學而思這類的奧數班對培養數學思維有用么？

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熟悉我的人知道，我是數學系出身，本科學應用數學，研究生是概率統計專業的，目前在雙鴨山大學（哈哈，中山大學）的統計系擔任專業碩士導師，每年參與研究生答辯。

所以自從開始討論教育，就有很多人問我，如何激發孩子學習數學的興趣？學而思的奧數班到底有沒有用？

日常生活中我也碰到過很多家長，自己對數學毫無興趣，卻格外關注數學學習。

有的出於應試考慮，希望「學而思」等課外機構學奧數，在升學考試中取得好成績，進而獲得一個好學位；

有的可能看得更遠，希望培養孩子的數學思維，人工智慧已經步步逼近，可能未來就是一個演算法的世界，是數學家統治的世界，感覺不學好數學，未來的精英之門都要向TA關閉了。（其實也沒這麼誇張，還有藝術之門呢）

看來，學數學很難繞得過「學而思」這類機構所代表的奧數這個「難題」、「話題」...

數學教育渠道有哪些？

數學對於未來教育而言，非常重要。

現在的孩子，能夠接觸到的所有跟數學相關的教育渠道有哪些呢？

從家長們的討論看，自己數學不好，想提高孩子的數學思維感覺就是無門了，好像必須推給「學而思」了。

其實，在互聯網時代，什麼資源都不缺。這些年，關於數學思維的討論多了，數學學習資源也多了。

第一類，最常見的就是課內數學的補充，比如學而思這種課外輔導班、奧數班；

第二類，不以應試為目的的數學思維啟發課程，以低齡為主，一般針對5-10歲的孩子；

第三類，網路課程資源，比如說像可汗學院這樣從數學起步的慕課課程，可以從數數一直教到微積分複變函數實變函數，經過很多人驗證，完全可以達到相應的數學層級的要求。

這麼多資源，如果要培養數學思維，真正可以用得上是哪些資源呢？

關於奧數班

奧數班、學而思到底好不好？

我從小學開始進入奧數班，一直到中學六年，後來又專業讀數學。雖然不才，沒有成為數學家，好歹也有些經驗。

坦白講，我認為解答難題是進入數學思維的開始。如果永遠談基礎要紮實，不斷把過去學過的簡單知識反覆應用，這是無助於數學思維的，這叫理科學習文科化、數學學習政治化。天天把加減法背到爛熟，也和數學思維沒有一毛錢關係。我們中國的老太太，在菜市場可以輕鬆玩轉加減法，她們可不一定有數學思維。

最近，國內有個教育機構邀請了美國奧數隊的教練，卡耐基梅隆大學的數學教授羅博深做了一個講座，他也談到這個問題：中國孩子做題很快，而數學真正的樂趣在於做難題，挑戰自己，而不是重複計算機可以做的事情。

我讀書時還沒有什麼課外輔導班，都是學校老師召集一些尖子生在搞奧數；現在聽說已經不同了，學校老師不敢z也不願意去承擔這項工作，奧數也不再是少數人的事情，全民學奧數，成了商業機構的盈利點。

學而思或者奧數班，能夠推動孩子們，從具體到抽象，去解決較難的、進階的問題，這是好的一面。

可是我們見到的奧數班普遍存在著一種傾向——同一類問題的熟練程度掌握（刷題）。雖然提高難度很有意義，可是難度提高之後，就在這個難度上反覆訓練直至熟練掌握套路，這就犯了與課內教育相同的錯誤，又偏離了向數學思維行進的方向。

關於數學思維啟蒙班

上周，我就帶著8歲多的兒子，親身去體驗了一個數學思維啟發課程：教具十分新穎，教學思路也比課堂和輔導班有趣得多。

可是它的不足在於，它的高度並不是逐層向上累進，而是一種散點式的頭腦體操，比如說今天拼個圖，明天做個棋類的數字遊戲。對數學思維的培養，只能起到一半的作用。

關於網路學習資源及其他

可汗學院的數學課應該大家都比較熟悉了，現在也已經有了中文版。

現在也有很多翻譯著作非常好，如我已經推薦過的《數學很好玩》（具體名字記不清了），就是從身邊的數學談起，引申到6個數學難題，展示了數學之美與深奧。

《迷人的數學》這本書，是兒子的同學家長借給我的，也是很不錯的書，適合中學的孩子了解數學史。

這類關於數學思維的書籍，近些年來隨著這個概念的興起，而不斷傳入中國。有心人都可以找到。

我來總結一下，數學思維培育的大致路徑是這樣：

通過課內學習，已經初步具備解決基礎數學問題的能力 通過一些數學思維課進一步激發學數學的興趣 找到可汗學院這樣的系統學習平台，通過不斷推進學習新知識來強化舊知識的掌握 有興趣的同學學奧數解決數學難題

有了這種抽象的思維能力之後，再去看待現實生活中發生的頭緒紛雜的事情，能夠根據已有的形式的符號代入，來解決實際的問題，這才是真正的數學思維的一種循環。

怎麼規劃數學學習？

雖然越來越多家長意識到數學思維的重要性，可是有多少家長會對如何進行數學學習這個問題做系統性的思考呢？根據我的觀察，很少很少。

很多家長本身從小就對數學充滿了恐懼，現在忽然意識到數學思維是影響孩子未來成長的重要因素，既茫然又焦慮，更容易無方向地亂撞亂試。

到底該如何制定一個有目標的整體的數學學習規劃？

數學能力的培養，離不開兒童認知的發展。所以，我們還是有必要先看一看皮亞傑的兒童認知發展四階段理論。到目前為止，這還是被廣泛認同的。

1

第一階段：感知運動階段（0-2歲）；

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第二階段：前運算階段（2-7歲），兒童認知出現象徵或符號功能。這一階段又劃分為兩個階段：前概念或象徵思維階段（2～4歲）和直覺思維階段（4～7歲）。

3

第三階段：具體運算階段（7-12歲）：兒童這時進行的運算仍需具體事物的支持，對那些不存在的事物或從沒發生過的事情還不能進行思考。

4

第四階段：形式運算階段（12-15歲）：思維不必從具體事物和過程開始，可以利用語言文字，在頭腦中想像和思維，重建事物和過程來解決問題。

並不是所有兒童都在同一年齡完成相同的階段，但這些階段都是必經的。

在此，給大家幾點可以操作的建議：

1、直覺思維階段

在孩子早期的時候，例如四到六七歲，可以用形象的方式讓孩子對數學開始有感覺。比如說各種各樣的遊戲，包括益智類桌面遊戲；還有現在層出不窮的數學繪本。蒙特梭利教具，也是這一階段不錯的選擇。

在早期，孩子對抽象思維是沒有興趣的，應該用形象的遊戲化的方式激發孩子的興趣。

我十分認可這種引導孩子學習數學的入門做法。可是，作為一個專業學數學的人，我也得明確告訴大家——真正的數學思維恰恰在於抽象的能力，不要指望完全通過形象化的方式來建立數學思維。

根據皮亞傑的觀點（《智力心理學》），很多孩子的智力不差，但是數學能力卻不好，這是一個世界常見的現象。為什麼會出現這種情況呢？

什麼是智力？智力是我們解決問題本身的邏輯思考能力。可是數學卻是了解邏輯結構的專屬科學。

我們不了解邏輯結構但依然可以用邏輯用得很好，就好比很多人不了解樂理，但是唱歌唱得很好，但這樣的人不能說他音樂素養很高。同理，很多智力很高、數學能力很差的孩子也佐證了這一點。

從這個角度，益智遊戲是可以激發人的智力，但是如果不加引導，還是無法轉化為數學思維。

2、具體運算階段

這個階段大概在7-12歲，就是小學階段。這個階段，家長應該開始密切觀察，當孩子對這些益智遊戲有感和某些數學難題有興趣的時候，要開始進入數學思維的引導。

如果家長自己無法把遊戲轉化為數學語言，就要藉助專業機構的一些課程，比如學校的數學學習，或者可汗學院的初級課程。課外的某些數學思維課程，也是可以嘗試的。這些課程普遍會在形式上下功夫，比較有趣。

這類數學遊戲其實在某寶上特別多，大同小異，可以讓孩子玩玩，不要太迷信就是了，會玩遊戲和學數學還是兩碼事。

3、形式運算階段

到了初中階段（12-15歲），就是真正塑造數學思維的階段了。在這個時候，如果真要培養數學思維，就應該快速向前，推動孩子從形象表達、圖形表達中迅速上升到抽象表達，要鼓勵孩子邁過抽象這個難關，這可能才是真正培養數學思維的開始。

當觀察到孩子通過形象化的方式對數學建立起一定的認知，能夠解決一些簡單的數學問題後，要馬上進入下一步，進入抽象的能力。

什麼叫抽象的能力？前面說的失蹤彈孔的故事說的是一個抽象能力，把具體的現實生活中的問題，抽象成數學的語言，再通過數學中已有的結論來解決。

這個過程恰恰是形象思維的反過程，是真正體現數學思維的過程。

我認為數學思維有兩個不可缺少的因素：

第一個是用數學的方式把具體問題抽象出來的能力；

第二個是感受純數學之美的能力。

數學之美的傳遞，絕不是依靠機械傳統的數學教育，很多數學家都在數學教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。在《愛與數學》這本書中，著名的數學家愛德華.弗倫克爾這段話寫得非常好，就好像是我們中國的數學教育的寫照，看來全世界的數學教育都差不多——

如果學校在我們必修的「美術課」上只教給我們粉刷籬笆的方法，卻從來不各我們展示達芬奇與畢加索的作品，那麼大家會有什麼樣的感覺呢？這樣做能提高藝術鑒賞力嗎？你還會有學習的慾望嗎？我想答案是否定的。。。

但是，學校就是這樣教授數學的。因此，在大多數人眼中，學習數學毫無意義，就像在籬芭旁邊坐等油漆干透。

想要看到美術大師們的畫作並不那麼困難，但是數學大師們的研究成果卻通常被束之高閣。

數學教育是如此僵化，我們也只能依靠自己了。

要敢於去理解抽象，敢於去挑戰，這是建立數學思維需要具備的能力。這是父母必須傳遞給孩子的，鼓勵他們，而不僅僅是把他們送到輔導機構，學會刷

題。

當然，到了這個階段，自學能力是更為重要的，父母除了精神鼓勵、幫忙找找學習資源之外，已經很難進行具體的指導了。

關於進入形式運算階段的年齡，按照皮亞傑的觀點，可能要到12歲以上，才會有這種抽象思維的能力。不過很多偉大的物理學家、數學家可能十四五歲時已經在學微積分了。

皮亞傑的時代已經過去幾十年，時代環境都在變化，其實是不能迷信的。但是目前很多早教和兒童發展的觀點還是延用了他的觀點。

我的態度是，每個孩子的情況不同，需要家長細心觀察。

前面提到的數學思維，其實並不屬於專業的數學家範疇。

數學家愛德華說，我們學幾個和弦可能就能彈奏吉他來點綴生活，但絕不是要求你成為一個音樂家或吉他演奏專家。

我們了解數學的基本概念，有一定的抽象能力，能夠感受數學之美，就能在生活中、學習其他學科時遊刃有餘了，並不是要求孩子們都成為數學家。

殘忍地說一句，如果你不想當甩手掌柜，數學思維的培養，某種程度上來說還是要依靠家長自身的視野和對資源的把控力（另外，你自己首先要克服當年對數學的恐懼吧，否則這種心態也是會傳染的）。

在這個日新月異的時代，一個數學的學習尚且如此，更不要說給孩子制定更加系統的成長和學習的規划了。

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