物理學史-量子力學-舊量子論

普朗克能量子

1900年普朗克在黑體輻射研究中的能量量子化假說是量子理論建立的前奏。儘管在最初的思考中普朗克並不贊同玻爾茲曼的統計理論，但由於他發現無法通過經典的熱力學定律來導出輻射定律，他不得不轉而嘗試統計規律，其結果就是普朗克黑體輻射定律。同時普朗克還計算得到了公式中的普適常數，即普朗克常數。然而即使如此，普朗克的能量量子化假說最初也未得到應有的重視，在當時的物理學界看來，將能量與頻率聯繫起來（即:

,）是一件很不可理解的事，連普朗克本人對量子化也深感懷疑，他仍然試圖尋找用經典手段解決問題的辦法。

1905年，愛因斯坦在他的革命性論文《關於光的產生和轉變的一個啟發試探性的觀點》中秉承了普朗克的能量量子化假說，提出了光量子的概念。在愛因斯坦看來，將光看作是一份份不連續的能量子將有助於理解一些電磁理論無法理解的現象：

在我看來，如果假定光的能量在空間的分布是不連續的，就可以更好地理解黑體輻射、光致發光、紫外線產生陰極射線，以及其他有關光的產生和轉變的現象的各種觀測結果……這些能量子在運動中不再分散，只能整個地被吸收或產生。

—?阿爾伯特·愛因斯坦，關於光的產生和轉變的一個啟發性的觀點

如前所述，這裡提到的陰極射線正是光電效應所產生的電流。愛因斯坦進一步將光量子概念應用到光電效應的解釋中，並提出了描述入射光量子能量與逸出電子能量之間關係的愛因斯坦光電方程。雖然這一理論在1905年就已提出，真正通過實驗驗證則是美國物理學家羅伯特·密立根在1916年才完成的。密立根的光電效應實驗測量了愛因斯坦所預言的遏制電壓和頻率的關係，其曲線斜率正是普朗克在1900年計算得到的普朗克常數，從而「第一次判決性地證明了」愛因斯坦光量子理論的正確。不過，密立根最初的實驗動機恰恰相反，其本人和當時大多數人一樣，對量子理論持相當大的保守態度。

1906年，愛因斯坦將普朗克定律應用於固體中的原子振動模型，他假設所有原子都以同一頻率振動，並且每個原子有三個自由度，從而可求和得到所有原子振動的內能。將這個總能量對溫度求導數就可得到固體熱容的表達式，這一固體熱容模型從而被稱作愛因斯坦模型。這些內容發表於1907年的論文《普朗克的輻射理論和比熱容理論》中。

玻爾模型

1908年至1909年間，歐內斯特·盧瑟福在研究α粒子散射的過程中發現了α粒子的大角度散射現象，從而猜想原子內部存在一個強電場。其後他於1911年發表了論文《物質對α、β粒子的散射和原子構造》，通過散射實驗的結果提出了全新的原子結構模型：正電荷集中在原子中心，即原子中心存在原子核。事實上，盧瑟福並非提出原子結構的「行星模型」的第一人，然而這類模型的問題在於，在經典電磁理論框架下，近距的電磁相互作用無法維持這樣的有心力系統的穩定性（參見廣義相對論中的開普勒問題中所描述的近距的萬有引力相互作用在經典力學中也會給太陽系帶來同樣問題）；此外，在經典理論中運動電子產生的電磁場還會產生電磁輻射，使電子能量逐漸降低，對於這些難題盧瑟福採取了迴避的對策。

1912年至1913年間，丹麥物理學家尼爾斯·玻爾肯定了盧瑟福的原子模型，但同時指出原子的穩定性問題不能在經典電動力學的框架下解決，而唯有依靠量子化的方法。玻爾從氫原子光譜的巴耳末公式和約翰尼斯·斯塔克的價電子躍遷輻射等概念受到啟發，對圍繞原子核運動的電子軌道進行了量子化，而原子核和電子之間的動力學則依然遵守經典力學，因此一般來說玻爾模型是一種半經典理論。這些內容發表在他1913年的著名三部曲論文《論原子構造和分子構造》中。論文中他建立了一個電子軌道量子化的氫原子模型，這一模型是基於兩條假設之上的：

體系在定態中的動力學平衡可以藉普通力學進行討論，而體系在不同定態之間的過渡則不能在這基礎上處理。

後一過程伴隨有均勻輻射的發射，其頻率與能量之間的關係由普朗克理論給出。

—?尼爾斯·玻爾，論原子構造和分子構造

這一模型很好地描述了氫光譜的規律，並且和實驗觀測值相當符合。此外，玻爾還從對應原理出發，將電子軌道角動量也進行了量子化，並給出了電子能量、角頻率和軌道半徑的量子化公式。玻爾模型在解釋氫原子的發射和吸收光譜中取得了非常大的成功，是量子理論發展的重要里程碑。

不過，玻爾模型在很多地方仍然是粗略的：例如它只能解釋氫原子光譜，對其他稍複雜的原子光譜就毫無辦法；它創立之時人們還沒有自旋的概念，從而玻爾模型無法解釋原子譜線的塞曼效應和精細結構；玻爾模型也無法說明電子在兩條軌道之間躍遷的過程中到底是處於一種什麼狀態（即泡利所批評的「糟糕的躍遷」）。

德國物理學家阿諾·索末菲在1914年至1915年間發展了玻爾理論，他提出了電子橢圓軌道的量子化條件，從而將開普勒運動納入到量子化的玻爾理論中並提出了空間量子化概念，他還給量子化公式添加了狹義相對論的修正項。索末菲的量子化模型很好地解釋了正常塞曼效應、斯塔克效應和原子譜線的精細結構，他的理論收錄在他在1919年出版的《原子結構與光譜線》一書中。索末菲在玻爾模型的基礎上給出了更一般化的量子化條件：

，這一條件被稱作舊量子條件或威耳遜-索末菲量子化定則，與之相關聯的理論是埃倫費斯特指出的被量子化的物理量是一個絕熱不變數。

波粒二象性

1905年愛因斯坦對電磁輻射的能量進行量子化從而提出了光量子的概念，但此時的光量子只是能量不連續性的一種體現，還不具有真實的粒子概念。1909年，愛因斯坦發表了《論我們關於輻射的本性和組成的觀點的發展》，在這篇發言兼論文中愛因斯坦證明了如果普朗克黑體輻射定律成立，則光子必須攜帶有動量並應被當作粒子對待，同時還指出電磁輻射必須同時具有波動性和粒子性兩種自然屬性，這被稱作波粒二象性。

1917年，愛因斯坦在《論輻射的量子理論》中更深入地討論了輻射的量子特性，他指出輻射具有兩種基本方式：自發輻射和受激輻射，並建立了一整套描述原子輻射和電磁波吸收過程的量子理論，這不但成為五十年後激光技術的理論基礎，還促成了現代物理學中迄今最精確的理論——量子電動力學的誕生。1923年，美國物理學家阿瑟·康普頓在研究X射線被自由電子散射的情況中發現X射線出現能量降低而波長變長的現象，他用愛因斯坦的光量子論解釋了這一現象並於同年發表了《X射線受輕元素散射的量子理論》。康普頓效應從而成為了光子存在的論斷性證明，它證明了光子攜帶有動量，愛因斯坦在1924年的短評《康普頓實驗》中高度評價了康普頓的工作。

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1923年，法國物理學家路易·德布羅意在光的波粒二象性，以及布里淵為解釋玻爾氫原子定態軌道所提出的電子駐波假說的啟發下，開始了對電子波動性的探索。他提出了實物粒子同樣也具有波粒二象性的假說，對電子而言，電子軌道的周長應當是電子對應的所謂「位相波」波長的整數倍。德布羅意在他的博士論文中闡述了這一理論，但他同時認為他的電子波動性理論所描述的波的概念「像光量子的概念一樣，只是一種解釋」，因此真正的粒子的波函數的概念是等到薛定諤建立波動力學之後才完備的。另外，德布羅意在論文中也並沒有明確給出物質波的波長公式:

，雖然這一想法已經反映在他的內容中。德布羅意的博士論文被愛因斯坦看到後得到了很大的讚許，愛因斯坦並向物理學界廣泛介紹了德布羅意的工作。這項工作被認為是統一了物質粒子和光的理論，揭開了波動力學的序幕。1927年，貝爾實驗室的柯林頓·戴維孫和雷斯特·革末進行了著名的戴維孫-革末實驗，他們將低速電子射入鎳晶體，觀測每一個角度上被散射的電子強度，所得的衍射圖案與布拉格預測的X射線的衍射圖案相同，這是電子也會像波一樣發生衍射的確鑿證明。特別地，他們發現對於具有特定能量的入射電子，在對應的散射角度上散射最明顯，而從布拉格光柵衍射公式得到的衍射波長恰巧等於實驗中具有對應能量電子的德布羅意波長。

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