物理學家大栗博司寫給女兒的數學啟蒙書《用數學的語言看世界》

這幾天看了一本新書《用數學的語言看世界》，作者是日本物理學家大栗博司，他可能在物理方面成就更大些，但對數學的理解也很深刻。

這本書是作者寫給女兒看的，所以和一般的科普書拼拼湊湊有很大不同。這本書不在於羅列多少知識點，而是側重於：

用數學的眼光觀察現實世界,

用數學的思維分析現實世界,

用數學的語言表達現實世界。

拋硬幣的獨立性

如果拋一個硬幣，拋了10次，都是正面朝上，那麼接下來拋第11次，你怎麼看？

肯定有人會說，下一次和前面10次無關，那麼正面反面的概率都是1/2。

確實，我們的中學教科書也是這樣說的。

問題是，教科書為了簡化，總是假設硬幣是正反面無差別的理想硬幣。現在拋10次都是正面，說明這個硬幣很大可能是存在問題的，並不是理想硬幣。

基於這個硬幣的前期表現，我們完全有理由猜測下一次還是正面的可能性比較大。

本書的第一章就是講如何利用貝葉斯定理，從不確定的信息里作出判斷。書里舉了很多翔實的案例，下面列舉其一。這一案例是真實案例，曾經影響很大。

本書的第二章講回歸基本原理，以便更深層次的認識。

華羅庚說過：複雜的問題要善於「退」,足夠地「退」,「退」到最原始而不失去重要性的地方,是學好數學的一個訣竅。

負負得正，如何理解，這是一大難題，作者認為應該回到基礎。

負數的基本性質就是，對於任意a，都存在-a，使得a+(-a)=0。

書里還有這樣一段對話。

採訪者：您最近在接受採訪時給追求創新的年輕人提了一個建議，提到了不去模仿他人，從基本原理思考問題的重要性。您可以再稍微具體地談一下這點嗎？

馬斯克：我們在平時的生活中一般不會從基本原理去思考問題。那麼做的話，我們在精神上會受不了。所以，我們人生的大部分時間是在類推或模仿他人中度過的。不過當我們要去開闢一個新的領域，或者從真正意義上去創新時，必須得從基本原理出發。任何領域都一樣，先要去發現這個領域中最基本的真理，然後再重新思考。實現這個過程需要精神上的努力。我舉個例子吧，回歸基本原理在我的火箭事業中就發揮了作用！

後面的章節也很精彩。譬如第九章，講高次方程的求解。

解不同的方程，難易不一樣，如何建立評價難易程度的標準？

一元二次方程為什麼有解？你可以把解算出來給人看。所以說有解好辦。

史學界的名言，斷有易斷無難。而要判定一元五次方程沒有根式解，這就難了。如何從二次方程受啟發，深入研究對稱性，引出群這個概念，進而開創一個新的數學分支……

看看阿貝爾、伽羅瓦是如何做到的

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《用數學的語言看世界》目錄

第1章 從不確定的信息中作出判斷

序歐·傑·辛普森審判與德肖維茨教授的辯護主張

1.先來擲骰子

2.賭博中的不敗之法

3.條件概率與貝葉斯定理

4.乳腺癌檢查是否沒有意義？

5.用數學來「學習經驗」

6.核電站重大事故再次發生的概率

7.歐?傑?辛普森真的殺害了妻子嗎？

第2章 回歸基本原理

序創新與創造的必要條件

1.加法、乘法與運算三定律

2.減法與0的發現

3.(.1)×(.1) 為何等於1 ？

4.分數與無限分割

5.假分數帶分數連分數

6.用連分數製作曆法

7.過去不被認可的無理數

8.二次方程的華麗歷史

第3章 大數字並不恐怖

序最初的原子彈爆炸實驗與「費米問題」

1.大氣中的二氧化碳究竟增加了多少

1.1人類消耗了多少能量

1.2人類排放了多少二氧化碳

2.遇到大數字不必慌張

3.讓天文學家壽命倍增的秘密武器

4.複利最大化的存款方法

5.讓銀行存款翻倍需要多少年

6.用對數透視自然法則

第4章 不可思議的素數

序純粹數學的精華

1.埃拉托斯特尼篩法與素數的發現

2.素數有無窮個

3.素數的分布存在規律

4.用素數判定「帕斯卡三角形」

5.通過費馬檢測就是素數？

6.保護通信秘密的「公鑰密碼」

7.公鑰密碼的鑰匙，歐拉定理

8.信用卡卡號SSL傳輸的原理

第5章 無限世界與不完備性定理

序歡迎來到加州旅館！

11=0.99999...讓人難以接受？

2.阿喀琉斯永遠追不上烏龜？

3.「我正在說謊」

4.「不在場證明」與「反證法」

5.哥德爾不完備性定理

第6章 測量宇宙的形狀

序古希臘人如何測量地球周長？

1.基礎中的基礎，三角形的性質

1.1證明三角形內角和為180°

1.2讓人終生難忘的「勾股定理」證明

2.笛卡兒坐標與劃時代的創想

3.六維、九維、十維

4.歐幾里得公理不成立的世界

5.唯獨平行公理不成立的世界

6.不用外部觀測即可得知形狀的「神奇定理」

7.畫一個邊長為100億光年的三角形

第7章 微分源於積分

序來自阿基米德的書信

1.為何先從積分開始？

2.面積究竟如何計算

3.任何形狀都OK，阿基米德的夾逼定理

4.積分究竟計算什麼

5.積分與函數

6.飛矢不動？

7.微分是積分的逆運算

8.指數函數的微分與積分

第8章 真實存在的「假想數字」

序假想的朋友，假想的數字

1.平方為負的奇怪數字

2.從一維的實數到二維的複數

3.複數的乘法運算「旋轉與伸長」

4.從加法導出的加法定理

5.用方程解決幾何問題

6.三角函數、指數函數與歐拉公式

第9章 測量「難」與「美」

序伽羅瓦，20年的生涯與不滅功績

1.圖形的對稱性是什麼

2.「群」的發現

3.二次方程求根公式的秘密

4.三次方程為何可解

5.方程可解是什麼意思

6.五次方程與正二十面體

7.伽羅瓦最後的書信

8.方程的「難度」與圖形的「美」

9.擁有第二個靈魂

後記

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