如何打破實數的框框，引入新的虛數

前天我給大家分享了文章《在數的世界裡，為什麼要從自然數擴大到實數，進而擴大到複數？》，這是選自《數學與生活（修訂版）》中的一個章節（標題是我另加的），它的作者是日本當代著名數學教育家，日本數學教育改革先驅遠山啟，該書以內容適當、通俗易懂的特色而深受讀者歡迎，歷久不衰，是一本非常不錯的數學通俗讀物。

在這篇文章中，作者從對四則運算閉合的原則出發，展現了從自然數擴大到實數，進而擴大到複數的思維歷程。文章最後提到，在實數範圍內，對於四則運算的逆運算「解代數方程」來說，不是閉合的，要想自由地解代數方程，就必須打破實數的框框，導入新的數，這個新的數就是虛數。很多童鞋看到這裡意猶未盡，下面我們就來講講如何打破實數的框框，引入新的虛數。

首先我們從解二次方程講起，考慮下面這樣的二次方程：

要解這個方程，可以變換成下面的形式：

到了這一步就走不通了，因為只要 x 是實數，x+1 也是實數。因此，(x+1)2 就不會是負的，可是它卻等於-1。

據遠山啟在他的著作《數學與生活》中描述，日本德川時代的數學家對於方程有兩個根這樣的事實是無法接受的，他們把這樣的方程起名為「顛三倒四」，意思就是說這是「精神病方程」，那麼，像(x+1)2=-1 這樣的方程我想他們一定會大罵它是更厲害的「瘋狂方程」了。

面對這樣的事實，有兩種態度。一種是始終抱住實數的框框不放，斷定這個方程沒有根；另一種是打破實數的框框，把它看作是新的數而主張「有根」。我們無法判斷哪一方正確哪一方錯誤，但是數學的發展是沿著後者進行的。

二次方程有時有兩個根，有時一個根也沒有，這個事實對於討厭例外的數學家來說，是不能不想的。要是存在的話，那就一切都如意啦。這種無法摒棄的念頭，在很長時期支配著數學家。

在引進了這後，所有的二次方程都有解了。比如對於前面的對於二次方程

如果不管等式右邊的負，加以開方的話，就有

但是數學家們對解釋負數的平方根這樣表達式的確切意義感到困惑不安，懷著迷信的敬畏感來看待它們，並將它命名為「虛數」。虛數的英文為imaginary number，意為想像中的數。直到十九世紀初，當這些數的重要性在許多數學分支中已變得明顯時，複數運算有了一個簡單的幾何解釋，這消除了人們對複數的合理性的長期疑慮。

下面我們就來給大家講講數複數的幾何解釋。

我們用 imaginary 的首字母 i 來表示，即

，然後再來探索 i 的性質。

我們知道 i 不是實數，因此可以確定它不在表示實數的直線上，如圖所示。

它一定位於這條直線以外，那麼它在哪兒呢？

為了找到它，我們回顧一下實數中乘以(－1)的作法。

(＋1)×(－1)=－1

(－1)×(－1)=＋1

(＋2)×(－1)=－2

(－2)×(－1)=＋2

…

總之，×(－1)的作法相當於把實數的直線轉繞著原點O旋轉了180o。

可是由於 -1=i2，×(-1) 即 ×i2 與 ×i×i 是同樣的意義的。如果×i×i與旋轉180o相等的話，那麼×i 就是旋轉180o的一半，也就意味著旋轉90o。

所以×i，水平的實數直線就變成垂直的了。

說穿了，i 這個數位於通過O的垂線上，距離為 1 的地方。

這個垂線上的點全都是2i，3i，…，-2i，-3i，…那樣的實數×i 的形式。這樣的數叫做純虛數。

可是僅僅把實數加上純虛數還不能找出所有二次方程的根。例如：

它的根是 x=3±4i，3是實數，而 4i 是純虛數，根是這些數的和。把這寫成式子就是以下的形式：

實數+實數×i

這種形式的數叫做複數。

這種數在平面上的什麼地方呢？3還是像原來那樣在水平線上，4i 是在與之垂直的方向上移動了4個單位的地方。總而言之，+3就意味著向右移動。+4i 就意味著向上移動。

另外一個 3-4i 是向下移動的，所以這個點如下圖所示。也就是說複數可以用平面上所有點來表示。

總結一下，複數的幾何解釋就是把複數 z=x+yi 簡單地用平面上帶有直角坐標x，y的點來代表。z 的實部就是它的 x 坐標，虛部就是它的 y 坐標。因而在複數和平面直角坐標繫上的點之間確立了一個對應，就像數軸上的點和實數之間建立的對應一樣。

最先想起用平面上的點來表示複數的是挪威的測量工程師韋塞爾（1745-1818），但是他的論文在100年左右的時間內被人們忘卻了，而另一個發現者高斯卻出了名。

參考文獻：

1 《數學與生活（修訂版）》，[日]遠山啟著，人民郵電出版社。

2 《什麼是數學（增訂版）》，[美]R.柯朗，H.羅賓著，復旦大學出版社。

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