1*p2r2*…ptrt，其中pi為不同的素因子，ri為對應指數，則n的互素因子對的集合M的元素個數為|M|= 1/2[(2r1+1)…(2rt+1)-1]（3）.

證明：我們對素因子個數t用數學歸納法。

t=1，的時候n只有一個素因子，不放設 n=p1r1，則顯然n的素因子對只能是1，p1 …，

1， p1r1 這r1個，因此 |M|=1/2[(2*r1+1)-1]=r1 成立.

假設t=m-1成立，那麼當t=m時，n 多了一個素因子pm，指數是rm

考慮n的全部素因子對集合M，可以分成三部分組成，第一部分M1不含任何因子pm，相當於t=m-1的情形，顯然|M1|=1/2[(2r1+1)…(2rm-1+1)-1]

第二部分M2包含素因子pm，由於要求互素因子對，所以因子對中只可能有一個包含pm，

M2=任何第一部分M1的因子對中有一個因子乘上某個pmriri=1,…,rm

一共有2*rm*|M1|種組合。

還有一部分是M3，僅有1，pmrii=1,…,rm組成，一共有rm種組合。

顯然 M1，M2，M3相互的交集為空。

所以|M| = |M1|+|M2|+|M3| = (2*rm+1)|M1|+rm

= 1/2(2*rm+1)[(2r1+1)…(2rm-1+1)-1]+rm

=1/2[(2r1+1)…(2rm-1+1)(2rm+1)-1]

因此，對於t=m假設也成立，

所以對於任意的因式分解，即對於任意自然數n，（3）都成立。

定理1設任意自然數n，1/n = 1/a – 1/b (1)（其中a，b為自然數）的解集為N，則|N| = 1/2（d(n2)-1）.其中d()為Dirichlet除數函數.

證明：設n 的因子分解式為p1r1*p2r2*…ptrt，其中pi為素因子，ri為對應指數，

則n2 = p12r1*p22r2*…pt2 rt

根據Dirichlet除數函數定義 d(n2) = (2r1+1)…(2rt+1)，由引理1,2即可得證。

例子．

1. n=60

因為 60 = 22*3*5

所以解數為 1/2[(2*2+1)*(2*1+1)(2*1+1)-1] = 22

2. n=6000

6000 = 24*3*53

所以解數為 1/2[(2*4+1)*(2*1+1)(2*3+1)-1] = 94

關於(1)的解集，實際上由引理1的方法可以由n的互素因子對構造出來。

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