數學中的自然常數e有什麼來頭?與圓周率有關係嗎?
數學中有許多重要的常數,例如圓周率π和虛數單位i(等於根號負一)。但數學中還有一個同樣重要的常數,那就是自然常數e,儘管沒有圓周率那麼為人所熟知。這個常數經常出現在數學和物理學之中,但它從哪裡來?它究竟是什麼意思?
在18世紀初,數學大師萊昂哈德·歐拉(Leonard Euler)發現了這個自然常數e(又稱歐拉數)。當時,歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)在半個世紀前提出的問題。
伯努利的問題與複利有關。假設你在銀行里存了一筆錢,銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年後,你會得到(1 + 100%)^1 = 2倍的收益。
現在假設銀行每六個月結算一次利息,但只能提供利率的一半,即50%。在這種情況下,一年後的收益為(1+50%)^2=2.25倍。
而假設銀行每月提供8.3%(100%的1/12)複利息,或每周1.9%(100%的1/52)複利息。在這種情況下,一年後你會賺取投資的(1 + 1/12)^12 = 2.61倍和(1 + 1/52)^52 = 2.69倍。
根據這個規律,可以得到一條通式。如果假設n為利息複利的次數,那麼利率就是其倒數1/n。一年後的收益公式為(1 + 1/n)^n。例如,如果利息每年複利5次,那收益則為初始投資的(1 + 1/5)^5 = 2.49倍。
那麼,如果n變得很大,會怎樣?如果n變得無限大,那(1 + 1/n)^n是否也會變得無限大?這就是伯努利試圖回答的問題,但直到50年後才由歐拉最終獲得結果。原來,當n趨於無窮大時,(1 + 1/n)^n並非也變得無窮大,而是等於2.718281828459…。這是一個類似於圓周率的無限不循環小數(即無理數),用字母e表示,被稱為自然常數。
當然,e不僅僅只是一個隨意數字。事實上,它是數學中最有用的常數之一。如果繪製方程y = e^x,就會發現,對於曲線上任何點的斜率也是e^x,而從負無窮大到x的曲線下方面積也是e^x。e是唯一使y = n^x這個方程有如此奇特性質的數字。
在微積分中,可以想像e也是一個非常重要的數字。同時,自然常數e也是物理學中的一個重要數字,它通常出現在有關波(如光波、聲波和量子波)的方程之中。
此外,關於e還有一個非常著名的公式,即歐拉恆等式:e^(iπ) + 1 = 0,這個完美的公式把數學中最重要的數字都聯繫在一起了。
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