黑洞熱力學簡介——紀念雅各布·貝肯斯坦逝世兩周年

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紀念雅各布·貝肯斯坦逝世兩周年

2015年8月17日，以色列物理學家，黑洞熱力學的巨擘、量子引力的先驅者雅各布·貝肯斯坦（Jacob Bekenstein）逝世。送君如昨日，檐前露已團。轉眼間，大師已經離開我們兩年了。今天就以這篇短文來紀念一下這位了不起的物理學家。在文章中會遇到一些較深的物理概念，小編盡量不用任何公式為大家簡單講解一下。

黑洞熱力學巨擘貝肯斯坦

大師的一生

貝肯斯坦在1947年5月1日出生於墨西哥的首都墨西哥城的一個波蘭移民猶太家庭。之後，在1968年他獲得了美國國籍。大學階段，他就讀於現在被稱為紐約大學理工學院的布魯克林理工學院，後來又在普林斯頓大學讀博士，拜師於當時的相對論領袖約翰·惠勒。在博士階段，貝肯斯坦發表了數篇足以載入史冊的論文，其內容我們將在下文講到。在德克薩斯大學奧斯汀分校做了兩年博士後工作之後，他去了以色列，並於1978年成為教授。1990年，他開始擔任希伯來大學的教授，並在三年後成為其理論物理系的學科帶頭人。貝肯斯坦在2015年8月16日於芬蘭逝世，享年68歲。貝肯斯坦一生對物理學的發展貢獻巨大，在黑洞熱力學、引力與信息等領域都有開創性的貢獻。

貝肯斯坦的手稿

從熱力學談起

貝肯斯坦一生中最重要的貢獻之一就是在黑洞熱力學上的開拓性工作，那麼為了了解黑洞熱力學，首先我們要從普通的熱力學談起。

我們在高中或者大學的學習過程中，幾乎都接觸過熱學這一物理學分支。而熱學的一大重要知識點就是熱力學四大定律。我們先複習一下。

第零定律：如果兩個熱力學系統中的每一個都與第三個熱力學系統處於熱平衡（溫度相同），則它們彼此也必定處於熱平衡。

第一定律：自然界中的一切物質都具有能量，能量不可能被創造，也不可能被消滅；但能量可以從一種形態轉變為另一種形態，且在能量的轉化或傳遞的過程中能量的總量保持不變。

第二定律：熱不可能自發地、不付代價地從低溫物體傳至高溫物體。

第三定律：絕對零度不可能達到。

這裡面，熱力學第零定律相當於給出了溫度的定義。也就是說，處於熱平衡狀態的兩個系統，得有一個相等的物理量來描述。那麼這個物理量是什麼呢？顯然不是體積、壓強之類的。那麼就定義一個新的物理量——溫度，即處於熱平衡狀態的兩個系統，其溫度相同。

而第一定律顯然就是能量守恆定律。第二定律則給出了物理系統的自發過程的方向。這裡我們介紹一個很抽象但是又無處不在的的物理量叫「熵」，即描述系統混亂程度的物理量。自然界中自發進行的過程都是向熵增加的方向進行的，舉個簡單的例子，如果你總是不收拾屋子，那麼你的房間就會一天天地越來越混亂，但是如果你對房間進行整理，那麼這就不是自發過程了。換句話說，人往高處走，是非自發過程，這時候熵有可能會增加；而水往低處流則是自發過程，即熵減少的過程。熵，相當於一個給出時間箭頭的物理量。

第三定律則告訴我們，不能通過有限次步驟達到絕對零度。在高中或者大學物理的課程中，第三定律由於不是考試重點所以大家似乎也對它沒什麼印象，不過接下來我們會看到，第三定律的意義似乎很不一般。

引力物理的「聖經」——MTW《引力論》

黑洞的無毛定理

我們再來談一談黑洞的基礎知識。自然界中真實的黑洞是複雜的，它要受到很多天體的干擾。但是，真空中遠離其他天體的黑洞卻簡單了許多，可以用質量M、角動量J、電荷Q三個參數來描述。換句話說，黑洞的分類、黑洞周圍的時空如何彎曲，只取決於這三個參量，而與其演化或形成過程無關。具體來說，最簡單的黑洞，即史瓦西黑洞，並不旋轉或者帶電，因此僅用質量一個參量即可描述。而帶電不旋轉的黑洞被稱為萊斯納-諾斯特隆黑洞，不帶電卻旋轉的黑洞則叫克爾黑洞。而需要用這三個參量一起描述的一般的黑洞，則叫克爾-紐曼黑洞。

基於此，物理學界的「起名專家」惠勒，將這一有趣的性質總結為黑洞的無毛定理。

黑洞熱力學的研究告訴我們，黑洞雖然是恆星演化的產物，但是它並非只吸收不輻射粒子，也絕非冰冷孤寂的墓碑，而是一個非常複雜的天體。而黑洞熱力學的研究，也揭示了引力理論與熱力學的內在聯繫。在這一領域及其衍生領域中，科學家們進行了數十年的研究與爭論，直到現在仍然火熱。

史瓦西黑洞的彭羅斯圖

貝肯斯坦與黑洞熱力學

1971年，霍金證明了黑洞的面積定理，即在宇宙監督假設的前提下，黑洞的表面積在順時針方向上是永不減少的。這意味著黑洞可以合併，但是不能分裂，否則其面積勢必會減小，就違背了面積定理。霍金還用經典理論求出，黑洞的溫度是絕對零度。

此時，貝肯斯坦尚在惠勒門下學習。他從黑洞的面積定理出發，聯想到了熱力學中熵的概念。前文我們提到，自然過程都是熵增加的過程，那麼此處黑洞的面積與熵在某種意義上將非常相似，那麼黑洞的面積是否就是熵呢？或者說，黑洞的面積定理與熱力學第二定律之間是否有內在聯繫呢？

隨後，貝肯斯坦將量子力學引入黑洞的熵的討論中，與另一位物理學家斯馬爾幾乎同時獨立地發現了貝肯斯坦-斯馬爾公式。令人驚喜不已的是，這一公式與熱力學第一定律的表達式極為相似。

在此基礎上，貝肯斯坦認為，黑洞的熵與其面積成正比，正式將熵引入到黑洞的研究中。同時，貝肯斯坦考慮到量子力學效應，重新求出黑洞的溫度，發現並非絕對零度。有趣的是，他求出的黑洞的熵的表達式，即霍金-貝肯斯坦公式中，熵與面積的比例係數，是由真空中的光速、普朗克常數、牛頓萬有引力常數和玻爾茲曼常數的乘除法組成的。也就是說，相對論、量子力學、熱力學在此匯聚一堂，好不熱鬧。而前文提到的宇宙監督假設，又與熱力學第三定律不謀而合。就這樣，黑洞熱力學的大廈拔地而起，集各家之大成，又渾然一體。黑洞熱力學的研究，正式拉開了黑洞物理的黃金年代。而貝肯斯坦則是群星薈萃的研究大軍中最閃耀的那顆。

大師在授課

黑洞的熱力學四定律

接下來我們先對黑洞熱力學四定律做一個小的總結：

第零定律：穩態黑洞，即孤立的，物理規律不隨時間演化的黑洞，其表面引力是個常數。

第一定律：貝肯斯坦-斯馬爾公式。

第二定律：黑洞的面積在順時方向上永不減少。

第三定律：黑洞的表面引力不能通過有限次步驟降為零。

可見，這幾條定律與熱力學的四大定律非常相似。細心的讀者可能已經發現，在此處，黑洞的表面引力可以類比成熱力學中的溫度，而表面積顯然就是熵了。

起初，霍金不同意貝肯斯坦的說法。因為如果黑洞的溫度並非絕對零度的話，那麼顯然黑洞也應該會輻射能量，這與之前公認的黑洞「只吸不吐」相互矛盾。不過，在1973年，霍金就不得不承認貝肯斯坦的正確了，在貝肯斯坦的研究基礎上，霍金髮現了黑洞的熱輻射。而隨後，霍金百尺竿頭更進一步，發現了黑洞的非熱輻射——大名鼎鼎的霍金輻射。但是這並非本文重點，所以我們暫且不詳細談，而是談論一下我們的主人公貝肯斯坦的其他重要發現。

黑洞的熵示意圖

貝肯斯坦的其他貢獻

在黑洞熱力學的基礎上，貝肯斯坦進一步研究，得到了貝肯斯坦界限（Bekenstein Bound），即物理定律所允許達到的最高信息容量密度。在2004年的時候，老驥伏櫪的貝肯斯坦窮30年之功，終於給出了修正牛頓動力學理論（MOND）的相對論形式，也就是現在所說的張量-向量-標量理論。如今，他的理論已經成為量子引力的試金石。鑒於篇幅有限，本文暫且不詳細談論這些理論。

貝肯斯坦在研究生活中是一位非常謙遜的人。作為一位理論物理大師，作為朗道獎、沃爾夫將等多個科學界大獎的得主，他完全可以讓自己成為聚光燈下的焦點，但是他並沒有這樣。另一位引力大師瓦爾德（Wald）這樣評價他：「他比我見過的任何一個物理學家都更加堅定地捍衛自己的理論，但是他絕不是一個理論推銷者。」大師已經遠去，但是大師的物理直覺和研究精神，將永遠鼓勵著我們這些後輩在科學中不懈探索。