數學之美：垂心的各種優雅的性質

下面這些文字來源於我在初三數學競賽課的一份講義。這節課的主題本是四點共圓，但由此引出了三角形中很多漂亮的性質，讓人深感數學之美。在此整理出來，獻給所有還在中學讀書的讀者，以及早已遠離中學數學的 80 後。不管大家是否喜愛數學，想必都會被這些奇妙的結論所震撼。

三角形的奇蹟首先表現在各個「心」上：三角形內部的每一組有幾何意義的線條都交於一點。三條角平分線交於一點，這個點就叫做三角形的「內心」，它是三角形內切圓的圓心；三邊的中垂線交於一點，這個點就叫做三角形的「外心」，它是三角形外接圓的圓心；三角形的三條中線也交於一點，這個點叫做三角形的「重心」，因為它真的就是這個三角形的重心。用力學方法可以很快推導出，它位於各中線的三等分點處。這些心將會在本文後面某個出人意料的地方再次出現。

三角形的三條高也不例外——它們也交於一點，這個點就叫做三角形的垂心。

垂心看上去很不起眼，但深入研究後即會冒出很多奇妙的結論。由於兩個斜邊重合的直角三角形將會產生出共圓的四點，因此畫出三角形的三條高後，會出現大量四點共圓的情況，由此將挖掘出一連串漂亮的結論。讓我們先來看一個簡單而直接的結論：

定理：若 D 、 E 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足，則 ∠1 = ∠2 。

證明：由於 ∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A 、 C 、 D 、 F 四點共圓，因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理，由 A 、 B 、 D 、 E 四點共圓可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。

如果把三邊垂足構成的三角形稱作「垂足三角形」的話，我們就有了下面這個聽上去很帥的推論：

推論：三角形的垂心是其垂足三角形的內心。

證明：因為 AD 垂直於 BC，而剛才又證明了 ∠1 = ∠2，因此 ∠3 = ∠4 ，即 HD 平分 ∠EDF 。類似地， HE 、 HF 都是 DEF 的內角平分線，因此 H 是 DEF 的內心。

另一個有趣的推論如下：

推論：將 ABC 沿 AC 翻折到 AB』C ，假設 EF 翻折到了 EF』 ，則 EF』 和 DE 共線。

證明：這可以直接由上圖中的 ∠1 = ∠2 推出。

1775 年，Fagnano 曾經提出了下面這個問題：在給定的銳角三角形 ABC 中，什麼樣的內接三角形具有最短的周長。這個問題就被稱作「Fagnano 問題」。 Fagnano 自己給出了答案：周長最短的內接三角形就是垂足三角形。下面我們就來證明這個結論。

定理：在 ABC 的所有內接三角形中，垂足三角形 DEF 擁有最短的周長。

證明：像上圖那樣，把三角形翻折五次，得到折線段 DEF1D2E2F3D4 。這條折線段的總長度等於內接三角形 DEF 周長的兩倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性質可知，這條折線段正好組成了一條直線段。另外，注意到如此翻折之後， BC 和 B2C2是平行且相等的，而且 D 和 D4 位於兩線段上相同的位置，因此從 D 到 D4 的折線段總長以直線段 DD4 最短。這就說明了，垂足三角形 DEF 擁有最短的周長。

不過，這還不夠震撼，垂心還有不少的本事。四點共圓還會給我們帶來其它的等角。

定理：若 D 、 E 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足，則 ∠1 = ∠2 。

證明：由於 ∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B 、 F 、 H 、 D 四點共圓，因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。

這將給我們帶來了下面這個非常漂亮的推論。

推論：把 ABC 的垂心 H 沿 BC 邊翻折到 H』 ，則 H』 在 ABC 的外接圓上。

證明：由於 H 和 H』 沿 BC 軸對稱，因此 ∠H』 = ∠1 。而前面已經證明過了， ∠1 = ∠2 。因此， ∠H』 = ∠2 。而 ∠H』 和 ∠2 都是 AC 所對的角，它們相等就意味著 A 、 C 、 H』 、 B 是四點共圓的。

換一種描述方法，這個結論還可以便得更酷：

推論：把 ABC 的垂心 H 沿三邊分別翻折到 H1 、 H2 、 H3 ，則 A 、 B 、 C 、 H1、 H2 、 H3 六點共圓。

證明：這可以直接由前面的結論得到。

另一個更加對稱美觀的結論如下：

推論：若 D 、 E 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足， H 是垂心，則 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

證明：做出 ABC 的外接圓，然後延長 HD 、 HE 、 HF ，它們與外接圓的交點分別記作 H1 、 H2 、 H3 。前面的結論告訴我們， HH1 = 2HD ， HH2 = 2HE ， HH3= 2HF。而相交弦定理（或者圓冪定理，可以用相似迅速得證）告訴我們， AH·HH1= BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同時除以 2 ，就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

讓我們再來看一個與外接圓有關的定理。

定理：若 D 、 E 、 F 分別是 ABC 三邊的高的垂足， H 是垂心。過 C 作 BC 的垂線，與 ABC 的外接圓交於點 G 。則 CG = AH 。

證明：我們將證明四邊形 AHCG 的兩組對邊分別平行，從而說明它是一個平行四邊形。注意到 CG 和 AD 都垂直於 BC ，因此 CG 和 AD 是平行的。由於 ∠BCG 是直角，這說明 BG 是圓的直徑，也就說明 ∠BAG 也是直角，即 GA 垂直於 AB 。而 CF 也垂直於 AB ，所以 AG 與 CF 平行。因而四邊形 AHCG 是平行四邊形， CG = AH 。

它也能帶來一個更帥的推論：

推論：若 H 是 ABC 的垂心，O 是 ABC 的外心，則 O 到 BC 的垂線段 OM 與 AH 平行，並且是 AH 長度的一半。

證明：前面我們證明了，上圖中的 CG 與 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圓的直徑， BG 的中點就是圓心，也就是 ABC 的外心 O 。垂線段 OM 是 BCG 的中位線，它平行且等於 CG 的一半，從而也就平行且等於 AH 的一半。

好了，下面大家將會看到的就是初等幾何的瑰寶：

推論：三角形的垂心、重心和外心共線，且重心在垂心和外心連線的三等分點處。

證明：把 AM 和 HO 的交點記作 X 。剛才我們已經證明了， AH 與 OM 平行，且長度之比為 2:1 。因此， AHX 和 MOX 相似，相似比為 2:1 。由此可知， HX:XO = 2:1 ，即 X 在線段 HO 的三等分點處。另外， AX:XM = 2:1 ，也就是說 X 在三角形中線 AM 的 2:1 處。這說明， X 正是三角形的重心！

任意給定一個三角形，它的垂心、重心和外心三點共線，且重心將垂心和外心的連線分成 1:2 兩段。這個美妙的結論是大數學家 Euler 在 1765 年時發現的，它是眾多「Euler 定理」的其中之一。

說到 Euler 定理，九點圓是不能不提的；不過由於篇幅有限，也就到這兒為止了。垂心的性質還有很多，很難在一篇文章里把它們講完。而且，這還僅僅是與垂心相關的定理，三角形中的心還有很多很多。1994 年，美國數學教授 Clark Kimberling 開始收集歷史上被數學家們研究過的三角形的心，並建立了「三角形中心百科全書」的網站。這個網站記錄了幾乎所有目前已知的三角形的心。在這部百科全書里，每個三角形的心都有一個編號，編號為 n 的心就用符號 X(n) 來表示，其中 X(1) 到 X(8) 分別為內心、重心、外心、垂心、九點圓圓心、類似重心、 Gergonne 點和 Nagel 點。不但每個心都有自己獨特的幾何性質，各個心之間還有大量共線、共圓的關係。

這個網站的地址是：

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html。

目前，整個網站已經收集了3000多個三角形的心，且這個數目還在不斷增加。

* 來源：Matrix67博客

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