走進量子力學（3）

博科園-天文物理《量子力學》專題：

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對經典光粒子論作出重要貢獻的兩位科學家 Pierre Gassendi（左）及 Isaac Newton （右）

先說光子：

光子是傳遞電磁相互作用的基本粒子，是一種規範玻色子。光子是電磁輻射的載體，而在量子場論中光子被認為是電磁相互作用的媒介子。與大多數基本粒子相比，光子的靜止質量為零，這意味著其在真空中的傳播速度是光速。與其他量子一樣，光子具有波粒二象性：光子能夠表現出經典波的折射、干涉、衍射等性質；而光子的粒子性可由光電效應證明。光子只能傳遞量子化的能量，是點陣粒子，是圈量子粒子的質能相態。

量子電動力學確立後，確認光子是傳遞電磁相互作用的媒介粒子。帶電粒子通過發射或吸收光子而相互作用，正反帶電粒子對可湮沒轉化為光子，它們也可以在電磁場中產生。

光子是光線中攜帶能量的粒子。一個光子能量的多少正比於光波的頻率大小， 頻率越高, 能量越高。當一個光子被原子吸收時，就有一個電子獲得足夠的能量從而從內軌道躍遷到外軌道,具有電子躍遷的原子就從基態變成了激發態。

光子具有能量，也具有動量，更具有質量，按照質能方程，E=mc2=hν，求出m=hν/c2，

光子由於無法靜止，所以它沒有靜止質量，這兒的質量是光子的相對論質量。

根據量子場論，一對正反粒子可發生湮滅變成一對高能γ光子，而一對高能γ光子在高溫下亦可發生反應產生一對正反粒子。比如在T=1015K的溫度下可發生光子向質子和中子等重子的轉化。用費曼圖表示的正電子-負電子散射（也叫做Bha-Bha散射），波浪線表示交換虛光子的過程。

參見： 狹義相對論

從波的角度看，光子具有兩種可能的偏振態和三個正交的波矢分量，決定了它的波長和傳播方向；從粒子的角度看，光子靜止質量為零，電荷為零，半衰期無限長。 光子是自旋為1的規範玻色子，因而輕子數、重子數和奇異數都為零。

光子的靜止質量嚴格為零，本質上和庫侖定律嚴格的距離平方反比關係等價，如果光子靜止質量不為零，那麼庫侖定律也不是嚴格的平方反比定律。 所有有關的經典理論，如麥克斯韋方程組和電磁場的拉格朗日量都依賴於光子靜質量嚴格為零的假設。 從愛因斯坦的質能關係和光量子能量公式可粗略得到光子質量的上限：m=hν/c2

這裡，m即是光子質量的上限，ν是任意電磁波的頻率，位於超低頻段的舒曼共振已知最低頻率約為7.8Hz（赫茲）。這個值僅比如今得到的廣為接受的上限值高出兩個數量級。

參見光子：規範玻色子

光子能夠在很多自然過程中產生，例如：在分子、原子或原子核從高能級向低能級躍遷時電荷被加速的過程中會輻射光子，粒子和反粒子湮滅時也會產生光子；在上述的時間反演過程中光子能夠被吸收，即分子、原子或原子核從低能級向高能級躍遷，粒子和反粒子對的產生。

在真空中光子的速度為光速，能量E和動量p之間關係為p=E/c； 相對論力學中靜質量為

的粒子的能量動量關係為：

光子的能量和動量僅與光子的頻率ν有關；或者說僅與波長λ有關。從而得到光子的動量大小為p=h/λ=hv/c。其中h叫普朗克常數。

寫出麥氏方程的 James Clerk Maxwell 以及其方程的部分解，其中真空光速由兩個已知參數真空磁導率與真空電容率確定

從光子的能量、動量公式可導出一個推論：

粒子和其反粒子的湮滅過程一定產生至少兩個光子。 原因是在質心系下粒子和其反粒子組成的系統總動量為零，由於能量守恆定律，產生的光子的總動量也必須為零；由於單個光子總具有不為零的大小為 的動量，系統只能產生兩個或兩個以上的光子來滿足總動量為零。 產生光子的頻率，即它們的能量，則由能量-動量守恆定律（四維動量守恆）決定。 而從能量-動量守恆可知，粒子和反粒子湮滅的逆過程，即雙光子生成電子-反電子對的過程不可能在真空中自發產生。

光子具有波粒二象性：

即說光子既具有一粒一粒的粒子的特性又有像聲波一樣的波動性。當時間為瞬時值時，光子以粒子的形式傳播；當時間為平均值時，光子以波的形式傳播。光子的波動性由光子的衍射而證明，光子的粒子性是由光電效應證明。

上面有人認為光子的動質量為零是錯誤的，光子的靜質量為零，否則的話其動質量將為無窮大。但其動質量卻是存在的，計算方法是這樣的：首先，由於頻率為v的光子的能量為E=hv，（其中h為普朗克常數），故由質能公式可得其質量為：m=E/c2=hv/c2其中c2表示光速的平方，該方法由愛因斯坦首先提出。

光電效應：

光電效應是物理學中一個重要而神奇的現象。在高於某特定頻率的電磁波照射下，某些物質內部的電子會被光子激發出來而形成電流，即光生電。光電現象由德國物理學家赫茲於1887年發現，而正確的解釋為愛因斯坦所提出。科學家們在研究光電效應的過程中，物理學者對光子的量子性質有了更加深入的了解，這對波粒二象性概念的提出有重大影響。

紫外線照射到金屬表面時，能使金屬發射帶電粒子電流，由光生電，這種後來被稱為光電效應的神奇現象竟然是赫茲實驗中意外的發現，萊納德得到了一個用經典物理學無法解釋的實驗結果，愛因斯坦極具想像力的理論解釋因沒有直接的實驗數據支持得不到學術界的支持，而本想用實驗證明愛因斯坦理論有誤的密立根卻用10年的實驗證實了愛因斯坦的理論正確無誤。20世紀物理學的發展歷史充分證明了這個意外發現的光電效應的重大科學價值。

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Εk =hν－Wo(Wo為逸出功)

如果入射光子的能量hν大於逸出功Wo，那麼有些光電子在脫離金屬表面後還有剩餘的能量，也就是說有些光電子具有一定的動能。因為不同的電子脫離某種金屬所需的功不一樣，所以它們就吸收了光子的能量並從這種金屬逸出之後剩餘的動能也不一樣。由於逸出功Wo 指從原子鍵結中移出一個電子所需的最小能量，所以如果用Ek 表示動能最大的光電子所具有的動能，那麼就有下面的關係式Ek =hν -W o（其中，h表示普朗克常量，ν表示入射光的頻率），這個關係式通常叫做愛因斯坦光電效應方程。即：光子能量 = 移出一個電子所需的能量（逸出功） + 被發射的電子的動能。

當光子能量等於逸出功時，電子動能為零。雖然電子會逸出但會停留在金屬表面。

愛因斯坦及其光電效應方程

發生光電效應時，電子克服金屬原子核的引力逸出時，具有的動能大小不同。金屬表面上的電子吸收光子後逸出時動能的最大值，稱為最大初動能。

做光電效應實驗的 Phillip Lenard，以及其實驗的示意圖

電子吸收光子的能量後，可能向各個方向運動，有的向金屬內部運動，有的向外運動，由於路程不同，電子逃逸出來時損失的能量不同，因而它們離開金屬表面時的初動能不同。只有直接從金屬表面飛出來的電子的初動能最大，這時光電子克服原子核的引力所做的功叫這種金屬的逸出功。

意外發現的奇特效應

1886年10月，德國的海因里希·赫茲（Heinrich Rudolf Hertz，1857-1894）為證實麥克斯韋的電磁理論正忙於做火花放電實驗。他的實驗裝置包括兩套放電電極，一套用於產生振蕩，發出電磁波；另一套充當接收器。赫茲細緻地觀察兩個放電火花之間的干涉現象及其影響因素，檢驗電磁波的存在。研究電磁波性質的實驗進行得挺成功，但赫茲並不滿足，仍在想法改進實驗裝置。

德國物理學家海因里希·赫茲（圖片來自網路）

赫茲實驗的電路圖（圖片來自網路）（a、e為感應圈，b為電池，感應圈a與電極d相連，感應圈e與電極f相連， c為水銀開關，p為隔板）

1886年12月初，他為了便於觀察，很偶然地把接收器部分用個暗箱罩上了，實驗中他意外發現接受電極間的放電火花變短了。這罕見的現象令赫茲百思不解，他又設置了不同的實驗條件，繼續進行細緻觀察。他變動兩套電極之間的距離、改變接收器周圍的氣壓、分別屏蔽兩套電極、用光譜不同區域的光及不同的光源照射接收器、在兩套電極之間插入不同材質的金屬板等，最終發現這種現象的發生既非電磁的屏蔽作用，也不由可見光照射引起，只是當紫外線照在負電極上時能看到最明顯的效果。1887年，赫茲在《物理學年鑒》上發表了題為《論紫外光對放電的影響》的論文，描述了他的發現。該論文引起了廣泛的反響，吸引了不少物理學家對此現象進行研究。

赫茲後來回顧這段經歷時說：「在光和電現象之間，這種直接的相互作用的關係還是極其罕見的」，「這是一種令人驚奇而全然無知的效應」。這個光能變成電能的奇特效應後來被稱為光電效應。

無法解釋的實驗結果

1891年，德國的菲利普·萊納德（Philipp Eduard Anton vonLénárd，1862-1947）在赫茲的指導下開始從事陰極射線特性的研究，但他對赫茲發現的光電效應也十分感興趣。1902年，在陰極射線研究取得突破性進展後，萊納德便將自己的研究方向轉向了光電效應。他用實驗對產生光電效應過程中各相關物理量間的關係進行研究，發現了一個重要規律：光電效應產生的光電子數目隨入射光的強度增加而增加，但光電子的速度，或者說它們的動能只與入射光的頻率有關，而與入射光的強度無關。萊納德的這個實驗結果用經典物理學無法解釋，且與當時的物理學理論相衝突。根據經典理論，電子接受光的能量獲得動能，光越強能量越大，電子的速度也就越快。

德國物理學家菲利普·萊納德（圖片來自網路）

極具想像力的理論

1905年3月，26歲的猶太裔的阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）當時還是瑞士伯爾尼專利局的三級技術員，他受普朗克量子假設的啟發，極具想像力地運用相對論和光量子理論解釋了萊納德光電效應實驗的結果，列出了光電方程式，他在德國《物理年鑒》上發表了題為《關於光的產生和轉化的一個試探性觀點》論文。

為何光電子能量只與入射光頻率有關而與入射光強度無關？如果入射光束的強度微弱，但只要具有足夠高的頻率，一定會產生一些高能量光子來促使束縛電子逃逸。而輻照度很強的入射光束，如果頻率低於某個臨界頻率則無法給出任何高能量光子來促使束縛電子逃逸。

愛因斯坦的這些論述與詹姆斯·麥克斯韋光的波動理論相互矛盾，無法解釋光波的折射性與相干性（光的波動理論已經過嚴格的理論檢驗，並通過精密實驗給予證明），且該論述與物理系統的能量「無窮可分性假說」也相互矛盾，加之愛因斯坦的理論分析沒有直接的實驗數據支持，因而當時沒有得到學術界的支持和理解。

猶太裔物理學家阿爾伯特·愛因斯坦（圖片來自網路）

歷經10年的實驗驗證

美國的羅伯特·密立根（Robert Andrews Millikan，1868-1953）注意到了愛因斯坦的這篇論文，他並不認同愛因斯坦的理論。在此後的十年，他花了很大精力進行光電效應的實驗研究，本意是希望進一步證明經典理論的正確性。他的實驗技術精湛，對光電效應中的幾個重要物理量進行了精確的測量。

美國物理學家羅伯特·密立根（圖片來自網路）

密立根實驗裝置示意圖（圖片來自網路）

密立根的實驗結果：6根曲線分別對應於汞的6根特徵譜線（橫坐標為電壓，縱坐標為光電流）（圖片來自網路）

1916年，密立根發表了他的實驗結果，列出了6種不同頻率的單色光測量反向電壓的截止值與頻率關係的曲線，驗證了愛因斯坦1905年提出的光電方程式，反而證實了愛因斯坦的理論正確無誤。

愛因斯坦對密立根的光電效應實驗給予高度評價，他指出：「我感激密立根關於光電效應的研究，它第一次判決性地證明了在光的影響下電子從固體發射與光的振動周期有關，這一量子論的結果是輻射的粒子結構所特有的性質。」

正是由於密立根全面地證實了愛因斯坦的光電方程，光電效應從理論和實驗方面均得到了確認，光量子理論開始得到學術界的承認，而20世紀物理學的發展歷史也充分證明了這個意外發現的光電效應的重大科學價值。

愛因斯坦因為「對理論物理學的成就，特別是光電效應定律的發現」獲得了1921年諾貝爾物理學獎，而密立根因為「關於基本電荷以及光電效應的工作」獲得了1923年諾貝爾物理學獎。近百年來，以光電效應為基礎的各類光電探測器已廣泛應用於科學研究、軍事、冶金、電子、機械、化工、地質勘探、醫療、生物醫藥和環境監測等領域。

數學推導：

光束里的光子所擁有的能量與光的頻率成正比。假若金屬里的自由電子吸收了一個光子的能量，而這能量大於或等於某個與金屬相關的能量閾（閥）值（稱為這種金屬的逸出功），則此電子因為擁有了足夠的能量，會從金屬中逃逸出來，成為光電子；若能量不足，則電子會釋出能量，能量重新成為光子離開，電子能量恢復到吸收之前，無法逃逸離開金屬。增加光束的輻照度會增加光束里光子的「密度」，在同一段時間內激發更多的電子，但不會使得每一個受激發的電子因吸收更多的光子而獲得更多的能量。換言之，光電子的能量與輻照度無關，只與光子的能量、頻率有關。

被光束照射到的電子會吸收光子的能量，但是其中機制遵照的是一種非全有即全無的判據，光子所有能量都必須被吸收，用來克服逸出功，否則這能量會被釋出。假若電子所吸收的能量能夠克服逸出功，並且還有剩餘能量，則這剩餘能量會成為電子在被發射後的動能。

逸出功 W 是從金屬表面發射出一個光電子所需要的最小能量。如果轉換到頻率的角度來看，光子的頻率必須大於金屬特徵的極限頻率，才能給予電子足夠的能量克服逸出功。逸出功與極限頻率 v0之間的關係為

W=h*v0

其中，h是普朗克常數， 是光頻率為h*v0 的光子的能量。

克服逸出功之後，光電子的最大動能 Kmax 為

Kmax=hv-W=h（v-v0）

其中，hv 是光頻率為 v的光子所帶有並且被電子吸收的能量。

實際物理要求動能必須是正值，因此，光頻率必須大於或等於極限頻率，光電效應才能發生。

§1關於「黑體輻射」理論的一個困難

讓我們首先仍採用麥克斯韋理論和電子論的觀點來考察下述情況。設在一個由完全反射壁圍住的空間中，有一定數目的氣體分子和電子，它們能夠自由地運動，而且當它們彼此很靠近時，相互施以保守力的作用，也就是說，它們能夠象氣體[分子]運動理論中的氣體分子那樣相互碰撞。此外，還假設有一定數目的電子被某些力束縛在這空間中一些相距很遠的點上，力的方向指向這些點，其大小同電子與各點的距離成正比。

當自由的[氣體]分子和電子很靠近這些[束縛]電子時，這些電子同自由的分子和電子之間也應當發生保守[力]的相互作用。我們稱這些束縛在空間點上的電子為「振子」；它們發射一定周期的電磁波，也吸收同樣周期的電磁波。

根據有關光的產生的現代觀點，在我們所考察的空間中，按照麥克斯韋理論處於動態平衡情況下的輻射，應當與「黑體輻射」完全等同——至少當我們把一切具有應加以考慮的頻率的振子都看作存在時是這樣。

我們暫且不考慮振子發射和吸收的輻射，而深入探討同分子和電子的相互作用（或碰憧）相適應的動態平衡的條件問題。氣體[分子]運動理論為動態平衡提出的條件是：一個電子振子的平均動能必須等於一個氣體分子平移運動的平均動能。如果我們把電子振子的運動分解為三個相互垂直的[分]振動，那末我們求得這樣一個線性[分]振動的能量的平均值

為

這裡R是絕對氣體常數，N是克當量的「實際分子」數，而T是絕對溫度。由於振子的動能和勢能對於時間的平均值相等，所以能量

等於自由單原子氣體分子的動能的

。如果現在不論由於哪一種原因——在我們的情況下由於輻射過程——使一個振子的能量具有大於或小於

的時間平均值，那末，它同自由電子和分子的碰撞將導致氣體得到或喪失平均不等於零的能量。因此，在我們所考察的情況中，只有當每一個振子都具有平均能量

時，動態平衡才有可能。

我們進一步對振子同空間中存在的輻射之間的相互作用作類似的考慮。普朗克（Planck）先生曾假定輻射可以看作是一種所能想像得到的最無序的過程，在這種假定下，他推導出了這種情況下動態平衡的條件。他找到：

這裡

是本徵頻率為ν的一個振子（每一個振動分量）的平均能量，c是光速，ν是頻率，而

是頻率介於ν和

之間的那部分輻射在每個單位體積中的能量。

頻率為ν的輻射，如果其能量總的說來既不是持續增加，又不是持續減少，那麼，下式

必定成立。

作為動態平衡的條件而找到的這個關係，不但不符合經驗，而且它還表明，在我們的圖象中，根本不可能談到以太和物質之間有什麼確定的能量分布。因為振子的振動數範圍選得愈廣，空間中輻射能就會變得愈大，而在極限情況下我們得到：

§2．關於普朗克對基本常數的確定

下面我們要指出普朗克先生所作出的對基本常數的確定，這在一定程度上是同他所創立的黑體輻射理論不相關的。

迄今為止，所有經驗都能滿足的關於

的普朗克公式是：

其中，

對於大的

值，即對於大的波長和輻射密度，這個公式在極限情況下變成下面的形式：

人們看到，這個公式是同§l 中用麥克斯韋理論和電子論所求得的公式相符的。通過使這兩個公式的係數相等，我們得到：

或者

這就是說，一個氫原子重

克

克。這正好是普朗克先生所求得的數值，它同用其他方法求得的關於這個量的數值令人滿意地相符合。

我們因此得出結論：輻射的能量密度和波長愈大，我們所用的理論基礎就愈顯得適用；但是，對於小的波長的小的輻射密度，我們的理論基礎就完全不適用了。

在以愛因斯坦方式量化分析光電效應時使用以下方程：光子能量 = 移出一個電子所需的能量 + 被發射的電子的動能代數形式：其中h是普朗克常數，ν是入射光子的頻率，是功函數，從原子鍵結中移出一個電子所需的最小能量，是被射出的電子的最大動能，ν0是光電效應發生的閾值頻率，m是被發射電子的靜止質量，vm是被發射電子的速度，註：如果光子的能量（hν）不大於功函數（?），就不會有電子射出。功函數有時又以W標記。這個方程與觀察不符時（即沒有射出電子或電子動能小於預期），可能是因為某些能量以熱能或輻射的形式散失了。

量子解釋：

1905年，愛因斯坦把普朗克的量子化概念進一步推廣。他指出：不僅黑體和輻射場的能量交換是量子化的，而且輻射場本身就是由不連續的光量子組成，每一個光量子的能量與輻射場頻率之間滿足ε=hν，即它的能量只與光量子的頻率有關，而與強度（振幅）無關。

根據愛因斯坦的光量子理論，射向金屬表面的光，實質上就是具有能量ε=hν的光子流。如果照射光的頻率過低，即光子流中每個光子能量較小，當他照射到金屬表面時，電子吸收了這一光子，它所增加的ε=hν的能量仍然小於電子脫離金屬表面所需要的逸出功，電子就不能脫離開金屬表面，因而不能產生光電效應。如果照射光的頻率高到能使電子吸收後其能量足以克服逸出功而脫離金屬表面，就會產生光電效應。此時逸出電子的動能、光子能量和逸出功之間的關係可以表示成：光子能量- 移出一個電子所需的能量（逸出功）=被發射的電子的最大初動能。

即：Εk(max)=hv-W

這就是愛因斯坦光電效應方程。

其中，h是普朗克常數；v是入射光子的頻率

Φ是功函數，指從原子鍵結中移出一個電子所需的最小能量，表達式如右圖，其中f0是光電效應發生的閥值頻率，即極限頻率；功函數有時又以W或A標記。

動能表達式

E(kmax)是逸出電子的最大動能，如右圖；m是被發射電子的靜止質量；vm是被發射電子逸出時的初速度。

根據愛因斯坦光量子理論，光電效應中光電子的能量決定於照射光的頻率，而與照射光的強度無關，故可以解釋實驗規律的第一、

第二兩條：其中的極限頻率是指光量子的能量剛好滿足克服金屬逸出功的光量子頻率，而不同的金屬電子逸出所需要的能量不同，所以不同金屬的極限頻率不同。

第三條：由於當光量子的能量足夠，不管光強（只決定於光量子的數目）如何，電子在吸收了光量子後都可馬上逸出，故可立即產生光電效應，不需要積累過程。當光照射到金屬表面時，其強度越大表明光量子數越多，它被金屬中電子吸收的可能性越大，因此就可以解釋為什麼被打出的電子數只與光的強度有關而與光的頻率無關。

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本文參考資料來源：

參考綜合/中科院高能所/文、百度百科(「科普中國」編寫與應用工作項目)/圖片、沈志勛/未來論壇演講PPT圖片

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